Inżynieria Środowiska;
semestr 2
- wykład 5
1
Krzywe stożkowe
Okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny położonych w
odległości r od punktu 0.
Równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r > 0 ma postać:
x
2
+ y
2
= r
2
.
Elipsą o ogniskach F
1
, F
2
oraz o dużej osi 2a, gdzie 2a
>
2c
=
|F
1
F
2
|, nazywamy zbiór
punktów płaszczyzny, których suma odległości od ognisk F
1
i F
2
jest stała i równa 2a.
Równanie elipsy o środku w początku układu współrz¸
ednych i półosiach a > 0 i b > 0 ma postać:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
|P F
1
| + |P F
2
| = 2a
Hiperbolą o ogniskach F
1
, F
2
oraz o dużej osi 2a, gdzie 2a < 2c = |F
1
F
2
|, nazywamy zbiór punktów
płaszczyzny, których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk F
1
i F
2
jest stała i równa 2a;
| |P F
1
| − |P F
2
| | = 2a.
Równanie hiperboli o środku w początku układu współrzędnych i półosiach rzeczywistej a > 0 i urojonej
b > 0 ma postać:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1.
Zależność między półosiami a, b oraz ogniskow¸
a c ma postać:
a
2
+ b
2
= c
2
.
Asymptoty hiperboli maj¸
a równania:
l : y =
b
a
x,
l : y = −
b
a
x.
Hiperbolę, dla której a = b nazywamy równoosiową. Jej równanie po obrocie o kąt
π
4
wokół punktu 0,
przyjmuje postać:
xy =
a
2
2
,
a asymptotami są osie układu współrzędnych.
Parabolą o ognisku w punkcie F i kierownicy k, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość
od ogniska jest równa odległości od kierownicy: |P F | = |P K| = d(P, k).
Równanie paraboli, której ognisko F ma współrzędne (
p
2
, 0), gdzie p 6= 0, a kierownica k ma równanie x = −
p
2
ma postać:
y
2
= 2px.
Równania krzywych przesuniętych i obróconych
Niech Γ oznacza zbiór punktów (x, y) ∈ IR
2
spełniających równanie F (x, y) = 0.
1. Zbiór Γ
0
otrzymany w wyniku przesunięcia zbioru Γ o wektor v = (a, b)
T
jest opisany przez równanie:
Γ
0
: F (x − a, y − b) = 0.
2. Zbiór Γ
00
otrzymany w wyniku obrotu zbioru Γ o kąt α jest opisany przez równanie:
Γ
00
: F (x cos α + y sin α, −x sin α + y cos α) = 0.