C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Wykład nr 13.

13. Dynamika budowli układy o jednym dynamicznym stopniu

swobody.

Pojęcie dynamicznego stopnia swobody zależy od sposobu rozłożenia
masy układu (masa skupiona w jednym lub kilku punktach lub rozłożona w
sposób ciągły) oraz od sztywności samej konstrukcji (EJ=

∞ lub EA=∞ dla

jednego lub kilku prętów mogą ograniczać liczbę stopni swobody).

rysunek : Mechanika Budowli ujęcie komputerowe tom 2...G.Rakowski

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

W niniejszych rozważaniach zajmować się będziemy drganiami układów o
jednym stopniu swobody.

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

13.1. Drgania swobodne bez tłumienia

Rozpatrzmy masę m znajdującą się na
sprężynie o sztywności k.
W dowolnej chwili na ciało działają
następujące siły:
P(t) – zewnętrzna siła wymuszająca
drgania,

y

m &&

- siła bezwładności (masa

⋅

przyspieszenie),

y

c&

-siła tłumienia proporcjonalna do

prędkości ciała,

ky

-siła powstająca w sprężynie na skutek

jej wydłużenia (skrócenia)
Zmienna y(t) oznacza wychylenie ciała z

położenia równowagi statycznej a (prędkość), (przyspieszenie)
oznaczają pierwszą i drugą pochodną wychylenia względem czasu.

y&

y&&

Ogólne równanie równowagi ciała ma postać:

)

(t

P

ky

y

c

y

m

=

+

+ &

&&

jeżeli P(t)=0, to mamy do czynienia z drganiami swobodnymi,
Jeżeli , to drgania ciała są bez tłumienia (drgania swobodne).

0

=

y

c&

Równanie drgań swobodnych bez tłumienia jest więc następujące:

0

=

+ ky

y

m &&

jeżeli w powyższej zależności wprowadzimy stałą , która oznacza
częstość drgań własnych układu:

ω

m

k

=

ω

to równanie ma postać:

0

2

=

+

y

y

ω

&&

po podstawieniu

i po rozwiązaniu równania

charakterystycznego

rt

rt

e

r

y

e

y

2

,

=

=

&&

0

2

2

=

+

ω

r

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

rozwiązanie równania różniczkowe ma postać:

t

B

t

A

y

ω

ω

cos

sin

+

=

jeżeli wprowadzimy następujące warunki brzegowe:

0

)

0

(

y

y

=

- wychylenie początkowe,

0

)

0

(

v

y

=

&

- prędkość początkowa, to stałe A i B możemy wyrazić w

funkcji powyższych warunków brzegowych:

,

0

y

B

=

ω

0

v

A

=

.

Po podstawieniu stałych równanie ma postać:

t

y

t

v

y

ω

ω

ω

cos

sin

0

0

+

=

Funkcja powyższa może być również zapisana następującym wzorem:

)

sin(

λ

ω

+

=

t

C

y

gdzie :

2

0

2

0

2

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

+

=

ω

v

y

B

A

C

,oznacza amplitudę drań,

0

0

v

y

A

B

tg

ω

λ

=

=

jest kątem przesunięcia fazowego

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Podstawową charakterystyką drgań swobodnych jest częstość kołowa
drgań

ω

, którą można wyznaczać również z następujących zależności:

11

1

,

δ

ω

=

=

k

m

k

11

1

δ

ω

m

=

,

mg

st

δ

δ

=

11

st

st

g

m

mg

δ

δ

ω

=

=

T oznacza okres drgań:

g

m

T

st

δ

π

δ

π

ω

π

2

2

2

11

=

=

=

g

m

k

m

T

st

δ

π

δ

π

π

ω

π

2

2

2

2

11

=

=

=

=

w praktyce stosuje się też wielkości:

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

]

[

1

Hz

T

f

=

-częstość fizyczna,

n=60/T –częstość techniczna

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

W praktyce elementy konstrukcyjne współpracują ze sobą. Połączenie
elementów konstrukcji, w którym we wszystkich częściach są takie same
przemieszczenia nazywamy połączeniem równoległym, a połączenie w
którym są takie same siły połączeniem szeregowym:

ównoległy i szeregowy układ sprężyn:

R

Układ równoległy:

układ szeregowy:

2

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

k

k

k

y

k

y

k

ky

y

k

y

k

ky

y

k

P

y

k

P

ky

P

P

P

P

y

y

y

+

=

+

=

+

=

=

=

=

+

=

=

=

2

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

1

/

/

/

/

/

/

k

k

k

k

P

k

P

k

P

k

P

k

P

k

P

y

k

P

y

k

P

ky

P

P

P

P

y

y

y

+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

=

+

=

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

13.2. Drgania swobodne tłumione

Równanie równowagi ciała o masie m ma postać:

)

(t

P

ky

y

c

y

m

=

+

+ &

&&

przy założeniu że nie działa siła zewnętrzna P(t):

0

=

+

+

y

m

k

y

m

c

y

&

&&

oznaczanąc:

m

k

=

2

ω

m

c

=

α

2

otrzymamy równanie:

jeżeli założymy:

to otrzymamy równanie charakterystyczne:

Rozwiązanie tego równania zależy od:

0

2

2

=

+

+

y

y

y

ω

α

&

&&

rt

rt

rt

e

r

y

re

y

e

y

2

,

,

=

=

=

&&

&

0

2

2

2

=

+

+

rt

rt

rt

e

re

e

r

ω

α

0

2

2

2

=

+

+

ω

α

r

r

(

)

2

2

4

ω

α

−

=

∆

Rozpatrujemy trzy przypadki:

1.

α

ω

>

<

∆

,

0

2

2

2

2

12

2

2

2

2

ω

α

α

ω

α

α

−

±

−

=

−

±

−

=

∆

±

−

=

a

b

r

2

2

2

2

2

1

,

ω

α

α

ω

α

α

−

−

−

=

−

+

−

=

r

r

znaczamy:

1

2

1

1

,

ω

α

ω

α

i

r

i

r

−

−

=

+

−

=

o

2

2

1

α

ω

ω

−

=

gdy

ównanie opisujące wychylenie ciała przyjmuje postać:

α

ω

>

r

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

)

cos

sin

(

)

(

1

1

t

B

t

A

e

t

y

t

ω

ω

α

+

=

−

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

wykres y(t) od czasu

gdzie :

)

sin(

)

(

1

λ

ω

α

+

=

−

t

C

e

t

y

t

2

0

2

0

⎟

⎠

⎜

⎝

ω

2

2

⎞

⎛

+

=

+

=

v

y

B

A

C

,oznacza amplitudę drań,

0

okres

0

v

A

tg

λ

=

=

jest kątem

y

B

ω

przesunięcia fazowego

drgań zanikających:

2

2

1

2

2

α

ω

π

ω

π

−

=

=

T

częstotliwość drgań:

π

α

ω

π

ω

2

2

2

2

1

1

−

=

=

=

−

T

f

obliczamy sto

prze

y

sunek amplitud

sunięt ch o okres T

1

const

e

t

C

e

t

y

T

t

=

=

+

=

−

1

)

sin(

)

(

1

α

α

λ

ω

T

t

C

e

t

y

T

t

+

+

=

+

−

)

sin(

)

(

1

1

)

(

α

λ

ω

ω

na podstawie powyższej zależności możemy zdefiniow logarytmiczny
dekrement tłumienia:

ać

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

1

1

1

ln

T

T

y

y

n

n

δ

α

α

δ

=

→

=

=

+

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

wielkość logarytmicznego dekrementu tłumienia oraz okres drgań T

1

mogą

być wyznaczone doświadczalnie. Na ich podstawie możemy wyznaczyć
stałą tłumienia:

1

1

1

1

1

2

2

2

2

δω

π

π

δω

δ

α

m

T

m

m

T

m

c

=

=

=

=

wnioski:

•

współczynnik c tłumienia lepkiego zależy od częstości drgań

własnych

1

1

δω

π

m

c

=

•

siły tłumienia zmniejszają częstość kołową drgań

2

2

1

α

ω

ω

−

=

•

częstość drgań nie zależy od amplitudy

•

drgania tłumione mają

2.

charakter zanikający

ω

α

>

>

∆

,

0

2

2

2

2

2

1

,

ω

α

α

ω

α

α

−

−

−

=

−

+

−

=

r

r

2

2

2

ω

α

ω

−

=

gdy

ω

α

>

,

0

0

2

<

−

ω

α

2

2

1

−

=

<

+

−

=

ω

α

r

r

równanie drgań:

3.

t

t

De

Ce

t

y

)

(

)

(

2

2

)

(

ω

α

ω

α

−

−

+

−

+

=

ω

α

=

=

∆

,

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1

2

3

4

5

wykres y(t) od czasu

nanie drgań :

α

α

−

=

−

=

2

1

,r

r

rów

)

(

)

(

Bt

A

e

t

y

t

+

=

−

α

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Przypadek 2 i 3 tzn. gdy

ω

α

≥

nie odpowiada ruchowi drgającemu układu.

W praktyce należy je stosować gdy chcemy uniknąć drgań.
Krytyczna wartość stałej c (c

kr

) dla

ω

α

=

dana jest wzorem:

c

2

=

zamy bezwymiarowy parametr tłumienia

η

ω

m

kr

Wprowad

ω

α

ω

η

=

=

=

c

c

stąd

ηω

m

c

kr

2

α

=

η

parametr może charakteryzować tłumienia i

ą

tłu

o u

nazywany jest liczb

mienia.

P ds mowanie:

Dla

η<1,

α

ω

>

,

2

2

2

η

ω

α

ω

ω

−

=

−

=

)

cos

sin

(

)

cos

sin

(

)

(

t

B

t

A

t

B

t

A

e

t

y

t

t

ω

ω

ω

ω

α

+

+

=

−

Dla

η=1,

ω

=

)

(

)

(

Bt

A

e

t

y

+

=

−

Dla

η>1,

α

ω

<

,

1

1

1

1

1

1

e

ηω

=

−

α

,

t

α

2

2

α

ω

ω

+

−

=

)

cos

sinh

(

)

(

t

B

t

A

e

t

y

t

ω

ω

α

+

=

−

2

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

2

2