Ćw WYK 2, POCH CZ

Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 6

Pochodne cząstkowe

Niech f (x, y) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu (a, b).

Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) funkcji z = f (x, y) względem zmiennej x w punkcie (a, b) nazywamy
granicę

lim

∆x→0

f (a + ∆x, b) − f (a, b)

∆x

o ile granica ta istnieje, i oznaczamy przez

(a, b) =

∂f

∂x

(a,b)

∂z

∂x

(a,b)

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Warunek konieczny:

Jeżeli funkcja f (x, y) ma w punkcie (x

, y

) ekstremum lokalne oraz ma w tym punkcie pochodne cząstkowe

pierwszego rzędu to:

, y

) = f

, y

) = 0.

Niech:

W =

, y

)

, y

)

, y

)

, y

)

= f

, y

) − [f

, y

)]

Jeżeli f (x, y) jest funkcją mającą ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu
(x

, y

), taką, że

, y

) = f

, y

) = 0,

to:

◦

dla W > 0 w (x

, y

) występuje ekstremum, mianowicie:

– maksimum, jeżeli f

, y

) < 0,

– minimum, jeżeli f

, y

) > 0;

◦

dla W < 0 nie występuje w (x

, y

) ekstremum (w (x

, y

) istnieje punkt siodłowy).

Różniczka zupełna

Niech z = f (x, y) będzie ciągła wraz z pierwszymi pochodnymi w pewnym otoczeniu punktu (x, y). Różniczką
zupełną funkcji z = f (x, y) w punkcie (x, y) dla przyrostów ∆x = dx i ∆y = dy nazywamy wyrażenie:

dz = df =

∂z

∂x

dx +

∂z

∂y

dy =

∂f

∂x

dx +

∂f

∂y

dy.

Dla małych przyrostów dx i dy zachodzi wzór:

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) ≈ dz.