Inżynieria Środowiska;

semestr 2 - wykład 9

1

Całka potrójna

Niech W będzie prostopadłościanem a Q ⊂ W trójwymiarowym obszarem. Podzielmy pro-
stopadłościan W na mniejsze prostopadłościany i niech π

n

= {Q

1

, Q

2

, . . . , Q

n

} będzie zbio-

rem prostopadłościanów częściowych takich, że Q

i

⊂ Q, i niech ∆V

i

oznacza objętość Q

i

, a

δ

n

oznacza najdłuższą przekątną Q

i

⊂ π

n

;i = 1, 2, . . . , n.

Niech funkcja f (x, y, z) będzie określona na Q. Wówczas sumą Riemanna funkcji f dla
podziału π

n

jest dowolna suma postaci

S

n

=

n

X

i=1

f (x

i

, y

i

, z

i

)∆V

i

,

gdzie (x

i

, y

i

, z

i

) ∈ Q

i

.

Niech f będzie funkcją trzech zmiennych określoną na obszarze Q.

Całką potrójną z funkcji f po obszarze Q, oznaczoną symbolem

Z Z Z

Q

f (x, y, z) dV , jest

Z Z Z

Q

f (x, y, z) dV =

lim

max δn→0

n→∞

n

X

i=1

f (x

i

, y

i

, z

i

)∆V

i

,

o ile granica ta istnieje.

Funkcję f nazywamy wówczas całkowalną w obszarze Q.

Własności całki potrójnej:

1

o

Funkcja ciągła w obszarze Q jest całkowalna w Q.

2

o

Z Z Z

Q

dV = V , gdzie V jest objętością Q.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2 - wykład 9

2

Obliczanie całki potrójnej

1. Q - prostopadłościan: Q = {(x, y, z) : x ∈ [a, b] ∧ y ∈ [c, d] ∧ z ∈ [e, f ]}

Z Z Z

Q

f (x, y, z) dV =

Z

b

a

"

Z

d

c

Z

f

e

f (x, y, z) dz

!

dy

#

dx.

2. Q - obszar normalny względem płaszczyzny X0Y :

Q = {(x, y, z) : (x, y) ∈ R ∧ z ∈ [k

1

(x, y), k

2

(x, y)]}

Z Z Z

Q

f (x, y, z) dV =

Z Z

R

"

Z

k

2

(x,y)

k

1

(x,y)

f (x, y, z) dz

#

dxdy.

3. Q - obszar normalny względem płaszczyzny X0Y i R - obszar normalny względem osi 0X:

Q = {(x, y, z) : x ∈ [a, b]∧ y ∈ [g

1

(x), g

2

(x)] ∧ z ∈ [k

1

(x, y), k

2

(x, y)]}

Z Z Z

Q

f (x, y, z) dV =

Z

b

a

"

Z

g

2

(x)

g

1

(x)

Z

k

2

(x,y)

k

1

(x,y)

f (x, y, z) dz

!

dy

#

dx.

Zastosowania całki potrójnej

ρ(x, y, z) - gęstość objętościowa obszaru Q:

1. Masa obszaru Q: M =

Z Z Z

Q

ρ(x, y, z) dV .

2. M

xy

, M

xz

i M

yz

- momenty statyczne obszaru Q względem płaszczyzn X0Y, X0Z i Y 0Z:

M

xy

=

Z Z Z

Q

z · ρ(x, y, z) dV,

M

xz

=

Z Z Z

Q

y · ρ(x, y, z) dV,

M

yz

=

Z Z Z

Q

x · ρ(x, y, z) dV.

3. Środek ciężkości (¯

x, ¯

y, ¯

z) obszaru Q:

¯

x =

M

yz

M

,

¯

y =

M

xz

M

,

¯

z =

M

xy

M

.

Przypomnienie!

Z

√

a

2

− x

2

dx ==

x

2

√

a

2

− x

2

+

a

2

2

arc sin

x

a

+ C

Inżynieria Środowiska;

semestr 2 - wykład 9

3

Zamiana zmiennych w całce potrójnej

Niech odwzorowanie T : x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) przekształca wzajemnie jednoznacz-
nie obszar H w obszar Q. Wówczas:

Z Z Z

Q

f (x, y, z) dx dy dz =

Z Z Z

H

f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J | du dv dw,

gdzie J , jakobian przekształcenia T , jest określony wzorem

J =

















∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂v

















.

Współrzędne cylindryczne (walcowe)

Jeżeli T : x = r cos t, y = r sin t, z = h, wówczas jakobian przekształcenia T wynosi

J =


















∂x

∂r

∂x

∂t

∂x

∂h

∂y

∂r

∂y

∂t

∂y

∂h

∂z

∂r

∂z

∂t

∂z

∂h


















=









cos t −r sin t 0

sin t

r cos t

0

0

0

1









= r cos

2

t + r sin

2

t = r.

Współrzędne sferyczne

Jeżeli

T : x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ,

wówczas jakobian przekształcenia T wynosi

J =


















∂x

∂r

∂x

∂ϕ

∂x

∂ψ

∂y

∂r

∂y

∂ϕ

∂y

∂ψ

∂z

∂r

∂z

∂ϕ

∂z

∂ψ


















=









cos ϕ cos ψ −r sin ϕ cos ψ −r cos ϕ sin ψ

sin ϕ cos ψ

r cos ϕ cos ψ

−r sin ϕ sin ψ

sin ψ

0

r cos ψ









= r

2

cos ψ.