1

DOMINANTA

Dominanta to wartość cechy najczęściej występująca (najpopularniejsza, najmodniejsze ⇒ moda,

wartość modalna, tryb)

Dane indywidualne

( )

x

D

- przyjmuje wartość wariantu badanej cechy, który występuje

najczęściej

Szereg rozdzielczy

ilościowy punktowy

( )

x

D

- przyjmuje wartość wariantu badanej cechy, dla którego wartość

i

n jest największa

Szereg rozdzielczy

ilościowy przedziałowy

( )

(

)

(

) (

)

1

1

1

+

−

−

−

+

−

−

+

=

D

D

D

D

D

D

D

OD

n

n

n

n

n

n

h

x

x

D

Oznaczenia:

( )

x

D

- dominanta

OD

x

- początek przedziału dominującego

D

D

D

x

x

h

0

1

−

=

- długość przedziału dominującego, obliczana jako różnica między końcem a

początkiem przedziału dominującego

D

n

- liczebność przedziału dominującego

1

−

D

n

- liczebność przedziału przed przedziałem dominującym

1

+

D

n

- liczebność przedziału następnego za przedziałem dominującym

WARUNKI WYZNACZENIA DOMINANTY

NA SZEREGU ROZDZIELCZYM PRZEDZIAŁOWYM

Dominantę, na podstawie szeregu rozdzielczego ilościowego przedziałowego można obliczyć, jeśli:

o

występuje dokładnie jeden ośrodek dominujący,

o

przedział dominujący nie jest przedziałem skrajnym (ani ostatnim ani pierwszym),

o

przedział dominujący oraz przedziały sąsiednie (przedział wcześniejszy i przedział następny)

muszą mieć taką samą długość

2

Zadanie 1.

Na podstawie danych indywidualnych dotyczących długości pobytu w szpitalu pacjentów oddziału
……………………….., obliczyć i zinterpretować wartość dominanty.

Numer pacjenta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Długość pobytu w
szpitalu (w dniach)

2

3

5

6

4

5

3

2

3

2

4

3

3

4

5

•

2 dni w szpitalu spędziło 3 pacjentów

•

3 dni w szpitalu spędziło 5 pacjentów

!!!! (najwięcej pacjentów) !!!!!

( )

3

=

x

D

•

4 dni w szpitalu spędziło 3 pacjentów

•

5 dni w szpitalu spędziło 3 pacjentów

•

6 dni w szpitalu spędził 1 pacjent

Interpretacja:

Najwięcej pacjentów (5 pacjentów) spędza 3 dni w szpitalu.

Zadanie 2.

Na podstawie poniższych danych (szereg rozdzielczy punktowy) dotyczących długości pobytu pacjentów

w szpitalu, obliczyć i zinterpretować wartość dominantą.

Liczba dni pobytu

pacjentów szpitalu

Liczba pacjentów

x

i

n

i

8

max

=

i

n

1

3

2

8

3

6

4

6

5

2

SUMA

25

( )

2

2

8

max

=

⇒

=

⇒

=

x

D

x

n

i

i

Interpretacja:

Najwięcej pacjentów spędza 2 dni w szpitalu.

3

Zadanie 3.

Na podstawie poniższych danych (szereg rozdzielczy przedziałowy) dotyczących wzrostu pacjentów

przebywających w szpitalu, obliczyć i zinterpretować wartość dominanty.

D

x

0

D

x

1

wzrost (w cm)

Liczba pacjentów

1

−

D

n

12

max

=

=

D

i

n

n

1

+

D

n

i

oi

x

x

1

−

i

n

<156 – 165>

4

<166 – 175>

12

<176 – 185>

7

<186 – 195>

2

SUMA

25

( )

(

)

(

) (

)

1

1

1

+

−

−

−

+

−

−

+

=

D

D

D

D

D

D

D

OD

n

n

n

n

n

n

h

x

x

D

9

166

175

0

1

=

−

=

−

=

D

D

D

x

x

h

( )

(

)

(

) (

)

54

,

171

13

8

9

166

5

8

8

9

166

7

12

4

12

4

12

9

166

=

⋅

+

=

+

⋅

+

=

−

+

−

−

⋅

+

=

x

D

Interpretacja:

Najwięcej pacjentów ma wzrost wynoszący 171,54 cm

GRAFICZNE WYZNACZANIE DOMINANTY

Wzrost pacjentów przebywaj

ą

cych na oddziale ....

0

2

4

6

8

10

12

14

<156 - 165>

<166 - 175>

<176 - 185>

<186 - 195>

Liczba pacjentów

D(X)

4

MEDIANA

Mediana to wartość środkowa – wartość środkowego elementu – środkowej jednostki badania. Mediana

rozdziela badaną zbiorowość na dwie liczebnie równe części. Oznacza, że połowa badanej zbiorowości

ma wartości badanej cechy nie większe niż wartość mediany, a druga połowa badanej zbiorowości ma

wartości badanej cechy nie mniejsze niż wartość dominanty.

Dane indywidualne

( )

x

M

- po uporządkowaniu wszystkich wartości od najmniejszej do

największej, mediana przyjmuje wartość jednostki numer

2

1

+

n

Szereg rozdzielczy

ilościowy punktowy

( )

x

M

- mediana przyjmuje wartość jednostki numer

2

1

+

n

, odczytanej na

liczebnościach skumulowanych

Szereg rozdzielczy

ilościowy przedziałowy

( )

( )

M

M

MO

OM

n

h

x

F

n

x

x

M













−

+

+

=

2

1

Oznaczenia:

( )

x

M

- mediana

OM

x

- początek przedziału mediany

2

1

+

n

- numer środkowej jednostki badanej

( )

MO

x

F

- liczebność wszystkich przedziałów klasowych przed przedziałem mediany

OM

M

M

x

x

h

−

=

1

- długość przedziału mediany, obliczana jako różnica między

końcem a początkiem przedziału mediany

M

n

-

- liczebność przedziału mediany

0 %

50 %

100 %

M(x)

5

KWARTYL PIERWSZY

Kwartyl pierwszy to wartość jednostki badania o numerze

4

n

. Wartość kwartyla pierwszego oznacza, że

25% badanej zbiorowości ma wartości badanej cechy nie większe niż wartość kwartyla pierwszego,

a 75% badanej zbiorowości ma wartości badanej cechy nie mniejsze niż wartość kwartyla pierwszego.

Dane indywidualne

( )

x

Q

1

- po uporządkowaniu wszystkich wartości od najmniejszej do

największej, kwartyl pierwszy przyjmuje wartość jednostki numer

4

n

. Jeśli

numer

4

n

znajduje się między dwiema różnymi wartościami, to kwartyl

pierwszy przyjmie wartość wyższą.

Szereg rozdzielczy

ilościowy punktowy

( )

x

Q

1

- kwartyl pierwszy przyjmuje wartość jednostki numer

4

n

. Jeśli

numer

4

n

znajduje się między dwiema różnymi wartościami, to kwartyl

pierwszy przyjmie wartość wyższą.

Szereg rozdzielczy

ilościowy przedziałowy

( )

( )

1

1

1

1

4

1

Q

Q

OQ

OQ

n

h

x

F

n

x

x

Q













−

+

=

Oznaczenia:

( )

x

Q

1

- kwartyl pierwszy

1

OQ

x

- początek przedziału z kwartylem pierwszym

4

n

- numer jednostki wyznaczającej kwartyl pierwszy

)

(

1

OQ

x

F

- liczebność wszystkich przedziałów przed przedziałem z kwartylem pierwszym

1

1

1

1

OQ

Q

Q

x

x

h

−

=

- długość przedziału z kwartylem pierwszym, obliczana jako różnica

między końcem a początkiem przedziału z kwartylem pierwszym

1

Q

n

- liczebność przedziału z kwartylem pierwszym

0 %

50 %

100 %

M(x)

Q

1

(x)

6

KWARTYL TRZECI

Kwartyl trzeci to wartość jednostki badania o numerze

4

3n

. Wartość kwartyla oznacza, że 75% badanej

zbiorowości ma wartości badanej cechy nie większe niż wartość kwartyla, a 25% badanej zbiorowości ma

wartości badanej cechy nie mniejsze niż wartość kwartyla.

Dane indywidualne

( )

x

Q

3

- po uporządkowaniu wartości od najmniejszej do największej, kwartyl

trzeci przyjmuje wartość jednostki numer

4

3

n

. Jeśli numer

4

3

n

znajduje się

między dwiema różnymi wartościami, to kwartyl trzeci przyjmie wartość

wyższą.

Szereg rozdzielczy

ilościowy punktowy

( )

x

Q

3

- kwartyl trzeci przyjmuje wartość jednostki numer

4

3

n

. Jeśli numer

4

3

n

znajduje się między dwiema różnymi wartościami, to kwartyl trzeci

przyjmie wartość wyższą.

Szereg rozdzielczy

ilościowy przedziałowy

( )

( )

3

3

3

3

4

3

3

Q

Q

OQ

OQ

n

h

x

F

n

x

x

Q













−

+

=

Oznaczenia:

( )

x

Q

3

- kwartyl trzeci

3

OQ

x

- początek przedziału z kwartylem trzecim

4

3n

- numer jednostki wyznaczającej kwartyl trzeci

)

(

3

OQ

x

F

- liczebność wszystkich przedziałów przed przedziałem z kwartylem trzecim

3

3

3

1

OQ

Q

Q

x

x

h

−

=

- długość przedziału z kwartylem trzecim, obliczana jako różnica

między końcem a początkiem przedziału z kwartylem trzecim

3

Q

n

- liczebność przedziału z kwartylem trzecim

0 %

50 %

100 %

M(x)

Q

1

(x)

Q

3

(x)

7

Zadanie 1.

Na podstawie danych indywidualnych dotyczących długości pobytu pacjentów w szpitalu na oddziale
……………………….., obliczyć i zinterpretować wartość mediany, kwartyla pierwszego i kwartyla
trzeciego.

Numer pacjenta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Długość pobytu w
szpitalu (w dniach)

2

3

5

6

4

4

3

2

3

2

4

3

3

4

5

Ż

eby wyznaczyć wartość mediany, kwartyla pierwszego oraz kwartyla trzeciego, należy uporządkować

wartości badanej cechy od najmniejszego do największej.

•

Mediana ma wartość obserwacji numer

8

2

16

2

1

15

2

1

=

=

+

=

+

n

•

Kwartyl pierwszy ma wartość obserwacji numer

75

,

3

4

15

4

=

=

n

•

Kwartyl trzeci ma wartość obserwacji numer

25

,

11

4

15

3

4

3

=

⋅

=

n

uporządkowane wartości cechy badanej (długość pobytu w szpitalu)

2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 , 4, 5, 5, 6,

Obserwacja numer 3,75

znajduje się między

wartościami 2 i 3, więc

kwartyl pierwszy przyjmuje

wartość większą (wartość 3)

Obserwacja

numer 8 ma wartość 3,

więc mediana przyjmuje

wartość 3

Obserwacja numer 11,25

znajduje się między

wartościami 4 i 4, więc

kwartyl trzeci przyjmuje

wartość 4

( )

3

1

=

x

Q

( )

3

=

x

M

( )

4

3

=

x

Q

Interpretacje:

( )

3

=

x

M

Połowa badanych pacjentów przebywa w szpitalu nie dłużej niż 3 dni, a druga połowa

nie krócej niż 3 dni.

( )

3

1

=

x

Q

25% badanych pacjentów przebywa w szpitalu nie dłużej niż 3 dni, a 75% badanych

pacjentów nie krócej niż 3 dni.

( )

4

3

=

x

Q

75% badanych pacjentów przebywa w szpitalu nie dłużej niż 4 dni, a 25% badanych

pacjentów nie krócej niż 4 dni.

8

Zadanie 2.

Na podstawie poniższych danych (szereg rozdzielczy punktowy) dotyczących długości pobytu pacjentów

w szpitalu, obliczyć wartość mediany, kwartyla pierwszego i kwartyla trzeciego.

Liczba dni pobytu

pacjentów szpitalu

Liczba pacjentów

x

i

n

i

1

3

2

8

3

6

4

6

5

2

SUMA

25

Ż

eby wyznaczyć wartość mediany, kwartyla pierwszego oraz kwartyla trzeciego, należy wyznaczyć

liczebności skumulowane (sumowanie liczebności coraz większej liczby wariantów badanej cechy),

•

Mediana ma wartość obserwacji numer

13

2

26

2

1

25

2

1

=

=

+

=

+

n

odczytanej na liczebnościach

skumulowanych

•

Kwartyl pierwszy ma wartość obserwacji numer

25

,

6

4

25

4

=

=

n

odczytanej na liczebnościach

skumulowanych

•

Kwartyl trzeci ma wartość obserwacji numer

75

,

18

4

25

3

4

3

=

⋅

=

n

odczytanej na liczebnościach

skumulowanych

Liczba

dni

pobytu

pacjentów

szpitalu

Liczba

pacjentów

Liczebności

skumulowane

Numery pacjentów

Obserwacja numer 6,25 ma

wartość 2, więc kwartyl

pierwszy przyjmuje wartość

2

( )

2

1

=

x

Q

x

i

n

i

n

sk

1

3

3

(1, 2, 3)

Obserwacja

numer 13 ma wartość 3, więc

mediana przyjmuje wartość 3

2

8

3+8=11

(4, 5,

6, 7

, 8, 9, 10, 11)

3

6

3+8+6=17

(12,

13

, 14, 15, 16, 17)

4

6

3+8+6+6=23

(

18, 19

, 20, 21, 22, 23)

Obserwacja numer 18,75 ma

wartość 4, więc kwartyl trzeci

przyjmuje wartość

4

( )

4

3

=

x

Q

5

2

3+8+6+6+2=25

(24, 25)

SUMA

25

9

Zadanie 3.
Na podstawie poniższych danych (szereg rozdzielczy przedziałowy) dotyczących wzrostu pacjentów
przebywających w szpitalu, obliczyć i zinterpretować wartość mediany, kwartyla pierwszego kwartyla
trzeciego.

MEDIANA

)

(

OM

x

F

M

x

0

M

x

1

M

n

wzrost (w

cm)

Liczba

pacjentów

Liczebności

skumulowane

Numery

pacjentów

13

2

1

25

2

1

=

+

=

+

n

i

oi

x

x

1

−

i

n

sk

n

<156 – 165>

4

4

(1, 2, 3, 4)

<

166 –175

>

PRZEDZIAŁ

MEDIANY

12

4+12=16

(5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12,

13

, 14, 15,

16)

<176 – 185>

7

4+12+7=23

(17, 18, 19, 20, 21,

22, 23)

<186 – 195>

2

4+12+7+2=25

(24, 25)

SUMA

25

( )

( )

M

M

OM

OM

n

h

x

F

n

x

x

M













−

+

+

=

2

1

9

166

175

)

1

=

−

=

−

=

M

M

M

x

x

h

( )

(

)

75

,

172

75

,

6

166

4

3

9

166

12

9

4

13

166

=

+

=

⋅

+

=

⋅

−

+

=

x

M

KWARTYL PIERWSZY

)

(

1

OQ

x

F

1

0Q

x

1

1Q

x

1

Q

n

wzrost (w

cm)

Liczba

pacjentów

Liczebności

skumulowane

Numery pacjentów

25

,

6

4

25

4

=

=

n

i

oi

x

x

1

−

i

n

sk

n

<156 – 165>

4

4

(1, 2, 3, 4)

<

166 –175

>

PRZEDZIAŁ

KWARTYLA 1

12

4+12=16

(5,

6, 7

, 8, 9, 10, 11,

12, 13, 14, 15, 16)

<176 – 185>

7

4+12+7=23

(17, 18, 19, 20, 21,

22, 23)

<186 – 195>

2

4+12+7+2=25

(24, 25)

SUMA

25

( )

( )

1

1

1

1

4

1

Q

Q

OQ

OQ

n

h

x

F

n

x

x

Q













−

+

=

9

166

175

1

1

1

0

1

=

−

=

−

=

Q

Q

Q

x

x

h

10

( )

(

)

69

,

167

69

,

1

166

4

3

25

,

2

166

12

9

4

25

,

6

166

1

=

+

=

⋅

+

=

⋅

−

+

=

x

Q

KWARTYL TRZECI

)

(

3

OQ

x

F

3

1Q

x

3

0Q

x

3

Q

n

wzrost (w

cm)

Liczba

pacjentów

Liczebności

skumulowane

Numery

pacjentów

75

,

18

4

25

3

4

3

=

⋅

=

n

i

oi

x

x

1

−

i

n

sk

n

<156 – 165>

4

4

(1, 2, 3, 4)

<166 –175>

12

4+12=

16

(5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15,

16)

<176 -185>

PRZEDZIAŁ

KWARTYLA 3

7

4+12+7=23

(17,

18, 19

, 20,

21, 22, 23)

<186 – 195>

2

4+12+7+2=25

(24, 25)

SUMA

25

( )

( )

3

3

3

3

4

3

3

Q

Q

OQ

OQ

n

h

x

F

n

x

x

Q













−

+

=

9

176

185

3

3

3

0

1

=

−

=

−

=

Q

Q

Q

x

x

h

( )

(

)

54

,

179

54

,

3

176

7

9

75

,

2

176

7

9

16

75

,

18

176

3

=

+

=

⋅

+

=

⋅

−

+

=

x

Q

( )

69

,

167

1

=

x

Q

( )

75

,

172

=

x

M

( )

54

,

179

3

=

x

Q

Interpretacje:

( )

69

,

167

1

=

x

Q

25% badanych pacjentów ma wzrost nie większy niż 167, 69 cm, a 75% badanych

pacjentów ma wzrost nie mniejszy niż 167,69 cm.

( )

75

,

172

=

x

M

Połowa badanych pacjentów ma wzrost nie większy niż 172,75 cm, a druga połowa

badanych pacjentów ma wzrost nie mniejszy niż 172,75 cm.

( )

54

,

179

3

=

x

Q

75% badanych pacjentów ma wzrost nie większy niż 179,54 cm, a 25% badanych

pacjentów ma wzrost nie mniejszy niż 179,54 cm.