semestr 2 - wykład 9
1
Całka potrójna
Niech W będzie prostopadłościanem a Q ⊂ W trójwymiarowym obszarem. Podzielmy prostopadłościan W na mniejsze prostopadłościany i niech πn = {Q 1 , Q 2 , . . . , Qn} będzie zbio-rem prostopadłościanów częściowych takich, że Qi ⊂ Q, i niech ∆ Vi oznacza objętość Qi, a δn oznacza najdłuższą przekątną Qi ⊂ πn; i = 1 , 2 , . . . , n.
Niech funkcja f ( x, y, z) będzie określona na Q. Wówczas sumą Riemanna funkcji f dla podziału πn jest dowolna suma postaci n
S
X
n =
f ( xi, yi, zi)∆ Vi,
i=1
gdzie ( xi, yi, zi) ∈ Qi.
Niech f będzie funkcją trzech zmiennych określoną na obszarze Q.
Z Z Z
Całką potrójną z funkcji f po obszarze Q, oznaczoną symbolem f ( x, y, z) dV , jest Q
n
Z Z Z
f ( x, y, z) dV =
lim
X f ( xi, yi, zi)∆ Vi,
max δn→ 0 i=1
Q
n→∞
o ile granica ta istnieje.
Funkcję f nazywamy wówczas całkowalną w obszarze Q.
Własności całki potrójnej:
1 o Funkcja ciągła w obszarze Q jest całkowalna w Q.
Z Z Z
2 o
dV = V , gdzie V jest objętością Q.
Q
semestr 2 - wykład 9
2
Obliczanie całki potrójnej
1. Q - prostopadłościan: Q = {( x, y, z) : x ∈ [ a, b] ∧ y ∈ [ c, d] ∧ z ∈ [ e, f ] }
"
!
#
Z Z Z
Z
b Z d Z f
f ( x, y, z) dV =
f ( x, y, z) dz dy dx.
a
c
e
Q
2. Q - obszar normalny względem płaszczyzny X 0 Y : Q = {( x, y, z) : ( x, y) ∈ R ∧ z ∈ [ k 1( x, y) , k 2( x, y)] }
"
#
Z Z Z
Z Z
Z
k 2( x,y)
f ( x, y, z) dV =
f ( x, y, z) dz dxdy.
k 1( x,y)
Q
R
3. Q - obszar normalny względem płaszczyzny X 0 Y i R - obszar normalny względem osi 0 X: Q = {( x, y, z) : x ∈ [ a, b] ∧ y ∈ [ g 1( x) , g 2( x)] ∧ z ∈ [ k 1( x, y) , k 2( x, y)] }
"
!
#
Z Z Z
Z
b Z g 2( x) Z k 2( x,y) f ( x, y, z) dV =
f ( x, y, z) dz dy dx.
a
g 1( x)
k 1( x,y)
Q
Zastosowania całki potrójnej
ρ( x, y, z) - gęstość objętościowa obszaru Q: Z Z Z
1. Masa obszaru Q: M =
ρ( x, y, z) dV .
Q
2. Mxy, Mxz i Myz - momenty statyczne obszaru Q względem płaszczyzn X 0 Y, X 0 Z i Y 0 Z: Z Z Z
Mxy =
z · ρ( x, y, z) dV,
Q
Z Z Z
Mxz =
y · ρ( x, y, z) dV,
Q
Z Z Z
Myz =
x · ρ( x, y, z) dV.
Q
3. Środek ciężkości (¯
x, ¯
y, ¯
z) obszaru Q:
Myz
Mxz
Mxy
¯
x =
,
¯
y =
,
¯
z =
.
M
M
M
Z
√
x √
a 2
x
Przypomnienie!
a 2 − x 2 dx ==
a 2 − x 2 +
arc sin
+ C
2
2
a
semestr 2 - wykład 9
3
Zamiana zmiennych w całce potrójnej
Niech odwzorowanie T : x( u, v, w) , y( u, v, w), z( u, v, w) przekształca wzajemnie jednoznacz-nie obszar H w obszar Q. Wówczas: Z Z Z
Z Z Z
f ( x, y, z) dx dy dz =
f [ x( u, v, w) , y( u, v, w) , z( u, v, w)] |J | du dv dw, Q
H
gdzie J , jakobian przekształcenia T , jest określony wzorem
∂x
∂x
∂x
∂u
∂v
∂v
∂y
∂y
∂y
J =
.
∂u
∂v
∂v
∂y
∂y
∂y
∂u
∂v
∂v
Współrzędne cylindryczne (walcowe)
Jeżeli T : x = r cos t, y = r sin t, z = h, wówczas jakobian przekształcenia T wynosi
∂x
∂x
∂x
∂r
∂t
∂h
cos t −r sin t 0
∂y
∂y
∂y
J =
= sin t
r cos t
0 = r cos2 t + r sin2 t = r.
∂r
∂t
∂h
0
0
1
∂z
∂z
∂z
∂r
∂t
∂h
Współrzędne sferyczne
Jeżeli
T : x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ, wówczas jakobian przekształcenia T wynosi
∂x
∂x
∂x
∂r
∂ϕ
∂ψ
cos ϕ cos ψ −r sin ϕ cos ψ −r cos ϕ sin ψ
∂y
∂y
∂y
J =
= sin ϕ cos ψ
r cos ϕ cos ψ
−r sin ϕ sin ψ = r 2 cos ψ.
∂r
∂ϕ
∂ψ
sin ψ
0
r cos ψ
∂z
∂z
∂z
∂r
∂ϕ
∂ψ