Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 5

1

Krzywe stożkowe

Okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny położonych w
odległości r od punktu 0.

Równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r > 0 ma postać:

x

2

+ y

2

= r

2

.

Elipsą o ogniskach F

1

, F

2

oraz o dużej osi 2a, gdzie 2a

>

2c

=

|F

1

F

2

|, nazywamy zbiór

punktów płaszczyzny, których suma odległości od ognisk F

1

i F

2

jest stała i równa 2a.

Równanie elipsy o środku w początku układu współrz¸

ednych i półosiach a > 0 i b > 0 ma postać:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1.

|P F

1

| + |P F

2

| = 2a

Hiperbolą o ogniskach F

1

, F

2

oraz o dużej osi 2a, gdzie 2a < 2c = |F

1

F

2

|, nazywamy zbiór punktów

płaszczyzny, których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk F

1

i F

2

jest stała i równa 2a;

| |P F

1

| − |P F

2

| | = 2a.

Równanie hiperboli o środku w początku układu współrzędnych i półosiach rzeczywistej a > 0 i urojonej
b > 0 ma postać:

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1.

Zależność między półosiami a, b oraz ogniskow¸

a c ma postać:

a

2

+ b

2

= c

2

.

Asymptoty hiperboli maj¸

a równania:

l : y =

b

a

x,

l : y = −

b

a

x.

Hiperbolę, dla której a = b nazywamy równoosiową. Jej równanie po obrocie o kąt

π

4

wokół punktu 0,

przyjmuje postać:

xy =

a

2

2

,

a asymptotami są osie układu współrzędnych.

Parabolą o ognisku w punkcie F i kierownicy k, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość
od ogniska jest równa odległości od kierownicy: |P F | = |P K| = d(P, k).

Równanie paraboli, której ognisko F ma współrzędne (

p
2

, 0), gdzie p 6= 0, a kierownica k ma równanie x = −

p
2

ma postać:

y

2

= 2px.

Równania krzywych przesuniętych i obróconych

Niech Γ oznacza zbiór punktów (x, y) ∈ IR

2

spełniających równanie F (x, y) = 0.

1. Zbiór Γ

0

otrzymany w wyniku przesunięcia zbioru Γ o wektor v = (a, b)

T

jest opisany przez równanie:

Γ

0

: F (x − a, y − b) = 0.

2. Zbiór Γ

00

otrzymany w wyniku obrotu zbioru Γ o kąt α jest opisany przez równanie:

Γ

00

: F (x cos α + y sin α, −x sin α + y cos α) = 0.