Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 4

1

Przekształcenia liniowe

Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi. Mówimy, że funkcja

L : U −→ V

jest

przekształceniem liniowym, gdy:

a)

∀x, y ∈ U ,

L(x + y) = L(x) + L(y)

(addytywność),

b)

∀x ∈ U , α ∈ IR,

L(αx) = αL(x)

(jednorodność).

Przykłady przekształceń liniowych

a) Niech U = V = IR. L( x) = m · x, gdzie m jest ustaloną liczbą m ∈ IR.

b) Niech U = V = IR

3

. L( x) = v × x, gdzie v jest ustalonym wektorem v ∈ IR

3

.

c) Niech U = V = IR

2×2

.

L

a b

c d

!!

=

1 2
2 1

!

a b

c d

!

.

Liniowa niezależność wektorów.

Wektory u

1

, u

2

, . . . , u

n

∈ U są liniowo zależne ⇐⇒ co najmniej jeden z nich jest kombinacją

liniowa pozostałych, tzn.

u

k

= α

1

u

1

+ . . . + α

k−1

u

k−1

+ α

k+1

u

k+1

+ . . . + α

n

u

n

.

Baza przestrzeni liniowej.

Bazą przestrzeni liniowej U nazywamy zbiór wektorów tej przestrzeni {u

1

, u

2

, . . . , u

n

}, który

jest liniowo niezależny i taki, że każdy wektor u ∈ U jest kombinacją liniową wektorów z
tego zbioru.

Wymiar przestrzeni liniowej.

Wymiarem przestrzeni liniowej U ⊆ IR

m

nazywamy liczbę wektorów dowolnej bazy tej prze-

strzeni i oznaczamy dim(U ).

Jądro przekształcenia liniowego

Jądrem przekształcenia liniowego (przestrzenią zerową)

L : U −→ V

nazywamy zbiór

KerL = N (L) określony wzorem:

KerL = {x ∈ U : L(x) = 0}.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 4

2

Obraz przekształcenia liniowego

Obrazem przekształcenia liniowego L : U −→ V nazywamy zbiór ImL = R(L) określony
wzorem:

ImL = {y ∈ V : ∃ x ∈ U : L(x) = y} = {L(x) : x ∈ U }.

Własność: dim(ImL) + dim(KerL) = dim(U ).

Niech wektor e

i

postaci

e

i

=






















0
0

..

.

0
1
0

..

.

0
0






















←− i-ta składowa

będzie wektorem bazy standardowej przekształcenia L.

Macierz przekształcenia liniowego

Niech L : IR

n

−→ IR

m

będzie przekształceniem liniowym i niech A będzie m × n macierzą,

której i-ta kolumna określona jest równaniem a

i

= L(e

i

).

Macierz A jest wówczas jedyną macierzą taką, że Ax = L(x).

Rząd przekształcenia liniowego

Rzędem przekształcenia liniowego

L : U −→ V nazywamy wymiar obrazu tego przekształ-

cenia; r(L) = dim(ImL).

Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego L : IR

n

−→ IR

m

. Wówczas zachodzi rów-

ność:

ImL = lin{a

1

, a

2

, . . . , a

n

} = R(A),

gdzie wektory a

1

, a

2

, . . . , a

n

są kolumnami macierzy A.

Minor macierzy

Niech A ∈ IR

m×n

oraz niech 1 ¬ k ¬ min(m, n). Minorem stopnia k macierzy A nazywamy

wyznacznik podmacierzy, która powstała po skreśleniu m−k wierszy i n−k kolumn macierzy
A.

Rząd macierzy

Rzędem macierzy A ∈ IR

m×n

nazywamy wymiar przestrzeni R(A) = lin{a

1

, a

2

, . . . , a

n

}, tzn.

r(A) = dim[R(A)].

Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 4

3

Rząd macierzy A 6= 0 jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora.

Własności:

1. r(A) = r(A

T

).

2. r(0) = 0.
3. A ∈ IR

n×n

∧ detA 6= 0 =⇒ r(A) = n.

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne macierzy

Definicja. Niech A ∈ IR

n×n

. Liczbę λ ∈ IR nazywamy wartością własną A, jeżeli istnieje

niezerowy wektor x ∈ IR

n

taki, że Ax = λx.

Każdy wektor x 6= 0 spełniający tę równość nazywamy wektorem własnym A odpowiada-
jącym wartości własnej λ.

Twierdzenie. Niech A ∈ IR

n×n

i I ∈ IR

n

będzie macierzą jednostkową. Wówczas,

1. wartościami własnymi macierzy A są liczby λ spełniające równanie det(A − λI) = 0,

2. wektorami własnymi macierzy A odpowiadającymi wartości własnej λ

0

są niezerowe

rozwiązania jednorodnego układu równań (A − λ

0

I)x = 0.

Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego

Definicja. Niech L: U −→ U będzie przekształceniem liniowym. Liczbę λ ∈ IR nazywamy
wartością własną L, jeżeli istnieje niezerowy wektor x ∈ U taki, że L(x) = λx.

Każdy wektor x 6= 0 spełniający tę równość nazywamy wektorem własnym L odpowiadają-
cym wartości własnej λ.

Diagonalizacja macierzy

Definicja. Macierz

A ∈ IR

n×n

nazywamy diagonalizowalną, jeżeli istnieje nieosobliwa

macierz P ∈ IR

n×n

taka, że macierz P

−1

AP jest diagonalna.

Twierdzenie. Macierz A ∈ IR

n×n

jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wektory

własne macierzy A tworza bazę przestrzeni IR

n

.

Wniosek. Macierz diagonalizowalna A spełnia równanie A = PDP

−1

, gdzie D jest ma-

cierza diagonalną, której główną przekątną tworzą wartości własne macierzy A natomiast
odpowiadąjace im wektory własne tworzą kolumny macierzy P.