Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 2

1

Prosta na płaszczyźnie

Równania prostych

1. Równanie kierunkowe prostej l:

y = mx + n.

a) Równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt P

0

= (x

0

, y

0

) i nachylonej

pod kątem α do osi 0X:

y − y

0

= m(x − x

0

),

m = tg α.

b) Równanie prostej przechodzącej przez punkty P

1

= (x

1

, y

1

) i P

2

= (x

2

, y

2

):

y − y

1

=

y

2

− y

1

x

2

− x

1

(x − x

1

).

2. Równanie odcinkowe prostej l odcinającej na osiach 0X i 0Y odcinki (skierowane)

o długościach odpowiednio a i b, gdzie ab 6= 0:

x

a

+

y

b

= 1.

3. Równanie normalne prostej l:

Ax + By + C = 0.

Równanie normalne prostej przechodzącej przez punkt P

0

= (x

0

, y

0

) i prostopadłej do

wektora n = (A, B)

T

6= 0:

A(x − x

0

) + B(y − y

0

) = 0.

4. Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P

1

=

(x

1

, y

1

)

i P

2

= (x

2

, y

2

):

(

x = x

1

+ (x

2

− x

1

)t,

y = y

1

+ (y

2

− y

1

)t,

gdzie

t ∈ IR.

5. Równanie parametryczne (w postaci wektorowej) prostej l przechodzącej przez punkt

P

0

o wektorze wodzącym r

0

i mającej kierunek zadany przez wektor v 6= 0 ma postać:

r = r

0

+ tv,

gdzie

t ∈ IR.

Odległość punktu od prostej

Dla danej prostej

l :

Ax + By + C = 0

gdzie

A

2

+ B

2

> 0

i danego punktu P = (x

0

, y

0

), odległość punktu P od prostej l wyraża się wzorem:

d(P, l) =

|Ax

0

+ By

0

+ C|

√

A

2

+ B

2

.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 2

2

Warunki równoległości prostych

1. Równania normalne:

(

l

1

:

A

1

x + B

1

y + C

1

= 0,

l

2

:

A

2

x + B

2

y + C

2

= 0

są równoległe

⇐⇒

A

1

B

2

− A

2

B

1

= 0.

2. Równania kierunkowe:

(

l

1

:

y = m

1

x + b

1

,

l

2

:

y = m

2

x + b

2

są równoległe

⇐⇒

m

1

= m

2

.

3. Równania parametryczne wektorowe (s, t ∈ IR):

(

l

1

:

r = r

1

+ t v

1

l

2

:

r = r

2

+ s v

2

są równoległe

⇐⇒

v

1

= k v

2

dla pewnego k 6= 0.

Warunki prostopadłości prostych

1. Równania normalne:

(

l

1

:

A

1

x + B

1

y + C

1

= 0

l

2

:

A

2

x + B

2

y + C

2

= 0

są prostopadłe

⇐⇒

A

1

A

2

+ B

1

B

2

= 0.

2. Równania kierunkowe:

(

l

1

:

y = m

1

x + b

1

l

2

:

y = m

2

x + b

2

są prostopadłe

⇐⇒

m

1

m

2

= −1.

3. Równania parametryczne wektorowe (s, t ∈ IR):

(

l

1

:

r = r

1

+ t v

1

l

1

:

r = r

2

+ s v

2

są prostopadłe

⇐⇒

v

1

◦ v

2

= 0.