Inżynieria Środowiska; semestr 2
- wykład 2
1
Prosta na płaszczyźnie
Równania prostych
1. Równanie kierunkowe prostej l: y = mx + n.
a) Równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt P 0 = ( x 0 , y 0) i nachylonej pod kątem α do osi 0 X: y − y 0 = m( x − x 0) , m = tg α.
b) Równanie prostej przechodzącej przez punkty P 1 = ( x 1 , y 1) i P 2 = ( x 2 , y 2): y
y − y
2 − y 1
1 =
( x − x 1) .
x 2 − x 1
2. Równanie odcinkowe prostej l odcinającej na osiach 0 X i 0 Y odcinki (skierowane) o długościach odpowiednio a i b, gdzie ab 6= 0: x
y
+
= 1 .
a
b
3. Równanie normalne prostej l: Ax + By + C = 0.
Równanie normalne prostej przechodzącej przez punkt P 0 = ( x 0 , y 0) i prostopadłej do wektora n = ( A, B) T 6= 0: A( x − x 0) + B( y − y 0) = 0 .
4. Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P 1
=
( x 1 , y 1)
i P 2 = ( x 2 , y 2): (
x = x 1 + ( x 2 − x 1) t, gdzie
t ∈ IR .
y = y 1 + ( y 2 − y 1) t, 5. Równanie parametryczne (w postaci wektorowej) prostej l przechodzącej przez punkt P 0 o wektorze wodzącym r0 i mającej kierunek zadany przez wektor v 6= 0 ma postać: r = r0 + t v ,
gdzie
t ∈ IR .
Odległość punktu od prostej
Dla danej prostej
l :
Ax + By + C = 0
gdzie
A 2 + B 2 > 0
i danego punktu P = ( x 0 , y 0), odległość punktu P od prostej l wyraża się wzorem:
|Ax
d
0 + By 0 + C |
( P, l) =
√
.
A 2 + B 2
Inżynieria Środowiska; semestr 2
- wykład 2
2
Warunki równoległości prostych
1. Równania normalne:
(
l 1 :
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , są równoległe
⇐⇒
A
l
1 B 2 − A 2 B 1 = 0 .
2 :
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
2. Równania kierunkowe:
(
l 1 :
y = m 1 x + b 1 , są równoległe
⇐⇒
m
l
1 = m 2 .
2 :
y = m 2 x + b 2
3. Równania parametryczne wektorowe ( s, t ∈ IR): (
l 1 :
r = r1 + t v1
są równoległe
⇐⇒
v
l
1 = k v2
2 :
r = r2 + s v2
dla pewnego k 6= 0 .
Warunki prostopadłości prostych
1. Równania normalne:
(
l 1 :
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
są prostopadłe
⇐⇒
A
l
1 A 2 + B 1 B 2 = 0 .
2 :
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
2. Równania kierunkowe:
(
l 1 :
y = m 1 x + b 1
są prostopadłe
⇐⇒
m
l
1 m 2 = − 1 .
2 :
y = m 2 x + b 2
3. Równania parametryczne wektorowe ( s, t ∈ IR): (
l 1 :
r = r1 + t v1
są prostopadłe
⇐⇒
v
l
1 ◦ v2 = 0 .
1 :
r = r2 + s v2