Inżynieria Środowiska;

semestr 2 - wykład 8

1

Całka podwójna

Niech W będzie prostokątem a R ⊂ W będzie obszarem ograniczonym krzywą zamkniętą.
Podzielmy prostokąt W na mniejsze prostokąty i niech π

n

= {R

1

, R

2

, . . . , R

n

} będzie zbiorem

prostokątów częściowych takich, że R

i

⊂ R, ∆S

i

oznacza pole R

i

, a δ

n

oznacza najdłuższą

przekątną R

i

⊂ π

n

; i = 1, 2, . . . , n.

Niech funkcja f (x, y) będzie określona na R. Wówczas sumą Riemanna funkcji f dla
podziału π

n

jest dowolna suma postaci

S

n

=

n

X

i=1

f (x

i

, y

i

)∆S

i

,

gdzie (x

i

, y

i

) ∈ R

i

.

Niech f będzie funkcją dwóch zmiennych określoną na obszarze R.

Całką podwójną z funkcji f po obszarze R, oznaczoną symbolem

Z Z

R

f (x, y) dS, jest

Z Z

R

f (x, y) dS =

lim

max δn→0

n→∞

n

X

i=1

f (x

i

, y

i

)∆S

i

,

o ile granica ta istnieje.
Funkcję f nazywamy wówczas całkowalną w obszarze R.

Własności całki podwójnej:

1

o

Funkcja ciągła w obszarze R jest całkowalna w R.

2

o

Z Z

R

dS = S, gdzie S jest polem obszaru R.

3

o

f (x, y) ­ 0 ∀(x, y) ∈ R =⇒

Z Z

R

f (x, y)dS = V ,

V - objętość bryły cylindrycznej o podstawie R i ograniczonej z góry płatem powierzchni

z = f (x, y).

4

o

Z Z

R

αf (x, y)dS = α

Z Z

R

f (x, y)dS.

5

o

Z Z

R

[f (x, y) + g(x, y)]dS =

Z Z

R

f (x, y)dS +

Z Z

R

g(x, y) dS.

6

o

R = R

1

∪ R

2

∧ R

1

∩ R

2

= ∅ =⇒

Z Z

R

f (x, y)dS =

Z Z

R

1

f (x, y)dS +

Z Z

R

2

f (x, y)dS.

7

o

f (x, y) ­ 0 ∀(x, y) ∈ R =⇒

Z Z

R

f (x, y) dS ­ 0.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2 - wykład 8

2

Obliczanie całki podwójnej

1. R - prostokąt: R = {(x, y) : x ∈ [a, b] ∧ y ∈ [c, d]}

Z Z

R

f (x, y) dS =

Z

b

a

"

Z

d

c

f (x, y) dy

#

dx.

2. R - obszar normalny względem osi OX: R = {(x, y) : x ∈ [a, b] ∧ y ∈ [g

1

(x), g

2

(x)]}

Z Z

R

f (x, y) dS =

Z

b

a

"

Z

g

2

(x)

g

1

(x)

f (x, y) dy

#

dx.

3. R - obszar normalny względem osi OY : R = {(x, y) : x ∈ [h

1

(y), h

2

(y)] ∧ y ∈ [c, d]}

Z Z

R

f (x, y) dS =

Z

d

c

"

Z

h

2

(y)

h

1

(y)

f (x, y) dx

#

dy.

Zastosowania całki podwójnej

ρ(x, y) - gęstość powierzchniowa obszaru R:

1. M - masa obszaru R:

M =

Z Z

R

ρ(x, y) dS.

2. M

x

i M

y

- momenty statyczne obszaru R względem osi 0X i 0Y :

M

x

=

Z Z

R

yρ(x, y) dS

M

y

=

Z Z

R

xρ(x, y) dS.

3. Środek ciężkości (¯

x, ¯

y) obszaru R:

¯

x =

M

y

M

,

¯

y =

M

x

M

.

Inżynieria Środowiska;

semestr 2 - wykład 8

3

Zamiana zmiennych w całce podwójnej

Niech odwzorowanie T : x(u, v), y(u, v) przekształca wzajemnie jednoznacznie obszar G w
obszar R. Wówczas:

Z Z

R

f (x, y) dx dy =

Z Z

G

f [x(u, v), y(u, v)]|J | du dv,

gdzie J , jakobian przekształcenia T , jest określony wzorem

J =











∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v











.

Współrzędne biegunowe

Jeżeli T : x = ρ cos ϑ, y = ρ sin ϑ, wówczas jakobian przekształcenia T wynosi

J =












∂x

∂ρ

∂x

∂ϑ

∂y

∂ρ

∂y

∂ϑ












=







cos ϑ −ρ sin ϑ

sin ϑ

ρ cos ϑ







= ρ cos

2

ϑ + ρ sin

2

ϑ = ρ.