Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarządzaniu

.

Elementy rachunku różniczkowego

. 1

ZADANIA:

4.1. Oblicz pochodne następujących funkcji.

a)

( )

2

f x

=

b)

4

( )

f x

x

=

c)

3

( )

2

f x

x

=

d)

100

50

( )

3

f x

x

x

=

+

e)

3

( )

f x

x

−

=

f)

3

2

1

( )

4

3

12

15 7

f x

x

x

x

x

−

=

+

+

+ +

g)

( )

2 ln

f x

x

=

h)

x

x

f

=

)

(

i)

1

3

( )

f x

x

−

=

j)

1

5

( )

2

5

f x

x

−

=

+

k)

2

2

( )

(

3

3)(

2

7)

f x

x

x

x

x

=

−

+

+

+

l)

2

( )

(

2)

f x

x x

=

−

m)

1

( )

1

x

f x

x

+

=

−

n)

3

3

1

( )

1

x

f x

x

−

=

+

o)

2

2

1

( )

3

x

x

f x

x

+ +

=

−

p)

2

3

1

( )

1

x

x

f x

x

+ +

=

−

q)

2

( )

f x

x

x

=

+

r)

x

e

x

f

2

)

(

=

s)

1

2

1

3

7

2

( )

6

8

f x

x

x

x

=

+

+

t)

1

3

5

4

( )

50

f x

x

x

=

+

+

u)

( )

f x

x x

=

v)

3

( )

1

f x

x

=

−

w)

2

2

( )

2

f x

x

x

=

−

x)

4

3

2

1

1

1

1

( )

4

3

2

f x

x

x

x

x

x

−

=

+

+

+ +

y)

2

( )

(

2)(

3)

f x

x

x

= −

+

z)

2

3

1

1

1

( )

3

f x

x

x

x

= +

+

4.2. Oblicz pochodne (do trzeciego rzędu) następujących funkcji.

a)

5

4

2

( )

5

12

13

f x

x

x

x

x

=

+

+ + +

b)

5

( )

60

152

x

f x

x

e

=

+ +

c)

4

( )

24

ln

1

f x

x

x

=

+

+

d)

6

( )

f x

x

=

e)

( )

x

f x

e

=

f)

( )

ln

f x

x

=

g)

1

2

( )

f x

x

=

h)

1

( )

3

f x

x

−

=

+

i)

( )

e

f x

x

=

j)

1

( )

2

x

f x

x

−

=

+

4.3. Oblicz drugą pochodną funkcji w punkcie

0

x

=

.

a)

3

2

1

( )

2

3

f x

x

x

x

= −

+

−

b)

2

( )

2

x

f x

e

x

= +

c)

1

( )

1

x

f x

x

+

=

−

4.4. Oblicz nachylenie funkcji w danym punkcie.
a)

3

( )

f x

x

=

w punkcie

2

x

=

b)

x

e

x

f

=

)

(

w punkcie

0

x

=

c)

2

( )

2

f x

x

x

=

− −

w punkcie

3

x

=

d)

2

( )

2

f x

x

x

=

− −

w punkcie

0

x

=

e)

2

( )

2

f x

x

x

=

− −

w punkcie

1

2

x

=

f)

2

( )

1

x

f x

x

−

=

+

w punkcie

1

x

=

g)

( )

5

x

f x

e

= +

w punkcie

0

x

=

h)

2

( )

3

f x

x

x

=

−

w punkcie

1

x

=

i)

3

2

( )

2

f x

x

x

=

+

w punkcie

1

x

=

Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarządzaniu

.

Elementy rachunku różniczkowego

. 2

4.5. Oblicz elastyczność funkcji dla podanego x

0

:

a)

2

+

=

x

y

,

5

0

=

x

,

b)

2

2

+

=

x

y

,

3

0

=

x

,

c)

6

3

2

+

+

=

x

x

y

,

2

0

=

x

,

d)

x

y

1

=

,

4

0

=

x

,

e)

10

2

2

+

−

=

x

y

,

2

0

=

x

.

ZASTOSOWANIA W EKONOMII:

4.6. Koszty całkowite przedsiębiorstwa dane są funkcją

50

6

2

2

3

+

+

−

=

x

x

x

TC

. Zapisz

funkcje:
a) kosztów zmiennych,
b) kosztów stałych,
c) przeciętnych kosztów całkowitych,
d) przeciętnych kosztów stałych,
e) przeciętnych kosztów zmiennych,
f) przeciętnych kosztów krańcowych.

4.7. Oblicz maksymalny przychód przedsiębiorstwa, w którym funkcja przychodów
całkowitych to

x

x

TR

12

2

+

−

=

.

4.8. Przy jakiej wielkości produkcji przychody krańcowe przedsiębiorstwa będą zerowe, jeżeli
funkcja popytu produktu X sprzedawanego przez to przedsiębiorstwo to

12

3

+

−

=

x

p

.

4.9. Przedsiębiorstwo, które działa na rynku konkurencji doskonałej, ma funkcję kosztu
całkowitego:

3

)

(

2

+

=

X

X

TC

, a cena na rynku wyrobu produkowanego przez

przedsiębiorstwo wynosi 10 j.p. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa.

4.10. Przedsiębiorstwo, którego celem jest maksymalizacja zysku, ma funkcję kosztu

całkowitego:

X

X

X

ATC

3

7

,

0

)

(

+

=

oraz

funkcję

przychodu

całkowitego:

X

X

X

TR

12

3

,

0

)

(

2

+

−

=

. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku tego przedsiębiorstwa.

4.11. Wyznacz punkt równowagi przedsiębiorstwa, w którym koszty całkowite to

20

5

2

3

1

2

3

+

+

−

=

x

x

x

TC

, a przychody całkowite to

x

x

TR

11

5

,

1

2

+

−

=

.

4.12. Wyznacz punkt równowagi przedsiębiorstwa, w którym koszty całkowite to

5

60

12

)

(

2

3

+

+

−

=

X

X

X

X

TC

, a przychody całkowite to

X

X

X

TR

60

5

,

1

)

(

2

+

−

=

.

4.13. Krzywa popytu dana jest równaniem

20

6

+

−

=

x

p

. Oblicz i zinterpretuj elastyczność

cenową popytu w punkcie x

0

= 3.

4.14. Krzywe popytu i podaży na rynku dobra x dane są równaniami:

10

2

+

−

=

x

p

i

2

+

=

x

p

. Oblicz cenową elastyczność popytu i podaży w punkcie równowagi rynkowej.

Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarządzaniu

.

Elementy rachunku różniczkowego

. 3

4.15. Wyznacz algebraicznie cenę i wielkość równowagi oraz oblicz współczynnik
elastyczności cenowej popytu i podaży w punkcie równowagi, wiedząc, że krzywe popytu
i podaży dane są równaniami:

8

2

+

−

=

P

Q

D

,

2

P

Q

S

=

.

4.16. Popyt rynkowy na dobro X dany jest równaniem:

X

X

P

Q

1

=

, natomiast podaż rynkową

tego dobra można opisać funkcją postaci:

X

X

P

Q

=

.

a)

Oblicz cenę i wielkość równowagi.

b)

Oblicz elastyczność cenową popytu i podaży w punkcie równowagi.

4.17. Proces produkcyjny badanego przedsiębiorstwa opisany został funkcją typu Cobba-

Douglasa:

5

,

0

5

,

0

4

L

K

TP

=

, gdzie K – kapitał, L – praca. Stawka płacy w wynosi 40 j.p.,

a wynagrodzenie kapitału

10

=

r

j.p. Wyznacz, ile pracy, a ile kapitału, powinno zatrudniać

przedsiębiorstwo minimalizujące koszty produkcji, produkujące 120 jednostek produktu.

4.18. Funkcja produkcji pewnego przedsiębiorstwa opisana jest funkcją Cobba-Douglasa:

3

2

3

1

L

K

TP

=

, gdzie K – kapitał, L – praca. Wynagrodzenie kapitału

4

=

r

j.p., a stawka płacy

w

wynosi

1

j.p. Wiedząc, że przedsiębiorstwo ma podpisane kontrakty na produkcję równą

108 jednostek produktu, wyznacz, ile kapitału oraz ile pracy powinno zatrudniać,
aby minimalizować koszty produkcji.

4.19. Proces produkcyjny przedsiębiorstwa opisany jest funkcją

3

2

3

1

12

L

K

TP

Q

=

=

. Wyznacz

poziom zatrudnienia czynników wytwórczych

K

i

L

gwarantujący najniższy koszt

wyprodukowania 480 jednostek dobra

X

. Cena czynnika

K

to 32 j.p., natomiast czynnika

L

jest czterokrotnie niższa j.p.

4.20. Funkcja produkcji ma postać

KL

TP

Q

2

=

=

. Ile jednostek kapitału i pracy powinno

zatrudniać przedsiębiorstwo, którego celem jest minimalizacja kosztów wyprodukowania 72

sztuk wyrobu gotowego? Ceny czynników produkcji to

24

,

6

=

=

w

r

.

WZORY:

1

(

)

n

n

a x

a n x

−

′

⋅

= ⋅ ⋅

1

(ln )

x

x

′ =

( )

x

x

e

e

′ =

[ ( )

( )]

( )

( )

[ ( )

( )]

( )

( )

( )

( )

f x

g x

f x

g x

f x

g x

f x

g x

f x g x

′

′

′

+

=

+

′

′

′

⋅

=

⋅

+

⋅

[

]

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

f x

f x

g x

f x

g x

g x

g x

′

′

′





⋅

−

⋅

=









[

]

( ( ))

( ( ))

( )

f g x

f g x

g x

′

′

′

=

⋅

′

′

=

+

=

=

=

=

=

TC

VC

FC

TC

VC

FC

TC

VC

MC

ATC

AVC

AFC

X

X

X

TC

TR

WE

−

=