Całki podwójne

ZiE, sem.II, 2008-09

mgr K. Kujawska, SNM

Zad.1 Obliczyć całki podwójne po podanych prostokątach:

1.1

∫∫

+

P

dxdy

y

x

)

2

3

(

2







≤

≤

≤

≤

−

2

0

1

1

:

y

x

P

1.2

∫∫

−

P

y

x

dxdy

e

3







≤

≤

−

≤

≤

0

1

1

0

:

y

x

P

1.3

∫∫

P

xydxdy

x sin







≤

≤

≤

≤

π

π

2

1

0

:

y

x

P

1.4

∫∫

+

+

P

y

x

dxdy

3

)

1

(







≤

≤

≤

≤

1

0

2

0

:

y

x

P

1.5

∫∫

P

dxdy

y

x

2







≤

≤

≤

≤

6

4

2

1

:

y

x

P

1.6

∫∫

P

dxdy

yx

xy

)

sin(

2

2









≤

≤

≤

≤

2

0

2

0

:

π

y

x

P

.

Zad.2 Zmienić kolejność całkowania:

2.1

∫ ∫

e

x

dy

y

x

f

dx

1

ln

0

)

,

(

2.2

∫ ∫

e

x

dy

y

x

f

dx

1

1

ln

)

,

(

2.3

∫ ∫

2

0

2

)

,

(

x

x

dy

y

x

f

dx

2.4

∫ ∫

1

0

2

3

)

,

(

x

x

dy

y

x

f

dx

2.5

∫ ∫

−

−

−

2

6

2

1

4

2

)

,

(

x

x

dy

y

x

f

dx

2.6

∫

∫

−

−

2

2

2

1

2

2

)

,

(

y

y

dx

y

x

f

dy

2.7

∫

∫

−

−

1

1

3

2

2

2

)

,

(

x

x

dy

y

x

f

dx

2.8

∫ ∫

−

+

−

1

2

1

1

)

,

(

x

dy

y

x

f

dx

.

Zad.3 Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych i obliczyć je:

3.1

∫∫

−

P

y

x

dxdy

e







≤

≤

−

≤

≤

−

1

1

1

1

:

y

x

P

3.2

∫∫

+

P

dxdy

y

x

xy

)

(

2

2







≤

≤

≤

≤

1

0

1

0

:

y

x

P

3.3

∫∫

+

P

dxdy

y

x

)

cos(











≤

≤

≤

≤

−

4

0

4

4

:

π

π

π

y

x

P

3.4

∫∫

P

dxdy

y

x

xy ln







≤

≤

≤

≤

2

1

1

:

y

e

x

P

.

Zad.4 Obliczyć podane całki iterowane:

4.1

∫ ∫

1

0

2

2

x

x

dy

xy

dx

4.2

dy

x

y

dx

x

x

∫ ∫

1

0

2

2

3

4.3

∫

∫

−

−

+

2

2

4

0

3

3

2

)

(

x

dy

y

x

dx

4.4

∫ ∫

+

3

0

0

2

16

y

dx

y

dy

4.5

∫ ∫

−

4

1

2

2

x

x

dy

x

y

x

dx

4.6

∫ ∫

9

0

3

3

)

sin(

y

dx

x

dy

π

.

Zad.5 Obliczyć całki podwójne po podanych obszarach:

5.1

∫∫

D

xydxdy

, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe

2

,

1

,

2

,

=

−

=

=

=

x

x

x

y

x

y

5.2

∫∫

D

xydxdy

, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe

2

2

,

y

x

x

y

=

=

5.3

∫∫

+

D

dxdy

y

x

)

2

(

, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe

3

,

0

,

0

=

+

=

=

y

x

x

y

5.4

∫∫

+

D

dxdy

y

x

)

sin(

, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe

2

,

,

0

π

=

+

=

=

y

x

x

y

y

5.5

∫∫

+

D

dxdy

y

x

x

2

2

, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe

2

,

2

,

=

=

=

x

y

x

x

y

5.6

∫∫

D

xydxdy

, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe

)

0

(

0

,

3

,

4

2

≤

=

=

+

−

=

x

dla

y

x

y

x

y

.

Zad.6 Opisać we współrzędnych biegunowych następujące obszary:

6.1

koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R, R>0;

6.2

wycinek kołowy o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R, ograniczony
promieniami koła tworzącymi kąty

α

i

β

, gdzie

π

β

α

2

0

<

<

≤

, z dodatnią półosią osi OX;

6.3

pierścień kołowy o środku w początku układu współrzędnych, promieniu wewnętrznym R

1

i

zewnętrznym R

2

, gdzie 0<R

1

<R

2

;

6.4

wycinek pierścienia kołowego o środku w początku układu współrzędnych, promieniu
wewnętrznym R

1

i zewnętrznym R

2

, gdzie 0<R

1

<R

2

, ograniczony promieniami koła tworzącymi

kąty

α

i

β

, gdzie

π

β

α

2

0

<

<

≤

, z dodatnią półosią osi OX;

6.5

koło o środku w punkcie (R,0) i promieniu długości R, R>0;

6.6

koło o środku w punkcie (0,R) i promieniu długości R, R>0.

Zad.7 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne:

7.1

∫∫

+

−

D

y

x

dxdy

e

)

(

2

2

, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą

2

2

2

=

+

y

x

;

7.2

∫∫

−

+

D

y

x

dxdy

1

2

2

, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

25

,

9

2

2

2

2

=

+

=

+

y

x

y

x

;

7.3

∫∫

D

ydxdy

, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

)

0

,

0

(

,

0

,

,

1

,

4

2

2

2

2

≥

≥

=

=

=

+

=

+

y

x

y

x

y

y

x

y

x

;

7.4

∫∫

D

xdxdy

, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

)

(

,

,

1

)

1

(

2

2

y

x

x

y

y

x

≥

=

=

−

+

;

7.5

∫∫

+

+

D

dxdxy

y

x

)

1

ln(

2

2

, gdzie

{

}

0

,

9

:

)

,

(

2

2

≥

≤

+

=

y

y

x

y

x

D

7.6

∫∫

+

+

D

dxdxy

y

x

y

x

2

2

2

2

)

ln(

, gdzie

{

}

1

,

:

)

,

(

2

2

2

2

2

≥

+

≤

+

=

y

x

e

y

x

y

x

D

7.7

∫∫

+

D

dxdxy

y

x

x

2

2

2

, gdzie

{

}

x

y

y

x

y

x

D

≥

≤

+

=

,

1

:

)

,

(

2

2

.

Zad.8 Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru ograniczonego podanymi krzywymi:

8.1

1

,

2

=

=

x

y

x

8.2

4

,

4

,

sin

,

cos

π

π

=

−

=

=

=

x

x

x

y

x

y

8.3

)

0

,

(

,

2

,

,

1

>

=

=

=

y

x

x

y

x

y

xy

8.4

2

,

1

,

=

=

=

y

x

y

x

y

8.5

1

,

,

ln

2

=

=

=

y

e

x

x

y

8.6

2

,

4

2

−

=

−

=

y

x

y

x

.

Zad.9 Obliczyć objętości brył ograniczonych wymienionymi powierzchniami:

9.1

0

,

0

,

0

,

3

2

6

=

=

=

−

−

=

z

y

x

y

x

z

9.2

5

4

,

1

,

1

,

2

+

=

=

=

=

x

z

z

y

x

y

9.3

y

e

y

xy

z

z

x

x

y

y

⋅

−

=

=

=

=

=

=

)

2

(

,

0

,

3

,

2

,

1

,

0

9.4

0

,

2

2

,

9

2

2

2

2

=

+

=

=

+

z

y

x

z

y

x

9.5

0

),

0

(

0

,

3

2

,

4

2

2

=

≥

=

+

+

=

=

+

z

y

dla

y

y

x

z

y

x

9.6

9

,

9

2

2

2

2

2

−

=

+

=

+

z

y

x

y

x

9.7

1

,

0

,

100

2

2

2

2

+

+

=

=

=

+

y

x

z

z

y

x

9.8

4

,

6

,

4

2

2

−

=

+

+

=

=

+

z

y

x

z

y

x

9.9

2

2

2

2

2

2

4

,

0

,

4

,

1

y

x

z

z

y

x

y

x

+

=

=

=

+

=

+

.

Zad.10 Obliczyć pola następujących powierzchni

10.1 części płaszczyzny 3x+4y+6z=12 leżącej nad prostokątem o wierzchołkach (0,0), (2,0), (2,1), (0,1)
10.2 części płaszczyzny z=4x+6y-1 leżącej nad obszarem D określonym nierównościami

49

9

2

2

≤

+

≤

y

x

10.3 części powierzchni

xy

z

=

leżącej wewnątrz walca

1

2

2

=

+

y

x

10.4 części sfery

25

2

2

2

=

+

+

z

y

x

leżącej wewnątrz walca

16

2

2

=

+

y

x

.