Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Całka podwójna

Zad.1 Oblicz całkę podwójną po prostokącie:

1.1

R

P

R

x

2

1+y

2

dxdy

P :







0 6 x 6 1

0 6 y 6 1

1.2

R

P

R

xy

p

1 + x

2

+ y

2

dxdy

P :







0 6 x 6 1

0 6 y 6 1

1.3

R

P

R

1

(x+y+1)

3

dxdy

P :







0 6 x 6 2

0 6 y 6 1

1.4

R

P

R

x sin xy dxdy

P :







0 6 x 6 1

π 6 y 6 2π

1.5

R

P

R

(2x − 3y

2

) dxdy

P :







−1 6 x 6 1

0 6 y 6 2

1.6

R

P

R

x
y

dxdy

P :







0 6 x 6 2

1 6 y 6 e

1.7

R

P

R

x cos(x

2

+ y) dxdy

P :







−

√

π 6 x 6 0

0 6 y 6 π

1.8

R

P

R

x

2

y e

xy

dxdy

P :







0 6 x 6 1

0 6 y 6 2

Zad.2 Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedyńczych, a nastepnie obliczyć je:

2.1

R

P

R

e

x−y

dxdy

P :







−1 6 x 6 1

−1 6 y 6 1

2.2

R

P

R

xy (x

2

+ y

2

) dxdy

P :







0 6 x 6 1

0 6 y 6 1

2.3

R

P

R

cos(x + y) dxdy

P :







−

π

4

6 x 6

π

4

0 6 y 6

π

4

2.4

R

P

R

xy ln

x
y

dxdy

P :







1 6 x 6 e

1 6 y 6 2

Zad.3

Całkę podwójną po obszarze

D z funkcji f (x, y) zamienić na całkę iterowaną, jeżeli D jest obszarem

ograniczonym liniami:

3.1 x = 0, y = 0, x

2

+ y

2

= 25, (x, y > 0)

3.2 y =

1

x

, y =

√

x, x = 2

3.3 x

2

+ y = 2, y

3

= x

2

Zad.4 Zmienić kolejność całkowania w całce:

4.1

e

R

1

dx

ln x

R

0

f (x, y) dy

4.2

2

R

−6

dx

2−x

R

1
4

x

2

−1

f (x, y) dy

4.3

π

R

0

dx

2

R

sin x

f (x, y) dy

4.4

1

R

0

dy

√

y

R

y

2

f (x, y) dx

Zad.5 Oblicz całkę podwójną po obszarze D ograniczonym danymi liniami:

5.1

R

D

R

x

2

y dxdy

D :



















y = −

√

x

y =

1

x

y = −2

5.2

R

D

R

xy dxdy

D :



















y = −x

2

+ 4

y = 3

√

x

y = 0 (x 6 0)

5.3

R

D

R

(x

2

+ y) dxdy

D :







y = x

2

y

2

= x

5.4

R

D

R

x

2

y

2

dxdy

D :



















y =

1

x

y = x

x = 2

5.5

R

D

R

dxdy

D :







y = x

2

y = 4 − x

2

5.6

R

D

R

2x dxdy

D :







y

2

= x + 2

y = −x

5.7

R

D

R

2xy dxdy

D :







y = x

2

y = 2 + |x|

5.8

R

D

R

(x + 2y) dxdy

D :







y = −

√

x, y = −2

√

x, y = −x

dla 1

6 x 6 4