1
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Konwekcja
Konwekcja
wymiana ciep
wymiana ciep
ł
ł
a w poruszaj
a w poruszaj
ą
ą
cym si
cym si
ę
ę
o
o
ś
ś
rodku
rodku
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
zjawisko opisane jest przez układ równa
ń
zachowania. S
ą
to sprz
ęŜ
one, silnie nieliniowe
równani ró
Ŝ
niczkowe o pochodnych cz
ą
stkowych. Dla stanu ustalonego, przepływów
nie
ś
ci
ś
liwych, stałych wła
ś
ciwo
ś
ci materiałowe, niezbyt du
Ŝ
ych pr
ę
dko
ś
ci, pomini
ę
tych sił
masowych (np. siły ci
ęŜ
ko
ś
ci) i
ź
ródeł ciepła równania te maj
ą
posta
ć
:
konwekcyjna wymiana ciep
konwekcyjna wymiana ciep
ł
ł
a
a
zachowanie energii
+ warunki brzegowe na pr
ę
dko
ść
, temperatur
ę
i ci
ś
nienie
zachowanie składowej z-owej p
ę
du
zachowanie składowej y-owej p
ę
du
zachowanie składowej x-owej p
ę
du
zachowanie masy
5 niewiadomych:
3 składowe pr
ę
dko
ś
ci, ci
ś
nienie, temperatura
0
y
x
z
v
v
v
x
y
z
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
y
z
v
v
v
v
v
v
p
v
v
v
x
y
z
x
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
= −
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ
ρ
ρ
η
2
2
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
x
y
z
v
v
v
v
v
v
p
v
v
v
x
y
z
y
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
= −
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ
ρ
ρ
η
2
2
2
2
2
2
z
z
z
z
z
z
x
y
z
v
v
v
v
v
v
p
v
v
v
x
y
z
z
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
= −
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ
ρ
ρ
η
2
2
2
2
2
2
x
y
z
T
T
T
T
T
T
v
v
v
a
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
=
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
analityczne rozwi
ą
zanie tego układu jest znane tylko w kilku trywialnych
przypadkach. Nawet wtedy analiza jest bardzo uci
ąŜ
liwa. Dla zło
Ŝ
onych
przypadków nie ma rozwi
ą
za
ń
analitycznych. Potrzebne jest uproszczenie!
aby wyznaczy
ć
rozkład temperatury nale
Ŝ
y wyznaczy
ć
wpierw rozkład pr
ę
dko
ś
ci
i ci
ś
nienia (z równa
ń
p
ę
du i masy) a nast
ę
pnie rozwi
ą
za
ć
równanie energii
Warunek brzegowy III rodzaju (wprowadzony w teorii przewodzenia ciepła)
wymaga znajomo
ś
ci
1. temperatury płynu wymieniaj
ą
cego ciepło z dan
ą
powierzchni
ą
2. współczynnika wnikania ciepła
α
poj
ę
cie współczynnika wnikania ciepła
WB III rodzaju to do
ść
grube przybli
Ŝ
enie-
w rzeczywisto
ś
ci, na styku ciała stałego i płynu ma miejsce ci
ą
gło
ść
temperatury i strumienia ciepła. Aby to uwzgl
ę
dni
ć
, nale
Ŝ
ałoby
rozwi
ą
za
ć
zadania transportu p
ę
du, energii i masy w płynie
równocze
ś
nie z zadaniem przewodzenie ciepła w ciele stałym.
cel wprowadzenia WB III rodzaju
-
rozprz
ą
c przepływ i wymian
ę
ciepła w płynie od przewodzenia ciepła w
ciele stałym.
∞
T
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
jednorodny
profil wlotowej
temperatury
i pr
ę
dko
ś
ci
profil
pr
ę
dko
ś
ci
profil
temperatury
hydrauliczna
warstwa
przy
ś
cienna
termiczna
warstwa
przy
ś
cienna
ciało stałe
Hipotetyczna warstwa zaczyna si
ę
na styku ze
ś
ciank
ą
i nie ma ostrej górnej
granicy. Przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e warstwa ko
ń
czy si
ę
w miejscu gdzie pr
ę
dko
ść
osi
ą
ga 99% pr
ę
dko
ś
ci rdzenia płynu.
3
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
)
(
s
f
f
f
f
f
T
T
y
T
n
T
q
−
α
=
∂
∂
λ
=
∂
∂
λ
−
=
∞
ciało stałe
poruszaj
ą
cy
si
ę
płyn
konwekcyjny
strumie
ń
ciepła
w płynie
strumie
ń
ciepła
przewodzonego
w ciele stałym
y
T
n
T
q
s
s
s
s
s
∂
∂
λ
−
=
∂
∂
λ
−
=
(
)
lub
(
)
s
s
s
dT
q
T
T
T
T
dx
∞
∞
=
−
−
=
−
α
λ
α
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0
0
(
)
s
s
T
T
q
T
T
q
∞
∞
−
→
⇒
→
−
↑
⇒
↑
to tylko jeden parametr opisuj
ą
cy wpływ pola pr
ę
dko
ś
ci i temperatury w płynie
na intensywno
ść
wymiany ciepła płyn-ciało stałe
takie przybli
Ŝ
enie nie mo
Ŝ
e by
ć
dokładne!!
współczynnik wnikania ciepła jest parametrem sztucznym, nie posiadaj
ą
cym jasnej
interpretacji fizycznej
dobrze opisuje wymian
ę
ciepła jako
ś
ciowo
4
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
współczynnik wnikania ciepła mo
Ŝ
e by
ć
okre
ś
lony trzema drogami
1.
rozwi
ą
zanie numeryczne równa
ń
CFD opisuj
ą
cych procesy transportu
w płynie. Ale wtedy po co wprowadza
ć
poj
ę
cie współczynnika wnikania?
2.
rozwi
ą
zanie równa
ń
warstwy przy
ś
ciennej metodami analitycznymi
(rzadko mo
Ŝ
liwe) lub numerycznymi
3. eksperymenty – ale tu potrzebne jest narz
ę
dzie do uogólniania wyników,
aby przenosi
ć
wyniki do
ś
wiadcze
ń
na inne przypadki.
niezbyt praktyczne, aby okre
ś
li
ć
grubo
ść
warstwy przy
ś
ciennej
nale
Ŝ
ałoby rozwi
ą
za
ć
równania transportu p
ę
du, energii i masy w płynie
(
)
/
f
f
T
T
T
T
T
T
∞
∞
− =
−
⇒
=
λ
α
α λ δ
δ
współczynnik wnikania ciepła – odwrotno
ść
oporu przewodzenia ciepła przez
warstw
ę
przy
ś
cienn
ą
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Zmienne bezwymiarowe
teoria podobie
ń
stwa
- słu
Ŝ
y do minimalizacji liczby eksperymentów
Chodzi o uzyskanie korelacji definiuj
ą
cych współczynnik wnikania jako funkcj
ę
parametrów wpływaj
ą
cych na pole temperatury i pr
ę
dko
ś
ci
dla układów podobnych
geometrycznie
do konfiguracji w której wykonano eksperymenty
Zmienne bezwymiarowe
- ich wprowadzenie pozwala na redukcj
ę
liczby
niezale
Ŝ
nych zmiennych opisuj
ą
cych zjawisko
Jak zdefiniowa
ć
zmienne bezwymiarowe i ich wzajemne powi
ą
zanie?
•
analiza wymiarowa
(Teoremat
π
Buckinghama) Sporz
ą
dza si
ę
list
ę
wszystkich
parametrów istotnych w opisie danego zjawiska i ł
ą
czy si
ę
je w zmienne
bezwymiarowe przez dobór pot
ę
g zmiennych przy zmiennych. Metoda łatwa
w zastosowaniu, lecz je
ś
li lista zmiennych nie jest kompletna prowadzi do
mylnych wyników. Utworzone zmienne mog
ą
nie mie
ć
interpretacji fizycznej.
• analiza równa
ń
rz
ą
dz
ą
cych zjawiskiem
. Nieco trudniejsza w zastosowaniu
lecz prowadz
ą
ca do dobrych, fizykalnie uzasadnionych wyników
5
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Przykład analizy równa
ń
dla konwekcji wymuszonej
0
y
x
v
v
x
y
∂
∂ + =
∂
∂
2
2
2
2
x
x
x
x
x
y
v
v
v
v
p
v
v
x
y
x
x
y
ρ
ρ
η
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
y
y
y
y
x
y
v
v
v
v
p
v
v
x
y
y
x
y
ρ
ρ
η
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
zachowanie masy
zachowanie p
ę
du
2
2
2
2
x
y
T
T
T
T
v
v
a
x
y
x
y
∂
∂
∂
∂
+
=
+
∂
∂
∂
∂
zachowanie energii
(
)
T
T
T
y
∞
∂
−
=
−
∂
λ
α
przepływ wymuszony działaniem zewn
ę
trznych maszyn (pompa, spr
ęŜ
arka,
wentylator) . Ustalony dwuwymiarowy przepływ, główny strumie
ń
przepływa w
kierunku osi x. Mo
Ŝ
e dotyczy
ć
przepływu w przewodzie, opływu płaskiej płyty,
rury itp.)
warunek brzegowy
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
2
0
0
0
,
(
)
,
x
x
y
y
X
x L
Y
y L
V
v v
V
v v
T
T
T
P
p
v
ρ
∞
= / ,
= / ,
= / ,
= /
Θ =
− /∆
= /
wprowadzaj
ą
c oczywiste zmienne bezwymiarowe
0
v
L
T
∆
wymiar charakterystyczny np
ś
rednica rury,
charakterystyczna ró
Ŝ
nica temperatury
0
y
x
V
V
X
Y
∂
∂ +
=
∂
∂
2
2
2
2
1
Re
x
x
x
x
x
y
V
V
V
V
P
V
V
X
Y
X
X
Y
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
1
Re
y
y
y
y
x
y
V
V
V
V
P
V
V
X
Y
Y
X
Y
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
1
Re Pr
x
y
V
V
X
Y
X
Y
∂Θ
∂Θ
∂ Θ ∂ Θ
+
=
+
∂
∂
∂
∂
Nu
y
∂Θ = ⋅Θ
∂
pr
ę
dko
ść
odniesienia np. w rdzeniu p
ł
ynu,
6
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0
Nu=
/ ,
Re
Pr
L
v
L
c
α λ
ρ η
η λ
=
/ ,
= /
powstały trzy zmienne bezwymiarowe
tylko dwie zmienne niezale
Ŝ
ne!
Nu
(Re,Pr)
f
=
dla wszystkich podobnych geometrycznie konfiguracji
• przepływy charakteryzuj
ą
ce si
ę
tymi samymi liczbami Prandtla i
Reynoldsa maj
ą
t
ę
sam
ą
liczb
ę
Nusselta
• pola temperatury i pr
ę
dko
ś
ci zale
Ŝą
od dwu zmiennych: liczby
Reynoldsa i Prandtla. Współczynnik wnikania ciepła powinien
zale
Ŝ
e
ć
tylko od tych zmiennych
równania kryterialne maj
ą
posta
ć
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
liczba Reynoldsa
- stosunek sił bezwładno
ś
ci do sił tarcia lepkiego
liczba Prandtla
- stosunek dyfuzyjno
ś
ci molekularnych transportu p
ę
du i
ciepła równowa
Ŝ
ne stosunkowi grubo
ś
ci hydraulicznej i
termicznej warstwy przy
ś
ciennej
liczba Nusselta
- stosunek oporów przewodzenia i wnikania ciep
ł
a w cieczy
Pr
1,
h
T
δ
δ
≈ →
≈
Pr>1,
h
T
δ
δ
→
>
Pr
1,
h
T
δ
δ
<< →
<<
gazy
ciecze
metale ciekłe
Interpretacja fizyczna zmiennych bezwymiarowych
7
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
U
Ŝ
ytecznym efektem analizy konwekcyjnej wymiany ciepła s
ą
przepisy na
obliczanie współczynnika wnikania ciepła
. Słu
Ŝą
one do
definiowania
warunków brzegowych zada
ń
przewodzenia ciepła
. Nie pozwalaj
ą
znale
źć
pola temperatury w płynie!
Korelacje definiuj
ą
ce współczynnik wnikania ciepła dotycz
ą
• konwekcji wymuszonej i naturalnej
• przepływów laminarnych i turbulentnych
• przepływów wewn
ę
trznych i zewn
ę
trznych
• konwekcji przy zmianie fazy
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
przepływy turbulentne i laminarne
dla małych pr
ę
dko
ś
ci s
ą
siaduj
ą
ce ze sob
ą
cz
ą
steczki płynu poruszaj
ą
si
ę
po torach
równoległych. Przy wi
ę
kszych pr
ę
dko
ś
ciach pojawiaj
ą
si
ę
chaotyczne
fluktuacje pr
ę
dko
ś
ci we wszystkich kierunkach. Te szybkie fluktuacje
pr
ę
dko
ś
ci grup cz
ą
steczek płynu zwane
wirami
intensyfikuj
ą
wymian
ę
p
ę
du i ciepła.
Przepływy turbulentne dominuj
ą
w technice
korzy
ść
– redukcja kosztów inwestycyjnych instalacji
straty
–
wzrost oporów przepływu, wzrost kosztów ruchowych
8
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
'
'
'
'
,
,
i
i
x
x
x
y
y
y
i
i
v
v
v
v
v
v
T
T
T
p
p
p
= +
= +
= +
= +
Rozkład temperatury jako sum
ę
warto
ś
ci
ś
redniej i fluktuacji w czasie
1
d
i
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
+∆
=
∆
∫
(
')(
' )
'
'
' '
'
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tv
T
T
v
v
Tv
Tv
v T
v T
Tv
v T
=
+
+
=
+
+
+
=
+
'
1
'
d
0
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
+∆
=
=
∆
∫
U
ś
rednienie Reynoldsa równa
ń
Naviera Stokes’a 1
te
m
p
e
ra
tu
ra
T
c
h
w
ilo
w
a
te
m
p
e
ra
tu
ra
T
i
te
m
p
e
ra
tu
ra
ś
re
d
n
ia
T
fluktuacje
T’
_
czas
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0
y
x
v
v
x
y
∂
∂ + =
∂
∂
'
'
2
2
'
'
2
2
x
y
x
x
x
x
x x
x
y
v v
v
v
v
v
v v
p
v
v
x
y
x
x
y
x
y
ρ
ρ
η
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
' '
' '
1
1
y
x
x
y
T v
T v
T
T
T
T
v
v
a
x
y
x
y
c
x
c
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
=
+
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ
ρ
2
2
'
'
'
'
2
2
y
y
y
y
y x
y
y
x
y
v
v
v
v
v v
v v
p
v
v
x
y
x
x
y
x
y
ρ
ρ
η
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
ś
rednione w czasie równania zachowania
masy
składowej
x
p
ę
du
energii
zachowanie
obecno
ść
fluktuacji powoduje pojawienie si
ę
nowych niewiadomych
(w czerwonych ramkach). Potrzebne s
ą
dodatkowe równania zwane
modelami turbulencji
U
ś
rednienie Reynoldsa równa
ń
Naviera Stokes’a 2
składowej
y
p
ę
du
9
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Przepływy turbulentne – trudno rozwi
ą
zywa
ć
nawet u
Ŝ
ywaj
ą
c
współczesnych programów CFD, jako
Ŝ
e wymaga to doł
ą
czenia do modelu
dodatkowych, bazuj
ą
cych na eksperymentach, korelacji. Mo
Ŝ
liwe s
ą
trzy
podej
ś
cia do problemu uwzgl
ę
dniania turbulencji
1.Bezpo
ś
rednia Symulacja Numeryczna
2.U
ś
rednienie Reynoldsa równa
ń
Naviera Stokes’a
3.Symulacja du
Ŝ
ych wirów
Bezpo
ś
rednia
Symulacja Numeryczna (Direct Numerical Simulation –DNS).
Podej
ś
cie w którym próbuje si
ę
zamodelowa
ć
wszystkie skale wirów
turbulentnych. Ze wzgl
ę
du na zbyt długie czasy oblicze
ń
i obci
ąŜ
enie
pami
ę
ci komputera nie u
Ŝ
ywane przy rozwi
ą
zywaniu zada
ń
in
Ŝ
ynierskich
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Symulacja du
Ŝ
ych wirów
(Large Eddy Simulation (LES)
kompromis mi
ę
dzy RANS i DNS . Du
Ŝ
e skale wirów s
ą
uwzgl
ę
dniane
przez rozwi
ą
zywanie równa
ń
zachowania, obecno
ść
mniejszych
uwzgl
ę
dnia si
ę
przez odpowiednie modele empiryczne
U
ś
rednienie Reynoldsa równa
ń
Naviera Stokes’a
(
Reynolds Averaged Navier-Stokes RANS)
.
Najpopularniejsze podej
ś
cie. Zmiennymi poszukiwanymi w równaniach
zachowania s
ą
u
ś
rednione w czasie temperatura, ci
ś
nienie i składowe
pr
ę
dko
ś
ci. Dodatkowymi niewiadomymi s
ą
fluktuacje tych wielko
ś
ci. Aby
domkn
ąć
układ równa
ń
wprowadza si
ę
dodatkowe równania tzw.
modele turbulencji.
Najpopularniejszy model to równania
k
-
ε
Laundera-Spaldinga.
Model wymaga rozwi
ą
zania dwu dodatkowych równa
ń
ró
Ŝ
niczkowych o
pochodnych cz
ą
stkowych opisuj
ą
cych zachowanie turbulentnej energii
kinetycznej
k
i energii dyssypacji
ε
.
Równania modelu zwieraj
ą
5 stałych
empirycznych
10
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
•przep
ł
yw wewn
ę
trzne
- przewody, kanały o ograniczonych
wymiarach
•przep
ł
ywy zewn
ę
trzne
- opływy ciał zanurzonych w
niesko
ń
czonych obj
ę
to
ś
ciach poruszaj
ą
cego si
ę
płynu (samolot,
kadłub statku, samochód)
Przepływy wewn
ę
trzne i opływy
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Wewn
ę
trzny przepływ laminarny
11
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
długo
ść
rozbiegowego odcinka hydraulicznego
długo
ść
termicznego odcinka rozbiegowego
L
h
i
L
T
zale
Ŝą
od liczby Prandtla
gazy,
Pr ≈1
te same długo
ś
ci
ciecze
Pr >1 L
h
<
L
T
ciekłe metale
Pr <<1 L
h
>>
L
T
jednorodny
profil wlotowej
temperatury
i pr
ę
dko
ś
ci
w pełni rozwinięte
pole prędkości
w pełni rozwinięte
pole temperatury
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
W
pełni rozwini
ę
ty profil temperatury
– profil nie zmienia si
ę
wzdłu
Ŝ
długo
ś
ci
rury. Podobnie zachowuje si
ę
g
ę
sto
ść
strumienia ciepła (pochodna pola
temperatury), współczynnik wnikania i liczba Nusselta
Wzdłu
Ŝ
odcinka wlotowego WWC zmniejsza si
ę
od niesko
ń
czono
ś
ci na
wlocie, gdzie grubo
ść
warstwy przy
ś
ciennej jest zerowa, do stałej warto
ś
ci
w odcinku w pełni rozwini
ę
tego przepływu.
w
sp
ó
łc
zy
n
n
ik
w
n
ik
an
ia
c
ie
p
ła
α
odległość od wlotu do rury L
α
α
12
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
W
zakresie rozwini
ę
tego profilu temperatury
kształt rozkładu temperatury
wzdłu
Ŝ
rury nie zmienia si
ę
. Rozwa
Ŝ
ania teoretyczne (patrz dodatek) dały wzór
na pole temperatury (stały strumie
ń
na
ś
ciance rury)
2
4
0
2
4
2
7
24
4
w
w
m
q z
q R
r
r
T
T
c Rv
R
R
= +
−
−
+
ρ
λ
współczynnik wnikania ciepła mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
z tego rozkładu
[
]
/
(
, )
/(
)
24 /11
w
w
T
T r
R z
T
q
T
T
R
r
∞
∞
∂
α = −λ
=
−
=
−
= λ
∂
podobna analiza dla warunku stałej temperatury
ś
cianki daje
2
Nu
4.364
R
D
α
α
=
=
=
λ
λ
Nu=3.657
wnioski:
•
gdyby zna
ć
rozkład temperatury, współczynniki wnikania mo
Ŝ
na by
wyznaczy
ć
analitycznie, eksperyment nie byłby potrzebny
•
liczba Nusselta w obszarze przepływów laminarnych, rozwini
ę
tych jest stała
•
warto
ść
jej zale
Ŝ
y od typu warunków brzgowych na powierzchni rury.
W praktyce ani temperatura ani strumie
ń
ciepła nie s
ą
stałe na powierzchni
rury. Nieliczne znane wzory analityczne s
ą
niezbyt dokładne
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Nu
(Re Pr
/ )
f
D L
=
, ,
W
odcinku rozbiegowym
, współczynnik wnikania ciepła spada od
niesko
ń
czono
ś
ci na wlocie, gdzie grubo
ść
warstwy przy
ś
ciennej jest
zerowa, do warto
ś
ci stałej, charakterystycznej dla rozwini
ę
tego przepływu.
W odcinku rozbiegowym mog
ą
wyst
ą
pi
ć
trzy ró
Ŝ
ne oddziaływania pola
temperatury i pr
ę
dko
ś
ci
• rozbiegowy rozkład pr
ę
dko
ś
ci i temperaturowy
• rozwini
ę
ty rozkład pr
ę
dko
ś
ci, rozbiegowy profil temperatury
• rozbiegowy rozkład pr
ę
dko
ś
ci, rozwini
ę
ty rozkład temperatury Równania
kryterialne na liczb
ę
Nusselta otrzymuje si
ę
przez uogólnienie wyników
eksperymentów. Ogólna posta
ć
tych wzorów to
gdzie
odpowiednio: odległo
ść
od wlotu rury i
ś
rednica
,
L D
13
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
1/ 3
2 / 3 2
2 / 3
0.0018 (Re Pr / )
Nu
3.657
[0.04 (Re Pr
/ )
]
0.0668 Re Pr
/
Nu
3.657
1 0.04(Re Pr
/ )
D L
D L
D L
D L
−
+
=
+
+
+
=
+
+
Przykład: odcinek rozbiegowy dla pola temperatury i pr
ę
dko
ś
ci wg.
Hausena dla stałej temperatury
ś
cianki
Nu
lokalna liczba Nusselta w odległo
ś
ci
L
od wlotu
ś
rednia liczba Nusselta na odcinku mi
ę
dzy wlotem a punktem
poło
Ŝ
onym w odległo
ś
ci
L
od brzegu
Nu
dla
L
→ ∞
liczba Nusselta d
ąŜ
y od stałej 3.657 otrzymanej analitycznie dla
stałej temperatury
ś
cianki
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Wewn
ę
trzny przepływ
wymuszony turbulentny
14
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Nu
Re Pr
a
b
A C
= +
A, C, a, b
znajduje si
ę
przez dopasowanie dl danych
eksperymentalnych
równania kryterialne dla przepływów turbulentnych wymuszonych
wewn
ę
trznych na
jczęściej mają postać
historycznie pierwsza korelacja Dittus Boelter (1930)
0.8
0.4
0.8
0.3
Nu
0.0243Re Pr
przy grzaniu; Nu
0.0265Re Pr
dla chlodzenia
=
=
Colburn podał inn
ą
korelacj
ę
bazuj
ą
c
ą
na analogii transportu ciepła i masy (1933)
0.8
1/ 3
Nu
0.023Re Pr
=
dok
ł
adno
ść
korelacji Colburna i Dittus Boeltera +25% -40%,
przy
5
0.7
Pr
120; 2500
Re
1.24 10 ;
/
60
L D
<
<
<
<
⋅
>
4
0.7
Pr
160; Re>10 ;
/
60
L D
<
<
>
rozwini
ę
ty, turbulentny przepływ w przewodach
0.67
Pr
100
<
<
gdzie L i D długo
ść
i
ś
rednica rury
warto
ś
ci wła
ś
ciwo
ś
ci materiałowych nale
Ŝ
y wyznacza
ć
dla
ś
redniej temperatury płynu
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Re Pr
Nu
5 0 016
a
b
= + .
0 24
0 88
4
Pr
a
.
= . −
+
0 33 0 5 exp( 0 6Pr)
b
= . + .
− .
0 1
Pr
10 000
. <
<
(
) 2
m
T
T
T
∞
=
+
/
obowi
ą
zuje przy
w
ł
a
ś
ciwo
ś
ci materia
ł
owe (lepko
ść
!) wyznacza
ć
dla
ś
redniej temperatury
warstwy przy
ś
ciennej
(Notter Sleicher, 1972 przepływ turbulentny w rurach o przekroju kołowym)
10 000
Re
1000 000
<
<
25
L D
/ >
nowsze korelacje
15
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
przekroje niekołowe
wpływy uboczne 1
gdzie
Γ
pole powierzchni przekroju strugi płynu,
p
obwód zwil
Ŝ
ony
ś
cianki
odcinek rozbiegowy
oblicza si
ę
mno
Ŝ
nik poprawkowy współczynnika wnikania ciepła.
Stosuje si
ę
tylko je
ś
li
L/D < 50.
stosuje si
ę ś
rednic
ę
ekwiwalentn
ą
0.293
50
,
1.87 / Re
n
L
e
n
L D
ε
=
=
krzywizna przewodu
oblicza si
ę
mno
Ŝ
nik poprawkowy współczynnika wnikania ciepła.
4
e
D
p
Γ
=
gdzie
R
promie
ń
zakrzywienia przewodu,
D
e
ś
rednica ekwiwalentna
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
wpływy uboczne 2
chłodzenie
grzanie
przepływ
izotermiczny
0.14
[ (
) / (
)]
T
w
T
T
ε
η
η
∞
=
0.25
[Pr(
) / Pr(
)]
T
w
T
T
ε
∞
=
Mikheev.
Sieder & Tate.
wyznacza si
ę
wsp. wnikania ciepła
obliczaj
ą
c wła
ś
ciwo
ś
ci płynu dla
temperatury rdzenia płynu. Wynik mno
Ŝ
y
si
ę
przez
ε
Τ
uwzgl
ę
dnia si
ę
tylko dla cieczy
kierunek przepływu ciepła
(
), (
)
w
T
T
η
η
∞
lepko
ść
dynamiczna wyznaczona
w temperaturze rdzenia płynu i
ś
cianki
16
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
zakres przej
ś
ciowy mi
ę
dzy ruchem laminarnym a turbulentnym
przej
ś
cie mi
ę
dzy re
Ŝ
imem laminarnym a turbulentnym a laminarnym nie jest
ostre. W podr
ę
cznikach podaje si
ę
warto
ść
graniczn
ą
Re=2 300. w
rzeczywisto
ś
ci przej
ś
cie nast
ę
puje w zakresie liczb Reynoldsa Re=2 300 i
Re=10 000
W rurach
gładkich
podczas przepływu
bez zakłóce
ń
spowodowanych np.
wibracjami, przepływ laminarny udaje si
ę
utrzyma
ć
a
Ŝ
do Re=100 000
0.14
2 / 3
2 / 3
1/ 3
Nu=0.116 1+
(Re
125) Pr
2 300
Re
150 000
w
D
L
η
η
∞
−
<
<
wzór Hausena obejmuje obszar przej
ś
ciowy i turbulentny
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Przepływy zewn
ę
trzne
17
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Zewn
ę
trzne przepływy laminarne
dla opływów ciał o małej krzywi
ź
nie, równania kryterialne mo
Ŝ
na wyprowadzi
ć
z
uproszczonych równa
ń
zachowania ograniczonych do warstwy przy
ś
ciennej.
Dla płaskiej płyty najpierw rozwija si
ę
warstwa laminarna, która przy
wy
Ŝ
szych liczbach Reynoldsa zdefiniowanej jako
dzieli
si
ę
na trzy podwarstwy
v
ciało stałe
podwarstwa
buforowa
podwarstwa
lamiarna
podwarstwa
turbulentna
∞
δ
h
L
h
zmiana charakteru przepływu ma miejsce przy
chropowatej do przy powierzchni gładkiej i spokojnym strumieniu
napływaj
ą
cego płynu.
η
ρ
=
∞
/
Re
x
v
x
4
10
8
Re
⋅
=
x
przy powierzchni
6
10
5
Re
⋅
=
x
x
y
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0
y
x
v
v
x
y
∂
∂ + =
∂
∂
2
2
2
2
x
x
x
x
x
y
v
v
v
v
p
v
v
x
y
x
x
y
ρ
ρ
η
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
x
y
T
T
T
T
v
v
a
x
y
x
y
∂
∂
∂
∂
+
=
+
∂
∂
∂
∂
0
y
x
v
v
x
y
∂
∂ + =
∂
∂
2
2
x
x
x
x
y
v
v
v
p
v
v
x
y
x
y
ρ
ρ
η
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
∂
∂
∂
∂
2
2
x
y
T
T
T
v
v
a
x
y
y
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
∂
2
2
2
2
y
y
y
y
x
y
v
v
v
v
p
v
v
x
y
y
x
y
ρ
ρ
η
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
pełne równania zachowania
uproszczone równania zachowania
dla warstwy przy
ś
ciennej
mo
Ŝ
na rozwi
ą
za
ć
metodami przybli
Ŝ
onymi
lub numerycznymi
18
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Nu
;
Re
Pr
p
x
x
x
c
x
v x
=
=
=
η
α
ρ
λ
η
λ
1/ 2
1/ 3
5
Nu
0.332 Re
Pr
;
Re
5 10
(
) / 2
x
x
m
w
T
T
T
∞
=
< ⋅
=
+
0
1
Nu
Nu ( )d
Nu
2 Nu
L
x
x
x x
L
=
⇒
=
∫
dla stałej temperatury
ś
cianki Pohlhausen podaje rozwi
ą
zanie
wynik przedstawia si
ę
w funkcji zmiennych bezwymiarowych (uwaga
na definicj
ę
wymiaru charakterystycznego)
ś
rednia warto
ść
liczby Nusselta na długo
ś
ci od
0
do
L
1/ 2
1/ 3
Nu
0.664 Re
Pr
L
=
Nu
;
Re
L
v L
L
∞
=
=
ρ
α
λ
η
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
zewn
ę
trzne przepływy turbulentne
turbulentny opływ płaskiej płyty,
ś
rednia warto
ść
liczby Nusselta na długo
ś
ci
x
punkt
przegięcia
prz
epły
w
rew
ersy
jny
oderwanie warstwy przy
ś
ciennej, wyst
ę
puj
ą
ce przy opływie ciał o du
Ŝ
ej
krzywi
ź
nie bardzo komplikuje opis. Równania uzyskuje si
ę
tylko przez
uogólnienie eksperymentów
0.8
0.33
5
Nu
0.0366 Re
Pr
;
Re
5 10
(
) / 2
x
m
w
T
T
T
∞
=
> ⋅
=
+
19
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
powy
Ŝ
sze równania obowi
ą
zuj
ą
tylko dla gazów
podr
ę
czniki podaj
ą
wiele innych konfiguracji
0.699
Nu
0.16Re
Re
/
2500
Re
8000
w a
ρ η
=
=
<
<
a
0.624
Nu
0.261Re
Re
/
2500
Re
7500
w a
ρ η
=
=
<
<
a
a
a
0.638
Nu
0.138Re
Re
/
5 000
Re
100 000
w a
ρ η
=
=
<
<
0.612
Nu
0.224Re
Re
/
2 500
Re
15 000
w a
ρ η
=
=
<
<
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Przepływ prostopadły do pojedynczego walca
4 5
5 8
1 2
1 3
2 3 1 4
Re
0 62Re Pr
Nu
0 3
1
[1 (0 4 Pr)
]
282 000
/
/
/
/
/
/
.
= . +
+
+ . /
Churchill and Bernstein
100
Re
10 000 000
<
<
RePr
0 2
> .
20 000
Re
400 000
<
<
1 2
1 2
1 3
2 3 1 4
0 62
Re
Re Pr
Nu
0 3
1
[1 (0 4 Pr)
]
282 000
/
/
/
/
/
.
= . +
+
+ . /
daje za du
Ŝ
e warto
ś
ci o ok. 20% w zakresie
w tym zakresie nale
Ŝ
y stosowa
ć
równanie
wymiar charakterystyczny w liczbach Nusselta i Reynoldsa dotyczy
wymiarów zewn
ę
trznych. Dla walca to
ś
rednica zewn
ę
trzna
poprawka na k
ą
t natarcia
2
0
0
Nu
Nu
1 0.54 cos
; 30
0
φ
φ
φ
=
⋅ε
ε = −
φ
< φ < 9
φ
v
∞
20
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Przepływ prostopadły do p
ę
czka rur
D
S
L
S
T
S
T
S
L
S
D
układ szeregowy
układ przestawny
max
Re
D v
=
ρ
η
max
T
T
S
v
v
S
D
∞
=
−
v
∞
v
∞
max
T
T
S
v
v
S
D
∞
=
−
max
2(
)
T
D
S
v
v
S
D
∞
=
−
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Przepływ prostopadły do p
ę
czka rur
Žukauskas 1972,87
0.36
2
0 dla gazów
Pr
Nu
Re Pr
gdzie
1/4 dla cieczy
Pr
n
m
w
c
n
=
=
0.8
0.310(S
T
/S
L
)
0.2
dla Pr>1
0.037(S
T
/S
L
)
0.2
dla Pr=0.7
0.8
0.033
>2·10
5
0.6
0.35(S
T
/S
L
)
0.2
dla S
T
/S
L
≤
2
0.40 dla S
T
/S
L
>2
0.63
0.27
*
10
3
–2·10
5
0.5
0.71
0.5
0.52
10
2
–10
3
m
c
2
m
c
2
zakres liczb
Reynoldsa
Uk
ł
ad
przestawny
Uk
ł
ad
szeregowy
*
obowi
ą
zuje dla
S
T
/S
L
≥
0.7
Dla
S
T
/S
L
<0.7
wymiana ciepła jest nieefektywna. Brak jest korelacji w tym
zakresie podziałek, poniewa
Ŝ
w praktyce nie buduje si
ę
takich p
ę
czków rur
ś
rednia warto
ść
liczby Nusselta w całym p
ę
czku
Nu
21
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Przepływ prostopadły do p
ę
czka rur
wpływ liczby rz
ę
dów rur
równanie obowi
ą
zuje je
ś
li w p
ę
czku jest co najmniej N=20 rz
ę
dów rur.
Je
ś
li jest mniej,
ś
redni
ą
liczb
ę
Nusselta oblicza si
ę
z zale
Ŝ
no
ś
ci
3
20
Nu
Nu
N
N
c
≥
=
warto
ść
stałej
c
3
nale
Ŝ
y odczyta
ć
z wykresu
0
2
18
4
6
8
10
12
14
16
20
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
1.1
Re >10
3
10 < Re < 10
3
2
układ szeregowy
układ przestawny
c
3
liczba rz
ę
dów rur
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
DODATEK
przykład rozwi
ą
zania analitycznego dla zadania konwekcji
rura o przekroju kołowym, stan ustalony, płyn nie
ś
ci
ś
liwy, przepływ w du
Ŝ
ej
odległo
ś
ci od przekroju wlotowego. Profil pr
ę
dko
ś
ci nie zmienia si
ę
w kierunku
przepływu. Znane jest nat
ęŜ
enie masowe przepływu masowego (
ś
rednia pr
ę
dko
ść
w
rurze) oraz g
ę
sto
ść
strumienia ciepła na
ś
ciance rury. Pola pr
ę
dko
ś
ci i temperatury
s
ą
osiowo symetryczne. Wyznaczy
ć
zwi
ą
zek mi
ę
dzy temperatur
ą
i strumieniem
ciepła w płynie.
Równanie zachowania p
ę
du w kierunku
z
w cylindrycznym układzie współrz
ę
dnych.
2
2
1
z
z
z
z
r
z
v
v
v
v
p
v
v
r
r
z
z
r r
r
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
= −
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ
ρ
η
22
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0
r
v
=
0
z
v
z
∂ =
∂
przepływ tylko w kierunku
z
w obszarze przepływu rozwini
ę
tego profil pr
ę
dko
ś
ci nie zmienia si
ę
wzdłu
Ŝ
osi
uproszczenia
1
z
dv
p
d
r
z
r dr
dr
∂
=
∂
η
zale
Ŝ
y tylko od
z
zale
Ŝ
y tylko od
r
=
constant
stały gradient ci
ś
nienia w rurze
m
ś
rednia pr
ę
dko
ść
warunki brzegowe na pr
ę
dko
ść
0; symetria w
0;
0; brak poslizgu (adhezja)
z
z
dv
r
v
r
R
dr
=
=
=
=
rozwini
ę
ty profil pr
ę
dko
ś
ci na wylocie z rury
ś
rednia pr
ę
dko
ść
(strumie
ń
masy) na pocz
ą
tku rury
;
0
m
v
z
=
0;
z
v
z
L
z
∂ =
=
∂
m
v
0
z
v
z
∂ =
∂
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0; symetria w
0;
0; brak poslizgu (adhezja)
z
z
dv
r
v
r
R
dr
=
=
=
=
rozkład pr
ę
dko
ś
ci
2
2
2
1
4
z
R
p
r
v
z
R
∂
=
−
∂
η
ś
rednia pr
ę
dko
ść
2
2
0
1
2
8
R
m
z
R
p
v
v
r dr
R
z
∂
=
= −
∂
∫
π
π
η
ostateczny rozkład pr
ę
dko
ś
ci
2
2
2
1
z
m
r
v
v
R
=
−
1
2
1
ln
4
z
p
v
c
r
c
z
∂
=
+
+
∂
η
c
1
, c
2
nieznane stałe wyznaczane z warunków brzegowych
rozwi
ą
zanie przez dwukrotne całkowanie
parabola
1
2
2
8
m
v
p
p
L
R
−
=
⇒
η
Komentarz:
Równanie Darcy Weisbacha - z równania (A) na
ś
redni
ą
pr
ę
dko
ść
(A)
64
;
Re
Re
m
v D
f
=
=
ρ
η
gdzie
2
2
m
v
L
P
f
D
∆ =
ρ
23
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
wyznaczenie pola temperatury
dla rozwini
ę
tego przepływu doprowadzanie stałego strumienia ciepła powoduje,
Ŝ
e
temperatura płynu i
ś
cianki rosn
ą
liniowo
te
m
p
e
ra
tu
ra
T
∞
w
T
odległo
ść
od wlotu rury
w
T
w
T
w
T
rozkład temperatury w rurze
ten sam kształt – temperatura
liniowo ro
ś
nie
w
T
T
const
∞
−
=
q
w
stała g
ę
sto
ść
strumienia ciepła
na powierzchni
rury
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Równanie zachowania energii w układzie cylindrycznym
2
2
1
r
z
T
T
T
T
c
v
c
v
r
r
z
r r
r
z
∂
∂
∂
∂
∂
+
=
+
∂
∂
∂
∂
∂
ρ
ρ
λ
0
r
v
=
const
T
z
∂ =
∂
przepływ tylko w kierunku z
profil temperatury nie zmienia si
ę
wzdłu
Ŝ
rury w całym obszarze przepływu rozwini
ę
tego
1
z
T
T
c
v
r
z
r r
r
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
ρ
λ
po wprowadzeniu tych uproszcze
ń
równanie zachowania energii przyjmuje posta
ć
warunki brzegowe na temperatur
ę
0;symetria przy
0;
;
w
dT
T
r
q
r
R
dr
r
∂
=
=
= −λ
=
∂
0
;
0
T
T
z
=
=
na wlocie do rury
const;
T
z
L
z
∂ =
=
∂
na wylocie z rury profil temperatury nie zmienia si
ę
, temperatura ro
ś
nie liniowo
wzdłu
Ŝ
współrz
ę
dnej
z
Uproszczenia równania
24
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
2
2
w
m
Rq dz
c
v R dT
∞
=
π
ρπ
2
w
w
Q
Rq dz
=
π
2
in
m
Q
c
v R T
∞
=
ρπ
2
(
)
out
m
Q
c
v R T
dT
∞
∞
=
+
ρπ
R
wyznaczenie
ś
redniej temperatury z bilansu ciepła odcinka
dz
rury
ś
rednia temperatura w przekroju
z
2
w
m
q
dT
const
dz
c v R
∞
=
=
ρ
T
∞
dz
in
w
out
Q
Q
Q
+
=
0
2
w
m
q
T
z T
c v R
∞
=
+
ρ
1. poniewa
Ŝ
profil temperatury nie zmienia si
ę
wzdłu
Ŝ
osi z
2
w
m
q
dT
T
const
dz
z
c v R
∞
∂
=
=
=
∂
ρ
2. całkuj
ą
c równanie A przy warunku pocz
ą
tkowym
T(z=0)=T
o
otrzymuje si
ę
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
4
2
1
2
2
ln
4
w
q
r
T
r
c
c
r
R
R
=
−
+ +
λ
w
w
w
T
q
c
R
r
T
T
c
r
dr
dT
+
λ
−
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
4
3
przy
(nieznana)
a
temperatur
;
0
0
przy
symetria
;
0
1
2
nieznane stałe
c
1
and
c
2
okre
ś
la si
ę
z warunków brzegowych
:
ostatecznie rozkład temperatury opisany jest równaniem
2
4
2
4
3
4
4
w
w
q R
r
r
T
T
R
R
=
−
−
+
λ
dwukrotne całkowanie wyniku daje rozkład temperatury
nieznan
ą
temperatur
ę ś
cianki eliminuje si
ę
przez wyra
Ŝ
enie jej zwi
ą
zku z
temperatur
ą ś
redni
ą
i wlotow
ą
1
z
T
T
c
v
r
z
r r
r
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
ρ
λ
2
2
2
1
2
(1
)
w
m
m
q
r
T
v
r
v
R
r r
r
∂
∂
−
=
∂
∂
λ
nie mo
Ŝ
na u
Ŝ
y
ć
warunku brzegowego
dr
dT
q
w
λ
=
bo zadanie miałoby 2 wb II rodzaju
25
transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
ostatecznie rozkład temperatury opisany jest równaniem
2
4
0
2
4
2
7
24
4
w
w
m
q z
q R
r
r
T
T
c Rv
R
R
= +
−
−
+
ρ
λ
Nieznan
ą
temperatur
ę ś
cianki wyznacza si
ę
z warunku pocz
ą
tkowego.
Wyznaczaj
ą
c z definicji
ś
redni
ą
temperatur
ę
2
4
2
2
4
2
0
0
2
0
2
0
3
2
1
2
2
4
4
2
2
(1
)
2
11
24
R
w
R
w
m
R
R
m
w
w
q R
r
r
r
T
w
c
rdr
Twc
rdr
R
R
R
T
r
wc
rdr
w
c
rdr
R
q R
T
∞
−
−
+
−
=
=
−
=
−
∫
∫
∫
∫
ρ π
ρ π
λ
ρ π
ρ π
λ
porównuj
ą
c j
ą
z temperatur
ą ś
redni
ą
uzyskan
ą
z bilansu odcinka
dz
rury otrzymuje si
ę
0
2
11
24
w
w
w
m
q
q R
T
z T
T
c v R
∞
=
+ =
−
ρ
λ
0
11
2
24
w
w
w
m
q R
q z
T
T
c Rw
=
+ +
λ
ρ