1

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Konwekcja

Konwekcja

wymiana ciep

wymiana ciep

ł

ł

a w poruszaj

a w poruszaj

ą

ą

cym si

cym si

ę

ę

o

o

ś

ś

rodku

rodku

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

zjawisko opisane jest przez układ równa

ń

zachowania. S

ą

to sprz

ęż

one, silnie nieliniowe

równani ró

ż

niczkowe o pochodnych cz

ą

stkowych. Dla stanu ustalonego, przepływów

nie

ś

ci

ś

liwych, stałych wła

ś

ciwo

ś

ci materiałowe, niezbyt du

ż

ych pr

ę

dko

ś

ci, pomini

ę

tych sił

masowych (np. siły ci

ęż

ko

ś

ci) i

ź

ródeł ciepła równania te maj

ą

posta

ć

:

konwekcyjna wymiana ciep

konwekcyjna wymiana ciep

ł

ł

a

a

zachowanie energii

+ warunki brzegowe na pr

ę

dko

ść

, temperatur

ę

i ci

ś

nienie

zachowanie składowej z-owej p

ę

du

zachowanie składowej y-owej p

ę

du

zachowanie składowej x-owej p

ę

du

zachowanie masy

5 niewiadomych:

3 składowe pr

ę

dko

ś

ci, ci

ś

nienie, temperatura

0

y

x

z

v

v

v

x

y

z

∂

∂

∂

+

+

=

∂

∂

∂

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

y

z

v

v

v

v

v

v

p

v

v

v

x

y

z

x

x

y

z





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

= −

+

+

+





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂





ρ

ρ

ρ

η

2

2

2

2

2

2

y

y

y

y

y

y

x

y

z

v

v

v

v

v

v

p

v

v

v

x

y

z

y

x

y

z





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

= −

+

+

+









∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂





ρ

ρ

ρ

η

2

2

2

2

2

2

z

z

z

z

z

z

x

y

z

v

v

v

v

v

v

p

v

v

v

x

y

z

z

x

y

z





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

= −

+

+

+





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂





ρ

ρ

ρ

η

2

2

2

2

2

2

x

y

z

T

T

T

T

T

T

v

v

v

a

x

y

z

x

y

z





∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

=

+

+





∂

∂

∂

∂

∂

∂





2

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

analityczne rozwi

ą

zanie tego układu jest znane tylko w kilku trywialnych

przypadkach. Nawet wtedy analiza jest bardzo uci

ąż

liwa. Dla zło

ż

onych

przypadków nie ma rozwi

ą

za

ń

analitycznych. Potrzebne jest uproszczenie!

aby wyznaczy

ć

rozkład temperatury nale

ż

y wyznaczy

ć

wpierw rozkład pr

ę

dko

ś

ci

i ci

ś

nienia (z równa

ń

p

ę

du i masy) a nast

ę

pnie rozwi

ą

za

ć

równanie energii

Warunek brzegowy III rodzaju (wprowadzony w teorii przewodzenia ciepła)
wymaga znajomo

ś

ci

1. temperatury płynu wymieniaj

ą

cego ciepło z dan

ą

powierzchni

ą

2. współczynnika wnikania ciepła

α

poj

ę

cie współczynnika wnikania ciepła

WB III rodzaju to do

ść

grube przybli

ż

enie-

w rzeczywisto

ś

ci, na styku ciała stałego i płynu ma miejsce ci

ą

gło

ść

temperatury i strumienia ciepła. Aby to uwzgl

ę

dni

ć

, nale

ż

ałoby

rozwi

ą

za

ć

zadania transportu p

ę

du, energii i masy w płynie

równocze

ś

nie z zadaniem przewodzenie ciepła w ciele stałym.

cel wprowadzenia WB III rodzaju

-

rozprz

ą

c przepływ i wymian

ę

ciepła w płynie od przewodzenia ciepła w

ciele stałym.

∞

T

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

jednorodny
profil wlotowej
temperatury
i pr

ę

dko

ś

ci

profil
pr

ę

dko

ś

ci

profil
temperatury

hydrauliczna
warstwa
przy

ś

cienna

termiczna
warstwa
przy

ś

cienna

ciało stałe

Hipotetyczna warstwa zaczyna si

ę

na styku ze

ś

ciank

ą

i nie ma ostrej górnej

granicy. Przyjmuje si

ę

,

ż

e warstwa ko

ń

czy si

ę

w miejscu gdzie pr

ę

dko

ść

osi

ą

ga 99% pr

ę

dko

ś

ci rdzenia płynu.

3

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

)

(

s

f

f

f

f

f

T

T

y

T

n

T

q

−

α

=

∂

∂

λ

=

∂

∂

λ

−

=

∞

ciało stałe

poruszaj

ą

cy

si

ę

płyn

konwekcyjny
strumie

ń

ciepła

w płynie

strumie

ń

ciepła

przewodzonego
w ciele stałym

y

T

n

T

q

s

s

s

s

s

∂

∂

λ

−

=

∂

∂

λ

−

=

(

)

lub

(

)

s

s

s

dT

q

T

T

T

T

dx

∞

∞

=

−

−

=

−

α

λ

α

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

0

0

(

)

s

s

T

T

q

T

T

q

∞

∞

−

→

⇒

→

−

↑

⇒

↑

to tylko jeden parametr opisuj

ą

cy wpływ pola pr

ę

dko

ś

ci i temperatury w płynie

na intensywno

ść

wymiany ciepła płyn-ciało stałe

takie przybli

ż

enie nie mo

ż

e by

ć

dokładne!!

współczynnik wnikania ciepła jest parametrem sztucznym, nie posiadaj

ą

cym jasnej

interpretacji fizycznej

dobrze opisuje wymian

ę

ciepła jako

ś

ciowo

4

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

współczynnik wnikania ciepła mo

ż

e by

ć

okre

ś

lony trzema drogami

1.

rozwi

ą

zanie numeryczne równa

ń

CFD opisuj

ą

cych procesy transportu

w płynie. Ale wtedy po co wprowadza

ć

poj

ę

cie współczynnika wnikania?

2.

rozwi

ą

zanie równa

ń

warstwy przy

ś

ciennej metodami analitycznymi

(rzadko mo

ż

liwe) lub numerycznymi

3. eksperymenty – ale tu potrzebne jest narz

ę

dzie do uogólniania wyników,

aby przenosi

ć

wyniki do

ś

wiadcze

ń

na inne przypadki.

niezbyt praktyczne, aby okre

ś

li

ć

grubo

ść

warstwy przy

ś

ciennej

nale

ż

ałoby rozwi

ą

za

ć

równania transportu p

ę

du, energii i masy w płynie

(

)

/

f

f

T

T

T

T

T

T

∞

∞

− =

−

⇒

=

λ

α

α λ δ

δ

współczynnik wnikania ciepła – odwrotno

ść

oporu przewodzenia ciepła przez

warstw

ę

przy

ś

cienn

ą

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Zmienne bezwymiarowe

teoria podobie

ń

stwa

- słu

ż

y do minimalizacji liczby eksperymentów

Chodzi o uzyskanie korelacji definiuj

ą

cych współczynnik wnikania jako funkcj

ę

parametrów wpływaj

ą

cych na pole temperatury i pr

ę

dko

ś

ci

dla układów podobnych

geometrycznie

do konfiguracji w której wykonano eksperymenty

Zmienne bezwymiarowe

- ich wprowadzenie pozwala na redukcj

ę

liczby

niezale

ż

nych zmiennych opisuj

ą

cych zjawisko

Jak zdefiniowa

ć

zmienne bezwymiarowe i ich wzajemne powi

ą

zanie?

•

analiza wymiarowa

(Teoremat

π

Buckinghama) Sporz

ą

dza si

ę

list

ę

wszystkich

parametrów istotnych w opisie danego zjawiska i ł

ą

czy si

ę

je w zmienne

bezwymiarowe przez dobór pot

ę

g zmiennych przy zmiennych. Metoda łatwa

w zastosowaniu, lecz je

ś

li lista zmiennych nie jest kompletna prowadzi do

mylnych wyników. Utworzone zmienne mog

ą

nie mie

ć

interpretacji fizycznej.

• analiza równa

ń

rz

ą

dz

ą

cych zjawiskiem

. Nieco trudniejsza w zastosowaniu

lecz prowadz

ą

ca do dobrych, fizykalnie uzasadnionych wyników

5

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Przykład analizy równa

ń

dla konwekcji wymuszonej

0

y

x

v

v

x

y

∂

∂ + =

∂

∂

2

2

2

2

x

x

x

x

x

y

v

v

v

v

p

v

v

x

y

x

x

y

ρ

ρ

η





∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+





∂

∂

∂

∂

∂





2

2

2

2

y

y

y

y

x

y

v

v

v

v

p

v

v

x

y

y

x

y

ρ

ρ

η





∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+









∂

∂

∂

∂

∂





zachowanie masy

zachowanie p

ę

du

2

2

2

2

x

y

T

T

T

T

v

v

a

x

y

x

y





∂

∂

∂

∂

+

=

+





∂

∂

∂

∂





zachowanie energii

(

)

T

T

T

y

∞

∂

−

=

−

∂

λ

α

przepływ wymuszony działaniem zewn

ę

trznych maszyn (pompa, spr

ęż

arka,

wentylator) . Ustalony dwuwymiarowy przepływ, główny strumie

ń

przepływa w

kierunku osi x. Mo

ż

e dotyczy

ć

przepływu w przewodzie, opływu płaskiej płyty,

rury itp.)

warunek brzegowy

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

2

0

0

0

,

(

)

,

x

x

y

y

X

x L

Y

y L

V

v v

V

v v

T

T

T

P

p

v

ρ

∞

= / ,

= / ,

= / ,

= /

Θ =

− /∆

= /

wprowadzaj

ą

c oczywiste zmienne bezwymiarowe

0

v

L

T

∆

wymiar charakterystyczny np

ś

rednica rury,

charakterystyczna ró

ż

nica temperatury

0

y

x

V

V

X

Y

∂

∂ +

=

∂

∂

2

2

2

2

1

Re

x

x

x

x

x

y

V

V

V

V

P

V

V

X

Y

X

X

Y





∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+





∂

∂

∂

∂

∂





2

2

2

2

1

Re

y

y

y

y

x

y

V

V

V

V

P

V

V

X

Y

Y

X

Y





∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+









∂

∂

∂

∂

∂





2

2

2

2

1

Re Pr

x

y

V

V

X

Y

X

Y





∂Θ

∂Θ

∂ Θ ∂ Θ

+

=

+





∂

∂

∂

∂





Nu

y

∂Θ = ⋅Θ

∂

pr

ę

dko

ść

odniesienia np. w rdzeniu p

ł

ynu,

6

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

0

Nu=

/ ,

Re

Pr

L

v

L

c

α λ

ρ η

η λ

=

/ ,

= /

powstały trzy zmienne bezwymiarowe

tylko dwie zmienne niezale

ż

ne!

Nu

(Re,Pr)

f

=

dla wszystkich podobnych geometrycznie konfiguracji

• przepływy charakteryzuj

ą

ce si

ę

tymi samymi liczbami Prandtla i

Reynoldsa maj

ą

t

ę

sam

ą

liczb

ę

Nusselta

• pola temperatury i pr

ę

dko

ś

ci zale

żą

od dwu zmiennych: liczby

Reynoldsa i Prandtla. Współczynnik wnikania ciepła powinien
zale

ż

e

ć

tylko od tych zmiennych

równania kryterialne maj

ą

posta

ć

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

liczba Reynoldsa

- stosunek sił bezwładno

ś

ci do sił tarcia lepkiego

liczba Prandtla

- stosunek dyfuzyjno

ś

ci molekularnych transportu p

ę

du i

ciepła równowa

ż

ne stosunkowi grubo

ś

ci hydraulicznej i

termicznej warstwy przy

ś

ciennej

liczba Nusselta

- stosunek oporów przewodzenia i wnikania ciep

ł

a w cieczy

Pr

1,

h

T

δ

δ

≈ →

≈

Pr>1,

h

T

δ

δ

→

>

Pr

1,

h

T

δ

δ

<< →

<<

gazy

ciecze

metale ciekłe

Interpretacja fizyczna zmiennych bezwymiarowych

7

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

U

ż

ytecznym efektem analizy konwekcyjnej wymiany ciepła s

ą

przepisy na

obliczanie współczynnika wnikania ciepła

. Słu

żą

one do

definiowania

warunków brzegowych zada

ń

przewodzenia ciepła

. Nie pozwalaj

ą

znale

źć

pola temperatury w płynie!

Korelacje definiuj

ą

ce współczynnik wnikania ciepła dotycz

ą

• konwekcji wymuszonej i naturalnej

• przepływów laminarnych i turbulentnych

• przepływów wewn

ę

trznych i zewn

ę

trznych

• konwekcji przy zmianie fazy

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

przepływy turbulentne i laminarne

dla małych pr

ę

dko

ś

ci s

ą

siaduj

ą

ce ze sob

ą

cz

ą

steczki płynu poruszaj

ą

si

ę

po torach

równoległych. Przy wi

ę

kszych pr

ę

dko

ś

ciach pojawiaj

ą

si

ę

chaotyczne

fluktuacje pr

ę

dko

ś

ci we wszystkich kierunkach. Te szybkie fluktuacje

pr

ę

dko

ś

ci grup cz

ą

steczek płynu zwane

wirami

intensyfikuj

ą

wymian

ę

p

ę

du i ciepła.

Przepływy turbulentne dominuj

ą

w technice

korzy

ść

– redukcja kosztów inwestycyjnych instalacji

straty

–

wzrost oporów przepływu, wzrost kosztów ruchowych

8

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

'

'

'

'

,

,

i

i

x

x

x

y

y

y

i

i

v

v

v

v

v

v

T

T

T

p

p

p

= +

= +

= +

= +

Rozkład temperatury jako sum

ę

warto

ś

ci

ś

redniej i fluktuacji w czasie

1

d

i

T

T

τ

τ

τ

τ

τ

+∆

=

∆

∫

(

')(

' )

'

'

' '

'

'

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Tv

T

T

v

v

Tv

Tv

v T

v T

Tv

v T

=

+

+

=

+

+

+

=

+

'

1

'

d

0

T

T

τ

τ

τ

τ

τ

+∆

=

=

∆

∫

U

ś

rednienie Reynoldsa równa

ń

Naviera Stokes’a 1

te

m

p

e

ra

tu

ra

T

c

h

w

ilo

w

a

te

m

p

e

ra

tu

ra

T

i

te

m

p

e

ra

tu

ra

ś

re

d

n

ia

T

fluktuacje

T’

_

czas

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

0

y

x

v

v

x

y

∂

∂ + =

∂

∂

'

'

2

2

'

'

2

2

x

y

x

x

x

x

x x

x

y

v v

v

v

v

v

v v

p

v

v

x

y

x

x

y

x

y

ρ

ρ

η

ρ

ρ

∂





∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+

−

−





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂





2

2

2

2

' '

' '

1

1

y

x

x

y

T v

T v

T

T

T

T

v

v

a

x

y

x

y

c

x

c

y

∂





∂

∂

∂

∂

∂

+

=

+

−

−





∂

∂

∂

∂

∂

∂





ρ

ρ

2

2

'

'

'

'

2

2

y

y

y

y

y x

y

y

x

y

v

v

v

v

v v

v v

p

v

v

x

y

x

x

y

x

y

ρ

ρ

η

ρ

ρ





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+

−

−









∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂





u

ś

rednione w czasie równania zachowania

masy

składowej

x

p

ę

du

energii

zachowanie

obecno

ść

fluktuacji powoduje pojawienie si

ę

nowych niewiadomych

(w czerwonych ramkach). Potrzebne s

ą

dodatkowe równania zwane

modelami turbulencji

U

ś

rednienie Reynoldsa równa

ń

Naviera Stokes’a 2

składowej

y

p

ę

du

9

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Przepływy turbulentne – trudno rozwi

ą

zywa

ć

nawet u

ż

ywaj

ą

c

współczesnych programów CFD, jako

ż

e wymaga to doł

ą

czenia do modelu

dodatkowych, bazuj

ą

cych na eksperymentach, korelacji. Mo

ż

liwe s

ą

trzy

podej

ś

cia do problemu uwzgl

ę

dniania turbulencji

1.Bezpo

ś

rednia Symulacja Numeryczna

2.U

ś

rednienie Reynoldsa równa

ń

Naviera Stokes’a

3.Symulacja du

ż

ych wirów

Bezpo

ś

rednia

Symulacja Numeryczna (Direct Numerical Simulation –DNS).

Podej

ś

cie w którym próbuje si

ę

zamodelowa

ć

wszystkie skale wirów

turbulentnych. Ze wzgl

ę

du na zbyt długie czasy oblicze

ń

i obci

ąż

enie

pami

ę

ci komputera nie u

ż

ywane przy rozwi

ą

zywaniu zada

ń

in

ż

ynierskich

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Symulacja du

ż

ych wirów

(Large Eddy Simulation (LES)

kompromis mi

ę

dzy RANS i DNS . Du

ż

e skale wirów s

ą

uwzgl

ę

dniane

przez rozwi

ą

zywanie równa

ń

zachowania, obecno

ść

mniejszych

uwzgl

ę

dnia si

ę

przez odpowiednie modele empiryczne

U

ś

rednienie Reynoldsa równa

ń

Naviera Stokes’a

(

Reynolds Averaged Navier-Stokes RANS)

.

Najpopularniejsze podej

ś

cie. Zmiennymi poszukiwanymi w równaniach

zachowania s

ą

u

ś

rednione w czasie temperatura, ci

ś

nienie i składowe

pr

ę

dko

ś

ci. Dodatkowymi niewiadomymi s

ą

fluktuacje tych wielko

ś

ci. Aby

domkn

ąć

układ równa

ń

wprowadza si

ę

dodatkowe równania tzw.

modele turbulencji.

Najpopularniejszy model to równania

k

-

ε

Laundera-Spaldinga.

Model wymaga rozwi

ą

zania dwu dodatkowych równa

ń

ró

ż

niczkowych o

pochodnych cz

ą

stkowych opisuj

ą

cych zachowanie turbulentnej energii

kinetycznej

k

i energii dyssypacji

ε

.

Równania modelu zwieraj

ą

5 stałych

empirycznych

10

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

•przep

ł

yw wewn

ę

trzne

- przewody, kanały o ograniczonych

wymiarach

•przep

ł

ywy zewn

ę

trzne

- opływy ciał zanurzonych w

niesko

ń

czonych obj

ę

to

ś

ciach poruszaj

ą

cego si

ę

płynu (samolot,

kadłub statku, samochód)

Przepływy wewn

ę

trzne i opływy

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Wewn

ę

trzny przepływ laminarny

11

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

długo

ść

rozbiegowego odcinka hydraulicznego

długo

ść

termicznego odcinka rozbiegowego

L

h

i

L

T

zale

żą

od liczby Prandtla

gazy,

Pr ≈1

te same długo

ś

ci

ciecze

Pr >1 L

h

<

L

T

ciekłe metale

Pr <<1 L

h

>>

L

T

jednorodny
profil wlotowej
temperatury
i pr

ę

dko

ś

ci

w pełni rozwinięte
pole prędkości

w pełni rozwinięte
pole temperatury

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

W

pełni rozwini

ę

ty profil temperatury

– profil nie zmienia si

ę

wzdłu

ż

długo

ś

ci

rury. Podobnie zachowuje si

ę

g

ę

sto

ść

strumienia ciepła (pochodna pola

temperatury), współczynnik wnikania i liczba Nusselta
Wzdłu

ż

odcinka wlotowego WWC zmniejsza si

ę

od niesko

ń

czono

ś

ci na

wlocie, gdzie grubo

ść

warstwy przy

ś

ciennej jest zerowa, do stałej warto

ś

ci

w odcinku w pełni rozwini

ę

tego przepływu.

w

sp

ó

łc

zy

n

n

ik

w

n

ik

an

ia

c

ie

p

ła

α

odległość od wlotu do rury L

α

α

12

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

W

zakresie rozwini

ę

tego profilu temperatury

kształt rozkładu temperatury

wzdłu

ż

rury nie zmienia si

ę

. Rozwa

ż

ania teoretyczne (patrz dodatek) dały wzór

na pole temperatury (stały strumie

ń

na

ś

ciance rury)

2

4

0

2

4

2

7

24

4

w

w

m

q z

q R

r

r

T

T

c Rv

R

R





= +

−

−

+





ρ

λ





współczynnik wnikania ciepła mo

ż

na wyznaczy

ć

z tego rozkładu

[

]

/

(

, )

/(

)

24 /11

w

w

T

T r

R z

T

q

T

T

R

r

∞

∞

∂

α = −λ

=

−

=

−

= λ

∂

podobna analiza dla warunku stałej temperatury

ś

cianki daje

2

Nu

4.364

R

D

α

α

=

=

=

λ

λ

Nu=3.657

wnioski:
•

gdyby zna

ć

rozkład temperatury, współczynniki wnikania mo

ż

na by

wyznaczy

ć

analitycznie, eksperyment nie byłby potrzebny

•

liczba Nusselta w obszarze przepływów laminarnych, rozwini

ę

tych jest stała

•

warto

ść

jej zale

ż

y od typu warunków brzgowych na powierzchni rury.

W praktyce ani temperatura ani strumie

ń

ciepła nie s

ą

stałe na powierzchni

rury. Nieliczne znane wzory analityczne s

ą

niezbyt dokładne

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Nu

(Re Pr

/ )

f

D L

=

, ,

W

odcinku rozbiegowym

, współczynnik wnikania ciepła spada od

niesko

ń

czono

ś

ci na wlocie, gdzie grubo

ść

warstwy przy

ś

ciennej jest

zerowa, do warto

ś

ci stałej, charakterystycznej dla rozwini

ę

tego przepływu.

W odcinku rozbiegowym mog

ą

wyst

ą

pi

ć

trzy ró

ż

ne oddziaływania pola

temperatury i pr

ę

dko

ś

ci

• rozbiegowy rozkład pr

ę

dko

ś

ci i temperaturowy

• rozwini

ę

ty rozkład pr

ę

dko

ś

ci, rozbiegowy profil temperatury

• rozbiegowy rozkład pr

ę

dko

ś

ci, rozwini

ę

ty rozkład temperatury Równania

kryterialne na liczb

ę

Nusselta otrzymuje si

ę

przez uogólnienie wyników

eksperymentów. Ogólna posta

ć

tych wzorów to

gdzie

odpowiednio: odległo

ść

od wlotu rury i

ś

rednica

,

L D

13

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

1/ 3

2 / 3 2

2 / 3

0.0018 (Re Pr / )

Nu

3.657

[0.04 (Re Pr

/ )

]

0.0668 Re Pr

/

Nu

3.657

1 0.04(Re Pr

/ )

D L

D L

D L

D L

−

+

=

+

+

+

=

+

+

Przykład: odcinek rozbiegowy dla pola temperatury i pr

ę

dko

ś

ci wg.

Hausena dla stałej temperatury

ś

cianki

Nu

lokalna liczba Nusselta w odległo

ś

ci

L

od wlotu

ś

rednia liczba Nusselta na odcinku mi

ę

dzy wlotem a punktem

poło

ż

onym w odległo

ś

ci

L

od brzegu

Nu

dla

L

→ ∞

liczba Nusselta d

ąż

y od stałej 3.657 otrzymanej analitycznie dla

stałej temperatury

ś

cianki

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Wewn

ę

trzny przepływ

wymuszony turbulentny

14

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Nu

Re Pr

a

b

A C

= +

A, C, a, b

znajduje si

ę

przez dopasowanie dl danych

eksperymentalnych

równania kryterialne dla przepływów turbulentnych wymuszonych

wewn

ę

trznych na

jczęściej mają postać

historycznie pierwsza korelacja Dittus Boelter (1930)

0.8

0.4

0.8

0.3

Nu

0.0243Re Pr

przy grzaniu; Nu

0.0265Re Pr

dla chlodzenia

=

=

Colburn podał inn

ą

korelacj

ę

bazuj

ą

c

ą

na analogii transportu ciepła i masy (1933)

0.8

1/ 3

Nu

0.023Re Pr

=

dok

ł

adno

ść

korelacji Colburna i Dittus Boeltera +25% -40%,

przy

5

0.7

Pr

120; 2500

Re

1.24 10 ;

/

60

L D

<

<

<

<

⋅

>

4

0.7

Pr

160; Re>10 ;

/

60

L D

<

<

>

rozwini

ę

ty, turbulentny przepływ w przewodach

0.67

Pr

100

<

<

gdzie L i D długo

ść

i

ś

rednica rury

warto

ś

ci wła

ś

ciwo

ś

ci materiałowych nale

ż

y wyznacza

ć

dla

ś

redniej temperatury płynu

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Re Pr

Nu

5 0 016

a

b

= + .

0 24

0 88

4

Pr

a

.

= . −

+

0 33 0 5 exp( 0 6Pr)

b

= . + .

− .

0 1

Pr

10 000

. <

<

(

) 2

m

T

T

T

∞

=

+

/

obowi

ą

zuje przy

w

ł

a

ś

ciwo

ś

ci materia

ł

owe (lepko

ść

!) wyznacza

ć

dla

ś

redniej temperatury

warstwy przy

ś

ciennej

(Notter Sleicher, 1972 przepływ turbulentny w rurach o przekroju kołowym)

10 000

Re

1000 000

<

<

25

L D

/ >

nowsze korelacje

15

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

przekroje niekołowe

wpływy uboczne 1

gdzie

Γ

pole powierzchni przekroju strugi płynu,

p

obwód zwil

ż

ony

ś

cianki

odcinek rozbiegowy

oblicza si

ę

mno

ż

nik poprawkowy współczynnika wnikania ciepła.

Stosuje si

ę

tylko je

ś

li

L/D < 50.

stosuje si

ę ś

rednic

ę

ekwiwalentn

ą

0.293

50

,

1.87 / Re

n

L

e

n

L D

ε





=

=









krzywizna przewodu

oblicza si

ę

mno

ż

nik poprawkowy współczynnika wnikania ciepła.

4

e

D

p

Γ

=

gdzie

R

promie

ń

zakrzywienia przewodu,

D

e

ś

rednica ekwiwalentna

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

wpływy uboczne 2

chłodzenie

grzanie

przepływ
izotermiczny

0.14

[ (

) / (

)]

T

w

T

T

ε

η

η

∞

=

0.25

[Pr(

) / Pr(

)]

T

w

T

T

ε

∞

=

Mikheev.

Sieder & Tate.

wyznacza si

ę

wsp. wnikania ciepła

obliczaj

ą

c wła

ś

ciwo

ś

ci płynu dla

temperatury rdzenia płynu. Wynik mno

ż

y

si

ę

przez

ε

Τ

uwzgl

ę

dnia si

ę

tylko dla cieczy

kierunek przepływu ciepła

(

), (

)

w

T

T

η

η

∞

lepko

ść

dynamiczna wyznaczona

w temperaturze rdzenia płynu i

ś

cianki

16

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

zakres przej

ś

ciowy mi

ę

dzy ruchem laminarnym a turbulentnym

przej

ś

cie mi

ę

dzy re

ż

imem laminarnym a turbulentnym a laminarnym nie jest

ostre. W podr

ę

cznikach podaje si

ę

warto

ść

graniczn

ą

Re=2 300. w

rzeczywisto

ś

ci przej

ś

cie nast

ę

puje w zakresie liczb Reynoldsa Re=2 300 i

Re=10 000
W rurach

gładkich

podczas przepływu

bez zakłóce

ń

spowodowanych np.

wibracjami, przepływ laminarny udaje si

ę

utrzyma

ć

a

ż

do Re=100 000

0.14

2 / 3

2 / 3

1/ 3

Nu=0.116 1+

(Re

125) Pr

2 300

Re

150 000

w

D

L

η
η

∞













−





























<

<

wzór Hausena obejmuje obszar przej

ś

ciowy i turbulentny

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Przepływy zewn

ę

trzne

17

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Zewn

ę

trzne przepływy laminarne

dla opływów ciał o małej krzywi

ź

nie, równania kryterialne mo

ż

na wyprowadzi

ć

z

uproszczonych równa

ń

zachowania ograniczonych do warstwy przy

ś

ciennej.

Dla płaskiej płyty najpierw rozwija si

ę

warstwa laminarna, która przy

wy

ż

szych liczbach Reynoldsa zdefiniowanej jako

dzieli

si

ę

na trzy podwarstwy

v

ciało stałe

podwarstwa

buforowa

podwarstwa
lamiarna

podwarstwa

turbulentna

∞

δ

h

L

h

zmiana charakteru przepływu ma miejsce przy
chropowatej do przy powierzchni gładkiej i spokojnym strumieniu
napływaj

ą

cego płynu.

η

ρ

=

∞

/

Re

x

v

x

4

10

8

Re

⋅

=

x

przy powierzchni

6

10

5

Re

⋅

=

x

x

y

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

0

y

x

v

v

x

y

∂

∂ + =

∂

∂

2

2

2

2

x

x

x

x

x

y

v

v

v

v

p

v

v

x

y

x

x

y

ρ

ρ

η





∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+





∂

∂

∂

∂

∂





2

2

2

2

x

y

T

T

T

T

v

v

a

x

y

x

y





∂

∂

∂

∂

+

=

+





∂

∂

∂

∂





0

y

x

v

v

x

y

∂

∂ + =

∂

∂

2

2

x

x

x

x

y

v

v

v

p

v

v

x

y

x

y

ρ

ρ

η

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

∂

∂

∂

∂

2

2

x

y

T

T

T

v

v

a

x

y

y

∂

∂

∂

+

=

∂

∂

∂

2

2

2

2

y

y

y

y

x

y

v

v

v

v

p

v

v

x

y

y

x

y

ρ

ρ

η





∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+









∂

∂

∂

∂

∂





pełne równania zachowania

uproszczone równania zachowania
dla warstwy przy

ś

ciennej

mo

ż

na rozwi

ą

za

ć

metodami przybli

ż

onymi

lub numerycznymi

18

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Nu

;

Re

Pr

p

x

x

x

c

x

v x

=

=

=

η

α

ρ

λ

η

λ

1/ 2

1/ 3

5

Nu

0.332 Re

Pr

;

Re

5 10

(

) / 2

x

x

m

w

T

T

T

∞

=

< ⋅

=

+

0

1

Nu

Nu ( )d

Nu

2 Nu

L

x

x

x x

L

=

⇒

=

∫

dla stałej temperatury

ś

cianki Pohlhausen podaje rozwi

ą

zanie

wynik przedstawia si

ę

w funkcji zmiennych bezwymiarowych (uwaga

na definicj

ę

wymiaru charakterystycznego)

ś

rednia warto

ść

liczby Nusselta na długo

ś

ci od

0

do

L

1/ 2

1/ 3

Nu

0.664 Re

Pr

L

=

Nu

;

Re

L

v L

L

∞

=

=

ρ

α

λ

η

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

zewn

ę

trzne przepływy turbulentne

turbulentny opływ płaskiej płyty,

ś

rednia warto

ść

liczby Nusselta na długo

ś

ci

x

punkt
przegięcia

prz

epły

w

rew

ersy

jny

oderwanie warstwy przy

ś

ciennej, wyst

ę

puj

ą

ce przy opływie ciał o du

ż

ej

krzywi

ź

nie bardzo komplikuje opis. Równania uzyskuje si

ę

tylko przez

uogólnienie eksperymentów

0.8

0.33

5

Nu

0.0366 Re

Pr

;

Re

5 10

(

) / 2

x

m

w

T

T

T

∞

=

> ⋅

=

+

19

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

powy

ż

sze równania obowi

ą

zuj

ą

tylko dla gazów

podr

ę

czniki podaj

ą

wiele innych konfiguracji

0.699

Nu

0.16Re

Re

/

2500

Re

8000

w a

ρ η

=

=

<

<

a

0.624

Nu

0.261Re

Re

/

2500

Re

7500

w a

ρ η

=

=

<

<

a

a

a

0.638

Nu

0.138Re

Re

/

5 000

Re

100 000

w a

ρ η

=

=

<

<

0.612

Nu

0.224Re

Re

/

2 500

Re

15 000

w a

ρ η

=

=

<

<

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Przepływ prostopadły do pojedynczego walca

4 5

5 8

1 2

1 3

2 3 1 4

Re

0 62Re Pr

Nu

0 3

1

[1 (0 4 Pr)

]

282 000

/

/

/

/

/

/









.

= . +

+









+ . /













Churchill and Bernstein

100

Re

10 000 000

<

<

RePr

0 2

> .

20 000

Re

400 000

<

<

1 2

1 2

1 3

2 3 1 4

0 62

Re

Re Pr

Nu

0 3

1

[1 (0 4 Pr)

]

282 000

/

/

/

/

/









.

= . +

+









+ . /













daje za du

ż

e warto

ś

ci o ok. 20% w zakresie

w tym zakresie nale

ż

y stosowa

ć

równanie

wymiar charakterystyczny w liczbach Nusselta i Reynoldsa dotyczy
wymiarów zewn

ę

trznych. Dla walca to

ś

rednica zewn

ę

trzna

poprawka na k

ą

t natarcia

2

0

0

Nu

Nu

1 0.54 cos

; 30

0

φ

φ

φ

=

⋅ε

ε = −

φ

< φ < 9

φ

v

∞

20

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Przepływ prostopadły do p

ę

czka rur

D

S

L

S

T

S

T

S

L

S

D

układ szeregowy

układ przestawny

max

Re

D v

=

ρ

η

max

T

T

S

v

v

S

D

∞

=

−

v

∞

v

∞

max

T

T

S

v

v

S

D

∞

=

−

max

2(

)

T

D

S

v

v

S

D

∞

=

−

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Przepływ prostopadły do p

ę

czka rur

Žukauskas 1972,87

0.36

2

0 dla gazów

Pr

Nu

Re Pr

gdzie

1/4 dla cieczy

Pr

n

m

w

c

n







=

=













0.8

0.310(S

T

/S

L

)

0.2

dla Pr>1

0.037(S

T

/S

L

)

0.2

dla Pr=0.7

0.8

0.033

>2·10

5

0.6

0.35(S

T

/S

L

)

0.2

dla S

T

/S

L

≤

2

0.40 dla S

T

/S

L

>2

0.63

0.27

*

10

3

–2·10

5

0.5

0.71

0.5

0.52

10

2

–10

3

m

c

2

m

c

2

zakres liczb
Reynoldsa

Uk

ł

ad

przestawny

Uk

ł

ad

szeregowy

*

obowi

ą

zuje dla

S

T

/S

L

≥

0.7

Dla

S

T

/S

L

<0.7

wymiana ciepła jest nieefektywna. Brak jest korelacji w tym

zakresie podziałek, poniewa

ż

w praktyce nie buduje si

ę

takich p

ę

czków rur

ś

rednia warto

ść

liczby Nusselta w całym p

ę

czku

Nu

21

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Przepływ prostopadły do p

ę

czka rur

wpływ liczby rz

ę

dów rur

równanie obowi

ą

zuje je

ś

li w p

ę

czku jest co najmniej N=20 rz

ę

dów rur.

Je

ś

li jest mniej,

ś

redni

ą

liczb

ę

Nusselta oblicza si

ę

z zale

ż

no

ś

ci

3

20

Nu

Nu

N

N

c

≥

=

warto

ść

stałej

c

3

nale

ż

y odczyta

ć

z wykresu

0

2

18

4

6

8

10

12

14

16

20

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

1.1

Re >10

3

10 < Re < 10

3

2

układ szeregowy

układ przestawny

c

3

liczba rz

ę

dów rur

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

DODATEK

przykład rozwi

ą

zania analitycznego dla zadania konwekcji

rura o przekroju kołowym, stan ustalony, płyn nie

ś

ci

ś

liwy, przepływ w du

ż

ej

odległo

ś

ci od przekroju wlotowego. Profil pr

ę

dko

ś

ci nie zmienia si

ę

w kierunku

przepływu. Znane jest nat

ęż

enie masowe przepływu masowego (

ś

rednia pr

ę

dko

ść

w

rurze) oraz g

ę

sto

ść

strumienia ciepła na

ś

ciance rury. Pola pr

ę

dko

ś

ci i temperatury

s

ą

osiowo symetryczne. Wyznaczy

ć

zwi

ą

zek mi

ę

dzy temperatur

ą

i strumieniem

ciepła w płynie.

Równanie zachowania p

ę

du w kierunku

z

w cylindrycznym układzie współrz

ę

dnych.

2

2

1

z

z

z

z

r

z

v

v

v

v

p

v

v

r

r

z

z

r r

r

z





∂

∂

∂

∂

∂

∂





+

= −

+

+









∂

∂

∂

∂

∂

∂









ρ

ρ

η

22

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

0

r

v

=

0

z

v

z

∂ =

∂

przepływ tylko w kierunku

z

w obszarze przepływu rozwini

ę

tego profil pr

ę

dko

ś

ci nie zmienia si

ę

wzdłu

ż

osi

uproszczenia

1

z

dv

p

d

r

z

r dr

dr





∂





=









∂









η

zale

ż

y tylko od

z

zale

ż

y tylko od

r

=

constant

stały gradient ci

ś

nienia w rurze

m

ś

rednia pr

ę

dko

ść

warunki brzegowe na pr

ę

dko

ść

0; symetria w

0;

0; brak poslizgu (adhezja)

z

z

dv

r

v

r

R

dr

=

=

=

=

rozwini

ę

ty profil pr

ę

dko

ś

ci na wylocie z rury

ś

rednia pr

ę

dko

ść

(strumie

ń

masy) na pocz

ą

tku rury

;

0

m

v

z

=

0;

z

v

z

L

z

∂ =

=

∂

m

v

0

z

v

z

∂ =

∂

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

0; symetria w

0;

0; brak poslizgu (adhezja)

z

z

dv

r

v

r

R

dr

=

=

=

=

rozkład pr

ę

dko

ś

ci

2

2

2

1

4

z

R

p

r

v

z

R





∂

=

−





∂





η

ś

rednia pr

ę

dko

ść

2

2

0

1

2

8

R

m

z

R

p

v

v

r dr

R

z

∂

=

= −

∂

∫

π

π

η

ostateczny rozkład pr

ę

dko

ś

ci

2

2

2

1

z

m

r

v

v

R





=

−









1

2

1

ln

4

z

p

v

c

r

c

z

∂

=

+

+

∂

η

c

1

, c

2

nieznane stałe wyznaczane z warunków brzegowych

rozwi

ą

zanie przez dwukrotne całkowanie

parabola

1

2

2

8

m

v

p

p

L

R

−

=

⇒

η

Komentarz:
Równanie Darcy Weisbacha - z równania (A) na

ś

redni

ą

pr

ę

dko

ść

(A)

64

;

Re

Re

m

v D

f

=

=

ρ

η

gdzie

2

2

m

v

L

P

f

D

∆ =

ρ

23

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

wyznaczenie pola temperatury

dla rozwini

ę

tego przepływu doprowadzanie stałego strumienia ciepła powoduje,

ż

e

temperatura płynu i

ś

cianki rosn

ą

liniowo

te

m

p

e

ra

tu

ra

T

∞

w

T

odległo

ść

od wlotu rury

w

T

w

T

w

T

rozkład temperatury w rurze
ten sam kształt – temperatura
liniowo ro

ś

nie

w

T

T

const

∞

−

=

q

w

stała g

ę

sto

ść

strumienia ciepła
na powierzchni
rury

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

Równanie zachowania energii w układzie cylindrycznym

2

2

1

r

z

T

T

T

T

c

v

c

v

r

r

z

r r

r

z





∂

∂

∂

∂

∂





+

=

+









∂

∂

∂

∂

∂









ρ

ρ

λ

0

r

v

=

const

T

z

∂ =

∂

przepływ tylko w kierunku z

profil temperatury nie zmienia si

ę

wzdłu

ż

rury w całym obszarze przepływu rozwini

ę

tego

1

z

T

T

c

v

r

z

r r

r

∂

∂

∂





=





∂

∂

∂





ρ

λ

po wprowadzeniu tych uproszcze

ń

równanie zachowania energii przyjmuje posta

ć

warunki brzegowe na temperatur

ę

0;symetria przy

0;

;

w

dT

T

r

q

r

R

dr

r

∂

=

=

= −λ

=

∂

0

;

0

T

T

z

=

=

na wlocie do rury

const;

T

z

L

z

∂ =

=

∂

na wylocie z rury profil temperatury nie zmienia si

ę

, temperatura ro

ś

nie liniowo

wzdłu

ż

współrz

ę

dnej

z

Uproszczenia równania

24

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

2

2

w

m

Rq dz

c

v R dT

∞

=

π

ρπ

2

w

w

Q

Rq dz

=

π

2

in

m

Q

c

v R T

∞

=

ρπ

2

(

)

out

m

Q

c

v R T

dT

∞

∞

=

+

ρπ

R

wyznaczenie

ś

redniej temperatury z bilansu ciepła odcinka

dz

rury

ś

rednia temperatura w przekroju

z

2

w

m

q

dT

const

dz

c v R

∞

=

=

ρ

T

∞

dz

in

w

out

Q

Q

Q

+

=

0

2

w

m

q

T

z T

c v R

∞

=

+

ρ

1. poniewa

ż

profil temperatury nie zmienia si

ę

wzdłu

ż

osi z

2

w

m

q

dT

T

const

dz

z

c v R

∞

∂

=

=

=

∂

ρ

2. całkuj

ą

c równanie A przy warunku pocz

ą

tkowym

T(z=0)=T

o

otrzymuje si

ę

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

4

2

1

2

2

ln

4

w

q

r

T

r

c

c

r

R

R





=

−

+ +









λ

w

w

w

T

q

c

R

r

T

T

c

r

dr

dT

+

λ

−

=

⇒

=

=

=

⇒

=

=

4

3

przy

(nieznana)

a

temperatur

;

0

0

przy

symetria

;

0

1

2

nieznane stałe

c

1

and

c

2

okre

ś

la si

ę

z warunków brzegowych

:

ostatecznie rozkład temperatury opisany jest równaniem

2

4

2

4

3

4

4

w

w

q R

r

r

T

T

R

R





=

−

−

+





λ





dwukrotne całkowanie wyniku daje rozkład temperatury

nieznan

ą

temperatur

ę ś

cianki eliminuje si

ę

przez wyra

ż

enie jej zwi

ą

zku z

temperatur

ą ś

redni

ą

i wlotow

ą

1

z

T

T

c

v

r

z

r r

r

∂

∂

∂





=





∂

∂

∂





ρ

λ

2

2

2

1

2

(1

)

w

m

m

q

r

T

v

r

v

R

r r

r

∂

∂





−

=





∂

∂





λ

nie mo

ż

na u

ż

y

ć

warunku brzegowego

dr

dT

q

w

λ

=

bo zadanie miałoby 2 wb II rodzaju

25

transport ciepła i masy

©Ryszard A. Białecki

ostatecznie rozkład temperatury opisany jest równaniem

2

4

0

2

4

2

7

24

4

w

w

m

q z

q R

r

r

T

T

c Rv

R

R





= +

−

−

+





ρ

λ





Nieznan

ą

temperatur

ę ś

cianki wyznacza si

ę

z warunku pocz

ą

tkowego.

Wyznaczaj

ą

c z definicji

ś

redni

ą

temperatur

ę

2

4

2

2

4

2

0

0

2

0

2

0

3

2

1

2

2

4

4

2

2

(1

)

2

11

24

R

w

R

w

m

R

R

m

w

w

q R

r

r

r

T

w

c

rdr

Twc

rdr

R

R

R

T

r

wc

rdr

w

c

rdr

R

q R

T

∞













−

−

+

−

























=

=

−

=

−

∫

∫

∫

∫

ρ π

ρ π

λ

ρ π

ρ π

λ

porównuj

ą

c j

ą

z temperatur

ą ś

redni

ą

uzyskan

ą

z bilansu odcinka

dz

rury otrzymuje si

ę

0

2

11

24

w

w

w

m

q

q R

T

z T

T

c v R

∞

=

+ =

−

ρ

λ

0

11

2

24

w

w

w

m

q R

q z

T

T

c Rw

=

+ +

λ

ρ