Inżynieria Środowiska; semestr 2
- wykład 6
1
Pochodne cząstkowe
Niech f ( x, y) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu ( a, b).
Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) funkcji z = f ( x, y) względem zmiennej x w punkcie ( a, b) nazywamy granicę
f ( a + ∆ x, b) − f ( a, b) lim
,
∆ x→ 0
∆ x
o ile granica ta istnieje, i oznaczamy przez
∂f
∂z
f 0 ( a, b) =
=
.
x
∂x
∂x
( a,b)
( a,b)
Ekstremum funkcji dwóch zmiennych Warunek konieczny:
Jeżeli funkcja f ( x, y) ma w punkcie ( x 0 , y 0) ekstremum lokalne oraz ma w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu to:
f 0 ( x
( x
x
0 , y 0) = f 0
y
0 , y 0) = 0 .
Niech:
f 00 ( x
( x
W =
xx
0 , y 0)
f 00
xy
0 , y 0)
= f 00 ( x
( x
( x
xx
0 , y 0) f 00
yy
0 , y 0) − [ f 00
xy
0 , y 0)]2
f 00 ( x
( x
xy
0 , y 0)
f 00
yy
0 , y 0)
Jeżeli f ( x, y) jest funkcją mającą ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu ( x 0 , y 0), taką, że f 0 ( x
( x
x
0 , y 0) = f 0
y
0 , y 0) = 0 , to:
1 ◦ dla W > 0 w ( x 0 , y 0) występuje ekstremum, mianowicie:
– maksimum, jeżeli f 00 ( x xx
0 , y 0) < 0,
– minimum, jeżeli f 00 ( x xx
0 , y 0) > 0; 2 ◦ dla W < 0 nie występuje w ( x 0 , y 0) ekstremum (w ( x 0 , y 0) istnieje punkt siodłowy).
Różniczka zupełna
Niech z = f ( x, y) będzie ciągła wraz z pierwszymi pochodnymi w pewnym otoczeniu punktu ( x, y). Różniczką zupełną funkcji z = f ( x, y) w punkcie ( x, y) dla przyrostów ∆ x = dx i ∆ y = dy nazywamy wyrażenie:
∂z
∂z
∂f
∂f
dz = df =
dx +
dy =
dx +
dy.
∂x
∂y
∂x
∂y
Dla małych przyrostów dx i dy zachodzi wzór:
∆ z = f ( x + ∆ x, y + ∆ y) − f ( x, y) ≈ dz.