---

Overview

sz. punktowy
sz. przedz. - tworzenie
średnia (sz. przedz.)
mediana (sz. przedz.)
kwartyle (sz. przedz.)
dominanta (sz. przedz.)

---

Sheet 1: sz. punktowy

1
SZEREG ROZDZIELCZY (PUNKTOWY)
ŚREDNIA					MEDIANA i KWARTYLE						DOMINANTA
średnia w przypadku szeregu punktowego to po prostu średnia ważona
					przypuśćmy szereg szczegółowy:						w przypadku szeregu punktowego dominanta (wartość modalna), to po prostu ta wartość, która najczęściej się pojawia
wzór:					3,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,10
					szereg punktowy:
					wartość	ilość	skumulowane
					3	4	4
przypuśćmy szereg szczegółowy:					4	3	7
					5	5	12
3,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,10					6	4	16
					7	3	19
					8	3	22
szereg punktowy:					9	5	27
		wartość 'zważone' (wartość x ilość)			10	1	28
wartość	ilość					∑ = 28
3	4	12							pozycja
4	3	12
5	5	25
6	4	24
7	3	21
8	3	24
9	5	45
10	1	10						= 7,25	pozycja
	∑ = 28	∑ = 173
	∑ = 173							= 21,75	pozycja
m =			= 6,18
	∑ = 28

---

Sheet 2: sz. przedz. - tworzenie

2
SZEREG ROZDZIELCZY (PRZEDZIAŁOWY)
		N=21					ETAPY		OBLICZENIA			WYNIK
		3				1) obliczanie logarytmu dziesiętnego z N			logN			1,32
		3
		3				2) ustalanie ilości przedziałów (zaokrąglamy do najbliższej całkowitej, czyli do 5)			k = 1+3,322 x logN			5,39
		4
		4
		5
		5				3) obliczamy rozstęp, poprzez odjęcie od wartości największej, wartości najmniejszej			R = Xmax - Xmin			11 - 3 = 8
		5
		6				4) obliczamy szerokość przedziałów (liczby niecałkowite zaokrąglamy zawsze do góry, stąd szerokość przedziału = 2)			i = R / k (rozstęp / ilość przedz.)			8 / 5,39 = 1,36
szereg szczegółowy		6		tworzenie klas
		7
		7
		7				5) tworzymy klasy zgodnie z ustaleniami:
		7				6) dodatkowo obliczamy liczebności skumulowane
		8							przedział	ilość elementów	liczebności skumulowane
		8
		9							3 - 4	5	5
		9							5 - 6	5	10
		11							7 - 8	6	16
		11							9 - 10	2	18
		11							11 - 12	3	21
		inne sposoby ustalania ilości klas/ przedziałów:						Uwaga:
		1) k ≤ 5 log N;					k jest najczęściej (nie zawsze) największą liczbą całkowita spełniająca równanie	jeśli korzystamy ze wzoru k = 1+3,322 x logN, wówczas obliczając szerokość przedziałów ( i ), korzystamy z dokładnej wartości k, w naszym przypadku było to 5,39 (nie z faktycznej liczby przedziałów - 5)
		2) k = √N
		3) k = ¾ √N
								( i ) - zaokrąglamy zawsze 'w górę'
								( k ) - zaokrąglamy do 'bliższej' liczby całkowitej

---

Sheet 3: średnia (sz. przedz.)

3
ŚREDNIA - SZEREG ROZDZIELCZY (PRZEDZIAŁOWY)									wzór na średnią arytmetyczną w szeregu rozdzielczym:
	n	x'	x' n
przedział	liczebność	środek przedziału	środek x liczebność
3 - 4	5	3,5	17,5
5 - 6	5	5,5	27,5
7 - 8	6	7,5	45
9 - 10	2	9,5	19
11 - 12	3	11,5	34,5
	∑ = 21		∑ = 143,5
										liczebność przedziału klasowego
1) po pierwsze konieczne jest policzenie środków przedziałów klasowych (dostawiamy kolumnę w tabeli)
										środek przedziału klasowego, wyliczany ze wzoru poniżej
wzór, zasada liczenia:						po prostu średnia arytmetyczna dolnej i górnej granicy
		x' = (dolna granica + górna granica)/2
2) po drugie, musimy przemnożyć liczebność każdego przedziału przez jego środek (w tym celu dostawiamy kolejną kolumnę w tabeli)
										dolna granica przedziału klasowego
3) trzeci etap to zsumowanie wszystkich iloczynów liczebności i środków przedziałów										górna granica przedziału klasowego
	∑ = 143,5
									Uwaga!
4) jeśli mamy już obliczona sumę iloczynów wszystkich środków przedziałów i ich środków, możemy obliczyć średnią w całym zbiorze									Średniej w szeregu rozdzielczym przedziałowym nie oblicza się, gdy przedziały skrajne (najmniejszy i największy) nie są domknięte.
		∑ = 143,5		∑ = 21	to oczywiście liczba wszystkich obserwacji/ przypadków
	m =		= 6,83
		∑ = 21

---

Sheet 4: mediana (sz. przedz.)

4
MEDIANA - SZEREG ROZDZIELCZY (PRZEDZIAŁOWY)									a) wzór na medianę w szeregu przedziałowym:
	przedział	ilość elementów	liczebności skumulowane
	3 - 4	5	5
	5 - 6	5	10
	7 - 8	6	16
	9 - 10	2	18
	11 - 12	3	21
										dolna granica przedziału, w którym znajduje się mediana
1) wyznaczamy 'miejsce mediany' - przedział, w którym mediana się znajduje
a) dla nieparzystej liczby obserwacji ze wzoru:										skumulowana liczebność przedziałów poprzedzających przedział, w którym znajduje się mediana
			w naszym przykładzie mamy nieparzystą liczbę obserwacji (21), dlatego korzystamy ze tego wzoru				rozpiętość przedziału z medianą
							liczebność przedziału z medianą
b) dla parzystej liczby obserwacji ze wzoru:
								b) obliczenia:
2) obliczenia
				wiemy już, że mediana znajduje się na 11 pozycji, 11 pozycja znajduje się natomiast w przedziale trzecim (7-8)
Me = (21 +1)/2 = 11
								Me = 7,16
3) skoro wiemy już w jakim przedziale mediana się znajduje, możemy wyliczyć jej przybliżoną wartość

---

Sheet 5: kwartyle (sz. przedz.)

5
KWARTYLE - SZEREG ROZDZIELCZY (PRZEDZIAŁOWY)									a) wzór na kwartyl I w szeregu przedziałowym:
	przedział	ilość elementów	liczebności skumulowane
	3 - 4	5	5
	5 - 6	5	10
	7 - 8	6	16
	9 - 10	2	18
	11 - 12	3	21
									obliczenia:
1) wyznaczamy 'miejsce kwartyli' - przedziały, w których się one znajdują
a) kwartyl I (Q1)
				Uwaga! Kwartyli (także mediany) nie można obliczać, jeśli znajdują się one w skrajnych przedziałach, przedziały te są otwarte i nie można ich sztucznie domknąć.
									Q1 = 5,1
b) kwartyl III (Q1)
									b) wzór na kwartyl III w szeregu przedziałowym:
2) obliczenia
				wiemy, że kwartyl I znajduje się 'w połowie drogi' między poz. 5 i 6, pozycje te znajdują się w przedziale drugim (5-6)
Q1 = (21 +1)/4 = 5,5
				wiemy, że kwartyl III znajduje się 'w połowie drogi' między poz. 16 i 17, pozycja ta znajduje się w przedziale czwartym (9-10)
Q3 = 3(21 +1)/4 = 16,5

---

Sheet 6: dominanta (sz. przedz.)

6
DOMINANTA - SZEREG ROZDZIELCZY (PRZEDZIAŁOWY)								wzór na dominantę w szeregu rozdzielczym:
	przedział	ilość elementów	liczebności skumulowane
	3 - 4	5	5
	5 - 6	5	10
	7 - 8	6	16
	9 - 10	2	18
	11 - 12	3	21
									dolna granica przedziału, w którym znajduje się dominanta
Uwaga! Dominanty w szeregach rozdzielczych nie liczymy, gdy:									liczebność przedziału, w którym znajduje się dominanta
1) w szeregu występuje więcej niż jedno maksimum (dwie, trzy wartości modalne) -> skąd to wiedzieć?
									liczebność przedziału poprzedzającego przedział z dominantą
2) przedziały mają różną rozpiętość ('szerokość')
									liczebność przedziału następującego po przedziale z dominantą
2a) czasem można spotkać się z sugestią, iż taką samą rozpiętość powinny mieć co najmniej trzy przedziały: (1) przedział, w którym znajduje się dominanta, (2) przedział poprzedzający przedział z dominantą i (3) przedział następujący po przedziale z dominantą
									rozpiętość ('szerokość') przedziału, w którym znajduje się dominanta
3) dominanta znajduje się w przedziale skrajnym, ten przedział jest otwarty i nie można go sztucznie domknąć
								obliczenia:
zważywszy na to, że zazwyczaj dysponując danymi w postaci szeregu rozdzielczego, nie możemy ani ustalić ile jest wartości modalnych (dominant), ani z pewnością stwierdzić, iż dominanta znajduje się właśnie w przedziale najbardziej licznym zalecałbym ostrożność w stosowaniu tej miary. zwłaszcza jeśli nie ma jednego wyraźnie dominującego pod względem liczebności przedziału!
								D = 7,4
przedział, w którym znajduje się dominanta, to po prostu przedział o największej liczebności - w naszym przykładzie jest to przedział trzeci (7-8)