Inżynieria Środowiska; semestr 2
- wykład 7
1
Funkcja uwikłana
Pochodna funkcji uwikłanej F ( x, y) = 0
Funkcją uwikłaną y = f ( x) nazywamy każdą funkcję określoną równaniem: F ( x, y) = 0 .
Jeżeli istnieje ciągła pochodna cząstkowa F 0( x, y) 6= 0 oraz ciągła pochodna cząstkowa y
F 0 ( x, y), to: x
dy
F 0 ( x, y)
= − x
.
dx
F 0( x, y) y
Jeżeli u( t) i v( t) są funkcjami różniczkowalnymi zmiennej t to pochodna funkcji G( t) = F ( u( t) , v( t)) wyraża się wzorem
dG
∂F
du
∂F
dv
=
·
+
·
.
dt
∂u
dt
∂v
dt
Różniczkując dwukrotnie równanie F ( x, y) = 0 względem x otrzymujemy dy
F 0 + F 0
= 0 ,
x
y dx
!2
00
00 dy
00
dy
d 2 y
F
+ 2 F
+ F
+ F 0
= 0 .
xx
xy dx
yy
dx
y dx 2
Ekstrema funkcji uwikłanej F ( x, y) = 0
10 warunek konieczny
dy
F 0 ( x 0 , y 0)
= − x
= 0 , czyli F 0 ( x 0 , y 0) = 0 .
dx
F 0( x
x
y
0 , y 0)
2 0 warunek dostateczny 00
d 2 y
F
= − xx .
dx 2
F 0y
d 2 y !
a)
> 0 = ⇒ to ymin = f ( x 0) = y 0 .
dx 2 ( x 0 ,y 0) d 2 y !
b)
< 0 = ⇒ to ymax = f ( x 0) = y 0 .
dx 2 ( x 0 ,y 0)