semestr 2
- wykład 5
1
Krzywe stożkowe
Okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny położonych w odległości r od punktu 0.
Równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r > 0 ma postać: x 2 + y 2 = r 2 .
Elipsą o ogniskach F 1 , F 2 oraz o dużej osi 2 a, gdzie 2 a
>
2 c
=
|F 1 F 2 |, nazywamy zbiór
punktów płaszczyzny, których suma odległości od ognisk F 1 i F 2 jest stała i równa 2 a.
Równanie elipsy o środku w początku układu współrz¸
ednych i półosiach a > 0 i b > 0 ma postać: x 2
y 2
+
= 1 .
a 2
b 2
|P F 1 | + |P F 2 | = 2 a Hiperbolą o ogniskach F 1 , F 2 oraz o dużej osi 2 a, gdzie 2 a < 2 c = |F 1 F 2 |, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk F 1 i F 2 jest stała i równa 2 a;
| |P F 1 | − |P F 2 | | = 2 a.
Równanie hiperboli o środku w początku układu współrzędnych i półosiach rzeczywistej a > 0 i urojonej b > 0 ma postać:
x 2
y 2
−
= 1 .
a 2
b 2
Zależność między półosiami a, b oraz ogniskow¸
a c ma postać:
a 2 + b 2 = c 2 .
Asymptoty hiperboli maj¸
a równania:
b
b
l : y =
x,
l : y = − x.
a
a
Hiperbolę, dla której a = b nazywamy równoosiową. Jej równanie po obrocie o kąt π wokół punktu 0, 4
przyjmuje postać:
a 2
xy =
,
2
a asymptotami są osie układu współrzędnych.
Parabolą o ognisku w punkcie F i kierownicy k, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska jest równa odległości od kierownicy: |P F | = |P K| = d( P, k).
Równanie paraboli, której ognisko F ma współrzędne ( p , 0), gdzie p 6= 0, a kierownica k ma równanie x = − p 2
2
ma postać:
y 2 = 2 px.
Równania krzywych przesuniętych i obróconych
Niech Γ oznacza zbiór punktów ( x, y) ∈ IR2 spełniających równanie F ( x, y) = 0.
1. Zbiór Γ 0 otrzymany w wyniku przesunięcia zbioru Γ o wektor v = ( a, b) T jest opisany przez równanie: Γ 0 : F ( x − a, y − b) = 0 .
2. Zbiór Γ 00 otrzymany w wyniku obrotu zbioru Γ o kąt α jest opisany przez równanie: Γ 00 : F ( x cos α + y sin α, −x sin α + y cos α) = 0 .