Matematyka Ogólna, RMT

2010/2011, sem. zimowy

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Zadania ćwiczeniowe

Zad.1. Na podstawie definicji obliczyć pochodną funkcji f w podanym punkcie x

0

:

(1) f (x) = 2x − x

2

, x

0

= 1;

(2) f (x) = x

2

− 7x, x

0

= 0;

(3) f (x) = x

3

, x

0

= 1;

(4) f (x) = −

√

x + 2, x

0

= 2;

(5) f (x) =

√

1 + 2x, x

0

= 4;

(6) f (x) = 3 + 2

√

4x − 1, x

0

= 2

1
2

;

(7) f (x) =

1

x

2

, x

0

= 1;

(8) f (x) =

√

x

2

− 1, x

0

= −3;

(9) f (x) = sin x, x

0

=

π

2

;

(10) f (x) = sin

√

x, x

0

= 0.

Zad.2. Wyznaczyć pochodne podanych funkcji:

(1) y = 2x

3

− 5x

2

+

1
2

,

(2) y =

3
5

x

4

+

3
4

x

6

− x

5

,

(3) y = x

12

− 4

√

x,

(4) y = (3 − x

4

)

2

,

(5) y = (x

2

− 1)(x + 2),

(6) y = 1 −

4

x

6

+

3

x

7

,

(7) y =

2

x

−

3

x

2

+

4

x

4

− 5

5

x

8

,

(8) y = (

4

√

x −

1
2

),

(9) y =

5

√

x

4

−

3

√

x

2

,

(10) y =

2

6

√

x

5

−

x

3

+

4

√

x

3

2

,

(11) y =

x

5

+x

3

+x

√

x

,

(12) y =

3

p√

xx,

(13) y =

5

p

4

√

xx,

(14) y = (

3

√

x

−

√

x)(

2

√

x

+

√

x),

(15) y = x

2

− sin x,

(16) y = 4 ctg x + 4 cos x,

(17) y = x cos x,

(18) y = x

2

sin x + tg x,

(19) y =

sin x

x

3

,

(20) y =

x

4

−1

x

4

+1

,

(21) y =

√

x ln x,

(22) y =

1−sin x

1+cos x

,

(23) y =

1

√

x+1

,

(24) y =

3

√

x

x−1

,

(25) y = x

3

√

1 − 2x,

(26) y =

x−1

√

x+1

,

(27) y =

√

x+7

x−2

,

(28) y =

x

2

+4

x

,

(29) y =

x−2

x

2

+6x+1

,

(30) y =

x

2

−x+1

x+2

,

(31) y =

x

2

−2

x

2

+2

,

(32) y =

2x−1

x

3

−2x

2

+3x−4

,

(33) y =

2 cos x−3 sin x

sin x+1

,

(34) y =

sin 2x

x

,

(35) y = sin

x

2

,

(36) y = cos

3

x,

(37) y = x · sin

2

x,

(38) y =

√

sin x + 2,

(39) y = tg(4x − 1),

(40) y =

3

√

2x − 1,

(41) y = (2x − 3)

3

,

(42) y = (

1

100

x

3

− 5)

100

,

(43) y = x(x

5

+ 2x − 1)

3

,

(44) y = (x − 1)

√

3x + 1,

(45) y = x

2

3

√

4x + 1,

(46) y = ctg

x

5

5

,

(47) y = 2arctg

x

4

− x

17

,

(48) y = tg

1

x

,

(49) y =

1

cos

3

x+1

,

(50) y = cos(1 + 2x

2

),

(51) y = sin(x + cos x),

(52) y = x

2

arctgx − tg 5x,

(53) y = x ln x − cos(x

6

),

(54) y =

√

x ln(x + 1) −

√

x

x+1

,

(55) y = ln(x

2

+ 1),

(56) y = 2 ln(x

7

+ x − 1),

(57) y = 2x

3

ln(x

2

+ 2x + 1),

(58) y = ln(

x−1

x

2

),

(59) y = ln

√

x + 3,

(60) y =

pln(x − 6),

(61) y = ln(

√

x

2

+ 8 − x),

(62) y = arcsin(

x

2

) + tg

x

12

,

(63) y = x arccos

x

2

+

4

√

x

5

,

(64) y =

x−1

x

3

+1

+

x

3

+1

x−1

,

(65) y = ln

4

x − x ln x,

(66) y = x

5

ln

5

x,

(67) y = x · 4

x

,

(68) y = x

2

· 5

x

,

(69) y = cos 3

x

,

(70) y = (

1
2

)

sin x

,

(71) y = x

x

,

(72) y = (2x)

2x

,

(73) y = (x + 1)

x+2

,

(74) y =

ln x+1
ln x−1

,

(75) y =

p

2x −

√

x,

(76) y = ln sin x,

(77) y = sin ln x,

(78) y = 3

x

2

,

(79) y = 4

x

· 5

x

2

,

(80) y = e

sin

2

x

,

(81) y = (sin x)

4 cos x

.

1

Matematyka Ogólna, RMT

2010/2011, sem. zimowy

Zad.3. Obliczyć pochodne drugiego rzędu następujących funkcji:

(1) y = x

4

− 3x

2

+ x,

(2) y =

1
4

x

12

+

1
5

x

5

− arcctg71,

(3) y = ln(sin x),

(4) y = sin(ln x),

(5) y = ln(2 cos x − 1),

(6) y = 2x ln x,

(7) y =

√

x ln x,

(8) y = 5

x

− 5

−x

,

(9) y = arctg2x,

(10) y = ln

3

x,

(11) y = ln(x

2

+ 1),

(12) y = ln

2

(x

4

+ 1),

(13) y = xe

x

,

(14) y = x

5

e

2x

,

(15) y = xe

x

3

,

(16) y =

√

2x

2

− 1,

(17) y =

3

√

x

3

+ 3x

2

+ 3x + 1,

(18) y = sin(x

2

),

(19) y = cos

2

x,

(20) y =

ln x

x

2

,

(21) y =

x

ln x

,

(22) y =

2x+1

x−2

,

(23) y =

x−3

x

2

+3x+1

,

(24) y =

x

3

+1

x−1

,

(25) y = x arcsin x,

(26) y = arccos x

4

,

(27) y = xarctgx,

(28) y = xarctg

√

x.

Zad.4. Obliczyć pochodne trzeciego rzędu następujących funkcji:

(1) y = x

1

0 −

1

12

x

4

,

(2) y = sin

x

,

(3) y = sin 2x − cos 2x,

(4) y = x

3

ln x,

(5) y =

ln x

x

2

,

(6) y = ln(3x − 1),

(7) y = ln

2

x,

(8) y = 2arcctgx,

(9) y = x cos x,

(10) y = 2x sin 3x,

(11) y = xe

2x

,

(12) y = x

3

e

x

,

(13) y =

x+1

x

6

(14) y = xarctg

√

x.

Zadania dodatkowe

Zad.1. Narysuj wykres funkcji f . Czy jest to funkcja różniczkowalna?

(1) f (x) =

(

x

x < 1

x

3

x ≥ 1,

(2) f (x) =

(

1
2

x

x ≤ 0

x

2

x > 0.

Zad.2. Wyznacz parametry a, b tak, aby funkcja f była różniczkowalna w R:

f (x) =

(

ax + b

dla x < 1

ax

2

+ x + 2b

dla x ≥ 1.

2