Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 3

1

Geometria analityczna w IR

3

Wektory

(wzory w układzie prawoskrętnym)

Wektory: i = (1, 0, 0)

T

, j = (0, 1, 0)

T

oraz k = (0, 0, 1)

T

nazywamy wersorami odpowiednio

osi 0X, 0Y, 0Z.

ILOCZYN SKALARNY

Niech u, v ∈ IR

3

, gdzie u = (u

1

, u

2

, u

3

)

T

oraz v = (v

1

, v

2

, v

3

)

T

. Wówczas

u ◦ v = u

1

v

1

+ u

2

v

2

+ u

3

v

3

.

Niech u, v ∈ IR

3

, i niech ϕ będzie kątem między wektorami u i v. Wówczas:

u ◦ v = ||u|| · ||v|| · cos ϕ.

ILOCZYN WEKTOROWY

Niech u i v będą niewspółliniowymi wektorami w IR

3

. Iloczynem wektorowym uporządkowanej

pary wektorów u i v nazywamy wektor w = u × v, który spełnia warunki:

1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u i v;

2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v, tzn.

||w|| = ||u|| · ||v|| · sin ϕ, gdzie ϕ jest kątem między wektorami u i v;

3. orientacja trójki wektorów u, v, w jest zgodna z orientacją układu współrzędnych

0XYZ.

Jeżeli jeden z wektorów u, v jest wektorem zerowym lub jeśli wektory te są współliniowe, to
u × v = 0.

Własności iloczynu wektorowego:

a)

u × v = −v × u;

b)

u × (v + w) = u × v + u × w;

c)

(αu) × v = α(u × v);

d)

u × u = 0.

Składowe wektora w = u × v, gdzie u = (u

1

, u

2

, u

3

)

T

oraz v = (v

1

, v

2

, v

3

)

T

, obliczamy ze

wzoru

u × v =









i

j

k

u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3









=







u

2

u

3

v

2

v

3







i −







u

1

u

3

v

1

v

3







j +







u

1

u

2

v

1

v

2







k.

ILOCZYN MIESZANY

Iloczynem mieszanym wektorów u, v, w ∈ IR

3

nazywamy wartość (u × v) ◦ w.

Niech u = (u

1

, u

2

, u

3

)

T

, v = (v

1

, v

2

, v

3

)

T

oraz w = (w

1

, w

2

, w

3

)

T

. Wówczas:

(u × v) ◦ w = u ◦ (v × w) =









u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3









.

Iloczyn mieszany wektorów u, v, w ∈ IR

3

jest równy (z dokładnością do znaku) objętości

równoległościanu rozpiętego na tych wektorach, tzn. V = |(u × v) ◦ w|.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 3

2

ŚRODEK MASY
Rozważmy układ n punktów materialnych (m

1

, r

1

), (m

2

, r

2

), . . . , (m

n

, r

n

), gdzie r

i

dla 1 ¬

i ¬ n jest wektorem wodzącym punktu materialnego o masie m

i

. Wektor wodzący środka

masy układu punktów materialnych ma postać:

r =

m

1

r

1

+ m

2

r

2

+ . . . + m

n

r

n

m

1

+ m

2

+ . . . + m

n

.

MOMENT SIŁY

Moment siły F przyłożonej w punkcie P, względem punktu S, wyraża się wzorem:

M = F × u,

gdzie u jest wektorem łączącym punkty P i S

(u = ~

P S).

Równania płaszczyzny

1. Równanie normalne

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) o wektorze wodzącym r

0

i

prostopadłej do wektora n = (A, B, C)

T

6= 0 ma postać:

π : (r − r

0

) ◦ n = 0

lub równoważnie

π : A(x − x

0

) + B(y − y

0

) + C(z − z

0

) = 0,

gdzie r = (x, y, z)

T

jest promieniem wodzącym punktów przestrzeni.

2. Równanie ogólne

Każde równanie postaci:

π : Ax + By + Cz + D = 0,

gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyznę. Wektorem normalnym płaszczyzny jest
n = (A, B, C)

T

. Płaszczyzna ta przecina oś 0Z w punkcie z = −

D

C

, o ile C 6= 0.

3. Równanie parametryczne

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) o wektorze wodzącym r

0

,

rozpiętej na wektorach u = (a

1

, b

1

, c

1

)

T

i v = (a

2

, b

2

, c

2

)

T

ma postać:

π :

r = r

0

+ su + tv,

gdzie s, t ∈ IR.

Równanie to przyjmuje postać:

π :











x = x

0

+ sa

1

+ ta

2

,

y = y

0

+ sb

1

+ tb

2

,

z = z

0

+ sc

1

+ tc

2

,

gdzie s, t ∈ IR.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 3

3

4. Równanie odcinkowe

Równanie płaszczyzny π odcinającej na osiach 0X, 0Y, 0Z układu współrzędnych odpowied-
nio odcinki (zorientowane) a, b, c 6= 0 ma postać:

π :

x

a

+

y

b

+

z

c

= 1.

5. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty P

i

(x

i

, y

i

, z

i

),

1 ¬ i ¬ 3, ma postać:

π :











x

y

z

1

x

1

y

1

z

1

1

x

2

y

2

z

2

1

x

3

y

3

z

3

1











= 0.

Równania prostej

1. Równanie kierunkowe

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) i wyznaczonej przez niezerowy

wektor kierunkowy v = (a, b, c)

T

ma postać:

l :

x − x

0

a

=

y − y

0

b

=

z − z

0

c

.

Wektor v nazywamy wektorem kierunkowym prostej.

2. Równanie parametryczne

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) o wektorze wodzącym r

0

i wy-

znaczonej przez niezerowy wektor v = (a, b, c)

T

ma postać:

l :

r = r

0

+ tv,

gdzie t ∈ IR

lub równoważnie

l :











x = x

0

+ at,

y = y

0

+ bt,

z = z

0

+ ct,

gdzie t ∈ IR.

3. Równanie krawędziowe

Prostą l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn

π

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

π

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0,

bądziemy zapisywali w postaci:

l :

(

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0,

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0.

Wektor kierunkowy prostej l ma postać:

v = (A

1

, B

1

, C

1

)

T

× (A

2

, B

2

, C

2

)

T

.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2

- wykład 3

4

Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn

RZUT PROSTOKĄTNY PUNKTU

Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę π nazywamy punkt P

0

tej płaszczyzny speł-

niający warunek:

P P

0

⊥ π.

Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt P

0

tej prostej spełniający

warunek:

P P

0

⊥ l.

ODLEGŁOŚĆ

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:

d(P

0

, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

Odległość między płaszczyznami równoległymi π

1

i π

2

o równaniach

π

1

: Ax + By + Cz + D

1

= 0,

π

2

: Ax + By + Cz + D

2

= 0

wyraża się wzorem:

d(π

1

, π

2

) =

|D

1

− D

2

|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

KĄTY

Kąt nachylenia ϕ prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny π o wektorze normal-
nym n wyraża się wzorem

ϕ = arc sin

|n ◦ v|

||n|| · ||v||

.

Kąt ϕ między prostymi l

1

, l

2

o wektorach kierunkowych v

1

i v

2

wyraża się wzorem

ϕ = arc cos

|v

1

◦ v

2

|

||v

1

|| · ||v

2

||

.

Kąt ϕ między płaszczyznami π

1

i π

2

o wektorach normalnych n

1

i n

2

wyraża się wzorem

ϕ = arc cos

|n

1

◦ n

2

|

||n

1

|| · ||n

2

||

.