1.1 Napięcia i prądy na elementach RLC
Wartości chwilowe napięć i prądów oraz ilość energii
rozpraszanej lub gromadzonej na poszczególnych pasywnych
elementach obwodu elektrycznego są opisane zależnościami
podanymi w tabeli 1.
Jak wynika z tabeli 1, w przypadku elementów magazynujących
energię (kondensator, cewka), wyznaczenie odpowiedzi układu
wiąże się z wyznaczeniem pochodnej lub całki sygnału
wymuszającego oraz mnożeniem przez współczynnik, którego
wartość zależy od wartości parametrów elementu. W przypadku
rezystora (elementu rozpraszającego energię) wystarczy jedynie
pomnożyć sygnał wymuszający przez odpowiedni współczynnik.
W celu zilustrowania sposobu wyznaczania napięć lub prądów
na poszczególnych elementach obwodu elektrycznego rozpatrzmy
dwa podstawowe przypadki, gdy wymuszeniem jest funkcja
liniowo narastając oraz funkcja sinusoidalnie zmienna.
Należy zauważyć, że znając funkcję opisującą zmiany wartości
napięcia na rezystorze, wartość chwilową prądu płynącego przez
rezystor wyznaczymy mnożąc wartość chwilową napięcia przez
współczynnik będący odwrotnością wartości rezystancji. W tym
przypadku, kształt sygnału prądu jest taki sam jak sygnału
napięcia.
W celu znalezienia wartości chwilowej prądu płynącego przez
uzwojenia cewki należy wyznaczyć całkę z przebiegu zmian
napięcia na zaciskach cewki, a następnie pomnożyć przez
odwrotność indukcyjności cewki. Wartość stałej całkowania jest w
tym przypadku równa wartości prądu płynącego przez cewkę w
chwili t
o
.
W celu określenia wartości prądu płynącego przez kondensator
należy najpierw wyznaczyć pochodną napięcia na zaciskach
rozpatrywanego kondensatora, a następnie wartości chwilowe
pochodnej napięcia pomnożyć przez wartość pojemności
kondensatora.
Tabela 1. Napięcia i prądy na elementach RLC
Rezystor Cewka Kondensator
R
u
R
(t)
A
B
i
R
(t)
u
L
(t)
A
B
i
L
(t)
L
C
u
C
(t)
A
B
i
C
(t)
i(t) =
1
R
u(t)
u(t) =
d
Φ
(t)
dt
i(t) =
dQ(t)
dt
p(t)
=
R i
2
(t)
p(t) =
d
Φ
(t)
dt
i(t)
p(t) =
dQ(t)
dt
u(t)
dW
=
R i
2
(t)
dt
dW = d
Φ
(t) i(t)
dW = dQ(t) u(t)
u(t) = R i(t)
u(t) = L
di(t)
dt
u(t) = u(t
o
)
+
1
C
⌡
⌠
t
o
t
i(t)
dt
i(t) =
1
R
u(t))
i(t) = i(t
o
)
+
1
L
⌡
⌠
t
o
t
u(t)
dt
i(t) = C
du(t)
dt
p(t) = R i
2
(t)
p(t) = L
di(t)
dt
i(t)
p(t) = C
du(t)
dt
u(t)
dW
=
R i
2
(t)
dt dW
=
L i(t) di
dW
=
C u(t) du
W(t
o
,t)
=
⌡
⌠
t
o
t
R i
2
(t)
dt
W(t
o
,t)
=
1
2
L
i
2
(t)
−
W(t
o
)
W(t
o
,t)
=
1
2
C
u
2
(t)
−
W(t
o
)
3
© Lesław ŁADNIAK
1.2 Wymuszenie niesinusoidalne
1.2.1 Kondensator
Rozpatrzmy przypadek, gdy napięcie na zaciskach
kondensatora narasta liniowo od wartości zero do wartości U
m
w
czasie T. Zmiany napięcia na zaciskach kondensatora (Rys. 1) są
opisane równaniem:
u(t) =
U
m
T
t
Ponieważ natężenie prądu płynącego przez kondensator jest
równe szybkości zmian napięcia na zaciskach kondensatora
pomnożonej przez wartość pojemności tego kondensatora, to
otrzymujemy następujące równanie:
i(t) = C
du(t)
dt
= C
d
dt
(
U
m
T
t) = C
U
m
T
Jak wynika z powyższego równania prąd płynący przez
kondensator ma w tym przypadku wartość stałą.
Na Rys. 1 przedstawiono zmiany natężenia prądu płynącego
przez kondensator, jeżeli napięcie na zaciskach kondensatora
narasta i maleje liniowo.
Jeżeli prąd płynący przez kondensator zmienia się liniowo:
i(t) =
I
m
T
t
to zmiany napięcie na zaciskach kondensatora przy zerowych
warunkach początkowych, czyli u
C
(0) = 0, są opisane równaniem:
u(t)
=
1
C
⌡
⌠
0
t
i(t) dt =
1
C
⌡
⌠
0
t
I
m
T
t dt =
1
C
I
m
2T
t
2
W tym przypadku, napięcie na zaciskach kondensatora zmienia
się jak funkcja kwadratowa.
Na Rys.
2 przedstawiono zmiany napięcia na zaciskach
kondensatora, gdy natężenie prądu płynącego przez kondensator
narasta i maleje liniowo.
A
B
C
u
C
(t)
+q
-q
i(t)
Rys. 1.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
kondensatorze
Rys. 2.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
kondensatorze
4
© Lesław ŁADNIAK
1.2.2 Cewka
W przypadku, gdy napięcie na zaciskach cewki narasta liniowo
od wartości zero do wartości maksymalnej U
m
w ciągu czasu T:
u(t) =
U
m
T
t
to natężenie prądu płynącego przez cewkę przy zerowych
warunkach początkowych, czyli gdy i(0) = 0, jest opisane
równaniem:
i(t)
=
1
L
⌡
⌠
0
t
u(t) dt =
1
L
⌡
⌠
0
t
U
m
T
t dt =
1
L
U
m
2T
t
2
Jak wynika z powyższego równania, natężenie prądu płynącego
przez cewkę jest proporcjonalne do kwadratu czasu.
Na Rys. 3 przedstawiono zmiany prądu płynącego przez cewkę,
gdy napięcie na cewce narasta, a następnie maleje liniowo.
Jeżeli natężenie prądu płynącego przez cewkę zmienia się
liniowo:
i(t) =
I
m
T
t
to zmiany napięcie na zaciskach cewki są opisane równaniem:
u(t) = L
di(t)
dt
= L
d
dt
(
I
m
T
t) = L
I
m
T
W rozpatrywanym przypadku, napięcie na zaciskach cewki ma
wartość stałą.
Na Rys. 4 przedstawiono zmiany napięcia na zaciskach cewki,
jeżeli prąd płynący przez cewkę narasta i maleje liniowo.
A
B
Φ
L
u
L
(t)
i(t)
Rys. 3.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
w cewce
Rys. 4.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
w cewce
Pole pod wykresem funkcji:
Prosta f(t) = t Pole
pod
prostą
1
2
f(t) t
Parabola f(t) = t
2
Pole
pod
parabolą
1
3
f(t) t
5
© Lesław ŁADNIAK
1.3 Wymuszenie sinusoidalne
1.3.1 Kondensator
W przypadku, gdy napięcie na zaciskach kondensatora zmienia
się sinusoidalnie:
u(t) = U
m
sin
ω
t
to natężenie prądu płynącego przez kondensator jest opisane
równaniem:
i(t) = C
d (U
m
sin
ω
t)
dt
=
ω
C U
m
cos
ω
t =
=
ω
C U
m
sin (
ω
t +
π
2
)
Jak wynika z powyższego równania, natężenie prądu płynącego
przez kondensator zmienia się sinusoidalnie w czasie.
Amplituda
prądu płynącego przez kondensator I
m
jest opisana
równaniem:
I
m
=
ω
C U
m
Stosunek amplitudy napięcia do amplitudy prądu wynosi:
U
m
I
m
=
1
ω
C
= X
c
Jak wynika z powyższej zależności relacja między amplitudami
napięcia i prądu zależy nie tylko od pojemności kondensatora, ale
także od pulsacji, czyli częstotliwości sygnału wymuszającego.
Ponieważ zarówno napięcie jak i prąd zmieniają się
sinusoidalnie, to można określić kąt przesunięcia fazowego między
tymi sygnałami:
ϕ
=
ψ
u
-
ψ
i
= 0 -
π
2
= -
π
2
π
2
= 90
0
Na Rys. 5, przedstawiono wykres zmian wartości chwilowych
napięcia i prądu dla kondensatora, gdy wymuszeniem jest
sinusoidalnie zmienne napięcie. W tym przypadku sinusoidalnie
zmienny prąd płynący przez kondensator wyprzedza napięcie
przyłożone do zacisków kondensatora o kąt
π
2
(90
0
).
A
B
C
u
C
(t)
+q
-q
i(t)
Rys. 5.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
kondensatorze
6
© Lesław ŁADNIAK
Jeżeli wiemy, że przez kondensator płynie sinusoidalnie
zmienny prąd:
i(t) = I
m
sin
ω
t
to napięcie na zaciskach kondensatora obliczymy w następujący
sposób:
u(t) = u
C
(0) +
1
C
⌡
⌠
0
t
i(t) dt = u
C
(0) +
1
C
⌡
⌠
0
t
I
m
sin
ω
t dt=
= u
C
(0) -
I
m
ω
C
cos
ω
t
⎟
t
0
= u
C
(0) -
I
m
ω
C
{cos
ω
t - 1}
Po
uporządkowaniu równie opisujące zmiany napięcia na
zaciskach kondensatora przyjmuje postać:
u(t) = -
I
m
ω
C
cos
ω
t +
I
m
ω
C
+ u
C
(0)
Jak wynika z powyższego równania napięcie na zaciskach
kondensatora jest sumą składowej zmiennej napięcia:
u(t) = -
I
m
ω
C
cos
ω
t =
I
m
ω
C
sin(
ω
t -
π
2 )
oraz składowej stałej napięcia:
U
o
=
I
m
ω
C
+ u
C
(0)
Wartość składowej stałej napięcia zależy od warunków
początkowych na kondensatorze. Jeżeli w chwili t = 0 napięcie na
kondensatorze spełnia warunek:
u
C
(0)= -
I
m
ω
C
,
to składowa stała napięcia U
o
jest równa zeru.
W tym przypadku, stosunek amplitudy sinusoidalnie zmiennego
napięcia na do amplitudy sinusoidalnie zmiennego prądu wynosi:
U
m
I
m
=
I
m
ω
C
I
m
=
1
ω
C
= X
C
Przesunięcie fazowe między napięciem a
prądem wynosi:
ϕ
=
ψ
u
-
ψ
i
= -
π
2
Na Rys.
6 przedstawiono przebieg
napięcia i prądu na kondensatorze, gdy
wymuszeniem jest sinusoidalnie zmienny
prąd.
Rys. 6.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
kondensatorze
7
© Lesław ŁADNIAK
1.3.2 Cewka
W przypadku, gdy płynący przez cewkę prąd jest sinusoidalnie
zmienny:
i(t) = I
m
sin
ω
t
to napięcie na zaciskach cewki wynosi:
u(t) = L
d(I
m
sin
ω
t)
dt
=
ω
L I
m
cos
ω
t =
ω
L I
m
sin (
ω
t +
π
2
)
Jak wynika z powyższego równania, napięcie na zaciskach
cewki zmienia się sinusoidalnie.
Amplituda napięcia na zaciskach cewki jest opisana
równaniem:
U
m
=
ω
L I
m
Stosunek
wartości maksymalnych napięcia i prądu na cewce
przy sinusoidalnym wymuszeniu wynosi:
U
m
I
m
=
ω
L = X
L
Należy zauważyć, że relacja między amplitudami napięcia
i prądu zależy nie tylko o wartości indukcyjności obwodu, ale
także od pulsacji, czyli częstotliwości sygnału wymuszającego.
Kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem jest
równy:
ϕ
=
ψ
u
-
ψ
i
=
π
2
- 0 =
π
2
π
2
=90
o
Jak
widać na Rys. 7 napięcie na zaciskach cewki wyprzedza
płynący przez cewkę prąd o kąt
π
2
(90
0
).
A
B
Φ
L
u
L
(t)
i(t)
Rys. 7.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
w cewce
8
© Lesław ŁADNIAK
Jeżeli napięcie na zaciskach cewki zmienia się sinusoidalnie,
czyli jest opisane równaniem:
u(t) = U
m
sin
ω
t
to wartość prądu płynącego przez cewkę obliczmy w następujący
sposób:
i(t) = i(0) +
1
L
⌡
⌠
0
t
u(t) dt = i(0) +
1
L
⌡
⌠
0
t
U
m
sin
ω
t dt =
= i(0) -
U
m
ω
L
cos
ω
t
⎟
t
0
= i(0) - {
U
m
ω
L
cos
ω
t -
U
m
ω
L
}
Po uporządkowaniu równanie opisujące zmiany prądu
płynącego przez cewkę przyjmuje postać:
i(t) = -
U
m
ω
L
cos
ω
t +
U
m
ω
L
+ i(0)
Jak wynika z powyższego równania prąd płynący przez cewkę
jest sumą składowej zmiennej prądu:
i(t) = -
U
m
ω
L
cos
ω
t
oraz składowej stałej prądu:
I
o
=
U
m
ω
L
+ i(0)
Wartość składowej stałej prądu zależy od warunków
początkowych, czyli wartości prądu płynącego przez cewkę w
chwili t = 0. Jeżeli w chwili początkowej zachodzi warunek:
i(0)=
-
U
m
ω
L
to składowa stała prądu jest równa zeru.
Stosunek amplitud sinusoidalnie zmiennego napięcia i prądu
wynosi:
U
m
I
m
=
ω
L = X
L
⇒
I
m
=
U
m
X
L
Przesunięcie fazowe między napięciem a
prądem jest równe:
ϕ
=
ψ
u
-
ψ
i
= 0 - (
−
π
2 ) =
π
2
Jak
widać na Rys. 8 prąd płynący przez
cewkę jest opóźniony o kąt
π
2 (90
0
)
względem napięcia.
Rys. 8.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
na cewce
9
© Lesław ŁADNIAK
1.3.3 Przykład. Wskazania przyrządów.
Przez szeregowo połączone elementy RL płynie prąd
piłokształtny o wartości maksymalnej 3 A i okresie 20 ms (Rys. 9).
Narysować kształt napięć u
R
(t), u
L
(t), u(t) na poszczególnych
elementach oraz obliczyć wskazania woltomierzy i amperomierza.
Rozważyć
użycie przyrządów magnetoelektrycznych i
elektromagnetycznych.
Narysować kształt zmian mocy chwilowej p
R
(t), p
L
(t), p(t)
poszczególnych elementów i obliczyć wskazania watomierzy.
i(t) [A]
5
10
t [ms]
3
- 3
15
Rys. 9.
Natężenie prądu