Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Całka podwójna - ciąg dalszy

Zad.1 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć:

1.1

R

D

R

(x

2

+ y

2

) dxdy

D :

x

2

+ y

2

6 4

1.2

R

D

R

p

x

2

+ y

2

− 9 dxdy

D :







x

2

+ y

2

6 25

x

2

+ y

2

> 9

1.3

R

D

R

y
x

2

dxdy

D :







x

2

+ y

2

6 2x

x

2

+ y

2

> 1

1.4

R

D

R

(x + y) dxdy

D :

x

2

+ y

2

6 x + y

1.5

R

D

R

ln(1 + x

2

+ y

2

) dxdy

D :







x

2

+ y

2

6 25

x 6 0

1.6

R

D

R

x

2

p

x

2

+ y

2

dxdy

D :







x

2

+ y

2

6 1

y > x

1.7

R

D

R

p

4 − x

2

− y

2

dxdy

D :







x

2

+ y

2

6 2x

y > 0

1.8

R

D

R

1

√

x

2

+y

2

dxdy

D :



















x

2

+ y

2

> 1

x

2

+ y

2

6 4

y > x

Zad.2 Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:

2.1 y

2

= 4 + x, x + 3y = 0

2.2 y = ln x, y = x − 1, y = −1

2.3 x = 4 − y

2

, x = y − 2

2.4 y = arctg x, x = 0, x = 1, y =

π

2

2.5 y = sin x, y = − sin x, x ∈ [0, π]

2.6 x

2

+ y

2

= 2y, x

2

+ y

2

= 4y, y = x, y =

√

3 x

2.7 (x

2

+ y

2

)

2

= 2(x

2

− y

2

), x

2

+ y

2

= 2x

2.8 (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

Zad.3 Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

3.1 y = x

2

, y = 1, z = 0, z = 2y

3.2 x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0, z = 2xy

3.3 y

2

+ x = 0, z

2

+ x = 0, x + 4 = 0

3.4 x = 0 y = 1, 2x + y = 5, z = 0, z = xy

3.5 x = 1, x = 4, y = 0, y =

√

x, z = 0, z = xy

3.6 y = x

2

, y = 2x

2

, y = 1, z = 0, z = 4

√

x

3.7 y

2

− x + 1 = 0, x − y = 3, z = 0, z = 2x + y

3.8 x = y

2

, y = x − 2, z = x + y + 2, z = 0

3.9 x = 1, x = e, y = 1 − ln x, y = 2 + 2 ln x, z = 0, z = x + 2y

3.10 x = 1, y = 0, y =

√

x, z = 0, z = arctg y

3.11 x = 0, y = 0, x + y = 4, z = 0, z = 1 + x

2

+ y

2

3.12 y = x, y = x

2

, z = 0, z = x

2

+ y

2

3.13 x = 0, y = 2x, y = 1, z = 0, z = −x

2

− y

2

3.14 z = 0, z = 3 − x, y

2

= 3x

3.15 y = e

x

, y = e

2x

, y = e, z = x, z = 2x

3.16 x

2

+ y

2

= 1, z = 0, z = 6x

2

+ 2y

2

3.17 x

2

+ y

2

= 4, z = 0, z = x + 2y + 8

3.18 x

2

+ y

2

= 4, z = x, z = x + 1

3.19 x

2

+ y

2

= z, z = 8 − x

2

− y

2

3.20 x

2

+ y

2

= 1, z = x − 1, z = x

2

3.21 x

2

+ y

2

+ z

2

= 8, x

2

+ y

2

= z

2

3.22 z = 9

p

x

2

+ y

2

, z = 22 − x

2

− y

2

3.23 z =

p

36 − x

2

− y

2

, 9z = x

2

+ y

2

3.24 x

2

+ y

2

= z, x

2

+ y

2

= x, x

2

+ y

2

= 2x, z = 0

3.25 x

2

+ y

2

= 4, z = 0, 4z = 16 − x

2

− y

2

3.26 x

2

+ y

2

= 2x, z

2

= 4x

3.27 x

2

+ y

2

= z, z = x + y

3.28 z = 2 − 10(x

2

+ y

2

), z = 2 + 20y

3.29 x

2

+ y

2

= 4z

2

, x

2

+ y

2

= 8z

3.30 x

2

+ y

2

= −4y, z = 0, z = (y − x)

2

3.31

1
9

x

2

+ y

2

= 1, z = x + y, z = 0, (dla x, y > 0)

3.32 25x

2

+ 9y

2

= z, z = 4

3.33 x

2

+

1

16

y

2

= 1, z = 2xy, z = 0, (dla x, y > 0)

3.34

1
9

x

2

+

1
4

y

2

= 1, z + x = 6, z = 0

3.35

1

16

x

2

+ y

2

= 1, z = e

−(

1

16

x

2

+y

2

)

, z = 0