Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -1-
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
metodą sił
1. Rama
Dla układu pokazanego poniŜej naleŜy:
-
Oblicz i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obciąŜenia,
wpływu temperatury, osiadania podpór.
-
Po wyznaczeniu sił wewnętrznych naleŜy wykonać sprawdzenie kinematyczne
-
Obliczyć zaznaczone przemieszczenia uogólnione
1.1 Rama obciąŜona tylko obciąŜeniem zewnętrznym
Układ statycznie niewyznaczalny:
Układ jest wewnętrznie, trzykrotnie statycznie niewyznaczalny. SSN = 3
Politechnika Poznańska
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -2-
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
0
1
3
13
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
P
N
T
M
δ
δ
δ
δ
0
2
3
23
2
22
1
21
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
P
N
T
M
δ
δ
δ
δ
0
3
3
33
2
32
1
31
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
P
N
T
M
δ
δ
δ
δ
Wyznaczenie przemieszczeń (
ik
δ
)
Przy wyznaczaniu (
ik
δ
) uwzględniamy tylko wpływ momentów przekrojowych, obliczenia
dokonujemy za pomocą wzoru:
∑∫
=
pr s
k
i
ik
ds
EI
M
M
δ
Stan M
1
= 1
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -3-
Stan T
2
= 1
Stan N
3
= 1
Stan P
∑∫
=
pr s
k
i
ik
ds
EI
M
M
δ
4
1
30600cm
I
=
- I220
4
2
42500cm
I
=
- I240
1
2
2
1
72
,
0
72
,
0
EI
EI
I
I
=
⇒
=
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -4-
2
1
2
2
1
2
1
1
11
3
1
20
6
12
6
)
6
1
(
2
6
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
=
+
=
+
⋅
+
=
=
∑∫
δ
(
)
0
)
3
3
5
,
0
3
3
5
,
0
(
1
)
3
3
5
,
0
3
3
5
,
0
(
1
9
3
9
3
1
2
2
1
2
1
12
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
=
∑∫
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
δ
(
)
2
2
1
2
1
3
1
13
5
,
30
18
9
)
6
3
(
1
3
3
5
,
0
3
5
,
0
3
1
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
−
=
−
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
=
∑∫
δ
(
)
0
)
3
3
3
5
,
0
3
3
3
5
,
0
(
1
3
3
3
5
,
0
3
3
5
,
0
3
1
2
1
3
2
23
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
=
∑ ∫
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
δ
(
)
2
2
1
2
1
3
2
22
111
36
54
)
3
)
3
/
2
(
3
3
5
,
0
(
4
3
3
3
3
3
3
1
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
=
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
=
∑∫
δ
(
)
2
1
2
1
2
3
3
33
79
18
54
)
3
)
3
/
2
(
3
3
5
,
0
(
2
3
3
3
3
6
3
1
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
=
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
=
∑∫
δ
2
1
2
1
2
2
2
1
1
474
108
324
)
1
2
3
18
(
1
3
8
3
4
)
3
/
2
(
2
3
18
5
,
0
3
18
5
,
0
6
8
6
10
)
3
/
2
(
6
18
1
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
P
P
−
=
+
−
=
⋅
⋅
⋅
−
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
=
∑∫
δ
(
)
0
3
3
18
3
3
18
1
)
3
5
,
0
3
8
3
4
)
3
/
2
(
)
3
/
2
(
3
3
18
5
,
0
3
5
,
0
3
8
3
4
)
3
/
2
(
3
)
3
/
2
(
3
18
5
,
0
(
1
5
,
0
3
8
3
10
)
3
/
2
(
3
3
3
18
5
,
0
5
,
0
3
8
3
10
)
3
/
2
(
3
5
,
0
3
18
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
=
∑∫
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
P
P
δ
(
)
2
1
2
2
2
1
3
3
1089
162
864
)
3
)
3
/
2
(
6
8
6
10
1
3
6
18
(
1
2
3
3
18
5
,
0
1
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
P
P
=
+
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
∑∫
δ
Rozwiązanie równań kanonicznych:
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
0
1089
79
0
5
,
30
0
0
0
111
0
0
474
5
,
30
0
)
3
(
,
20
3
2
1
3
2
1
3
2
1
N
T
M
N
T
M
N
T
M
kN
N
kN
T
kNm
M
3684
,
11
0
2588
,
6
3
2
1
−
=
=
=
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -5-
Wykres Momentów rzeczywistych:
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ statyczny (podstawowy)
8
8
6
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
0
10
759
,
1
10
42500
10
205
)
3
(
001533
,
0
)
3
(
001533
,
0
261
,
44
5528
,
1
816
,
45
8684
,
31
5528
,
1
816
,
45
)
2
3
)
364
,
22
7412
,
11
(
5
,
0
(
1
)
6
8
6
4
)
3
/
2
(
1
6
7412
,
11
(
1
1
6
8
6
10
)
3
/
2
(
)
1
(
364
,
22
6
1
−
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
−
−
=
−
−
=
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
=
=
∑∫
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
pr s
n
k
δ
[rad]
Błąd procentowy:
%
334
,
0
%
100
816
,
45
)
3
(
001533
,
0
=
⋅
Obliczenia uwaŜa się za poprawne
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -6-
Wykresy sił tnących i normalnych:
1.2 Rama obciąŜona tylko zmianą temperatury
Układ statycznie niewyznaczalny:
Układ jest wewnętrznie, trzykrotnie statycznie niewyznaczalny. SSN = 3
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -7-
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
0
1
3
13
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
T
N
T
M
δ
δ
δ
δ
0
2
3
23
2
22
1
21
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
T
N
T
M
δ
δ
δ
δ
0
3
3
33
2
32
1
31
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
T
N
T
M
δ
δ
δ
δ
Wartości
ik
δ
zostały wyznaczone w poprzedniej części projektu.
Wyznaczenie przemieszczeń (
iT
δ
)
Przy wyznaczaniu (
iT
δ
) uŜywamy następującego wzoru:
∑∫
∑∫
⋅
⋅
⋅
+
⋅
∆
⋅
⋅
=
pr s
t
i
pr s
t
i
iT
ds
t
N
ds
h
t
M
0
α
α
δ
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -8-
Stan M
1
= 1
Stan T
2
= 1
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -9-
Stan N
3
= 1
Parametry temperaturowe dla układu:
∑∫
∑∫
⋅
⋅
⋅
+
⋅
∆
⋅
⋅
=
pr s
t
i
pr s
t
i
iT
ds
t
N
ds
h
t
M
0
α
α
δ
t
t
pr s
t
pr s
t
T
ds
t
N
ds
h
t
M
α
α
α
α
δ
9091
,
965
,
1
22
,
0
)
40
(
1
6
2
24
,
0
5
1
6
24
,
0
)
40
(
1
6
0
1
1
1
−
=
=
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
∆
⋅
⋅
=
∑∫
∑∫
(
)
0
25
1
3
)
25
(
1
3
22
,
0
)
40
(
3
3
22
,
0
40
3
3
24
,
0
5
3
3
5
,
0
24
,
0
)
5
(
3
3
5
,
0
0
2
2
2
=
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
∆
⋅
⋅
=
∑∫
∑∫
t
t
pr s
t
pr s
t
T
ds
t
N
ds
h
t
M
α
α
α
α
δ
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -10-
(
)
t
t
t
pr s
t
pr s
t
T
ds
t
N
ds
h
t
M
α
α
α
α
α
δ
36
,
4501
)
25
(
1
6
5
,
2
1
6
22
,
0
40
3
3
5
,
0
22
,
0
40
3
3
5
,
0
24
,
0
40
6
3
0
3
3
3
=
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
∆
⋅
⋅
=
∑∫
∑∫
4
8
6
1
87125
10
42500
10
205
kPam
EI
=
⋅
⋅
⋅
=
−
1
000012
,
0
−
=
C
o
t
α
174250
61
0
10
06743
,
9
10
27403
,
1
261375
61
31
13
12
21
4
33
3
22
11
−
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
=
−
−
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
054016
,
0
0
023591
,
0
0
3
2
1
32
23
=
=
−
=
=
=
T
T
T
δ
δ
δ
δ
δ
Rozwiązanie równań kanonicznych:
=
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
+
⋅
+
⋅
−
−
0
054016
,
0
10
06743
,
9
0
174250
61
0
0
0
10
27403
,
11
0
0
023591
,
0
174250
61
0
261375
61
3
4
2
1
3
2
3
1
3
2
1
N
T
M
N
T
M
N
T
M
kN
N
kN
T
kNm
M
8149
,
48
0
8612
,
27
3
2
1
−
=
=
=
Wykres momentów rzeczywistych:
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -11-
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ statyczny (podstawowy)
(
)
rad
EI
EI
EI
EI
ds
t
N
ds
h
t
M
ds
EI
M
M
t
t
pr s
t
pr s
t
pr s
n
k
9
1
2
1
2
0
0
0
0
10
5696
,
8
023590909
,
0
0235909
,
0
9091
,
1965
4992
,
606
9972
,
1212
24
,
0
5
1
6
22
,
0
40
3
1
2
24
,
0
40
6
1
))
2
(
3
)
8614
,
27
305
,
174
(
5
,
0
(
1
1
6
8612
,
27
6
)
1
(
305
,
174
1
−
⋅
=
=
+
−
=
+
−
−
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
∆
⋅
⋅
+
=
∑∫
∑∫
∑∫
α
α
α
α
δ
Błąd procentowy:
%
10
632
,
3
%
100
0235909
,
0
10
5696
,
8
5
9
−
−
⋅
=
⋅
⋅
Obliczenia uwaŜa się za poprawne.
Wykresy sił tnących i normalnych:
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -12-
1.3 Rama obciąŜona tylko osiadaniem podpór
Osiadanie podpór nie wywoła sił wewnętrznych w ramie. Zewnętrznie rama jest statycznie
wyznaczalna, moŜną ją traktować jak jedną tarcze, podpartą swobodnie. W wyniku osiadania
podpór rama ulegnie tylko przemieszczeniu (obrót całej ramy, przesuniecie poziome i
pionowe).
1.4 Wyznaczenie przemieszczenia uogólnionego:
Wyznaczenie przemieszczenia pionowego punktu K znajdującego się w środku rozpiętości na
ryglu górnym.
W obliczeniach przemieszczenia uwzględniono tylko wpływ sił wewnętrznych (bez N i T)
Korzystając z twierdzenia redukcyjnego wzór za pomocą którego moŜna wyliczyć
przemieszenie uogólnione przyjmuje następującą postać:
∑∫
=
pr s
n
k
ds
EI
M
M
P
0
)
(
δ
Wykres momentów rzeczywistych:
Wykres momentów wirtualnych:
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -13-
m
EI
EI
ds
EI
M
M
P
pr s
n
k
0007817
,
0
87125
112
,
68
112
,
68
5
,
1
5
,
0
3
8
3
10
)
3
/
2
(
5
,
1
)
3
/
2
(
3
636
,
22
5
,
0
5
,
1
)
3
/
1
(
3
364
,
22
5
,
0
2
)
(
2
2
2
0
=
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
=
∑∫
δ
Przemieszenie uogólnione (
k
δ
) wynosi: 0,0007817m
2. Kratownica
Dla układu pokazanego poniŜej naleŜy:
-
Obliczyć i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obciąŜenia.
-
Po wyznaczeniu sił wewnętrznych naleŜy wykonać sprawdzenie kinematyczne
Układ statycznie niewyznaczalny:
Parametry przekrojów:
Pas górny – 1 EA
0
Pas dolny – 1 EA
0
KrzyŜulce – 0,5 EA
0
Słupki – 0,8 EA
0
Układ jest zewnętrznie i wewnętrznie jednokrotnie niewyznaczalny: SSN = 2
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -14-
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
0
1
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
P
X
X
δ
δ
δ
0
2
2
22
1
21
=
+
⋅
+
⋅
P
X
X
δ
δ
δ
Wyznaczenie przemieszczeń (
ik
δ
)
Przy wyznaczaniu (
ik
δ
) korzystamy ze wzoru:
∑
=
pr
k
i
ik
l
EA
N
N
δ
Stan X
1
=1
5
/
4
sin
=
α
5
/
3
cos
=
α
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -15-
Stan X
2
=1
Układ jest symetryczny, siły w prętach w jednej części kratownicy są równe odpowiednim
siłom w prętach w drugiej części kratownicy. Z tego względu obliczenia dokonane zostaną
dla połowy kratownicy.
Stan P
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -16-
Wyznaczenie przemieszczeń
ik
δ
wykonano w tabeli poniŜej:
EA
EA
EA
EA
EA
P
P
/
2
,
671
/
25
,
89
/
92
,
12
/
18
,
28
/
56
,
28
2
1
12
21
22
11
−
=
−
=
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Rozwiązanie równań kanonicznych metody sił
25
,
89
92
,
12
56
,
28
2
1
=
⋅
+
⋅
X
X
2
,
671
18
,
28
92
,
12
2
1
=
⋅
+
⋅
X
X
kN
X
65575
,
9
1
−
=
kN
X
2413
,
28
2
=
Wartości w kolumnie N
(n)
w powyŜszej tabeli reprezentują wartości rzeczywistych sił
normalnych w kratownicy. Wyznaczono je za pomocą zasady superpozycji ze wzoru:
)
(
2
2
1
1
n
P
N
N
X
N
X
N
=
+
⋅
+
⋅
Nr
pręta
l [m]
EA
l
EA
m
N
P
[kN] N
1
[-]
N
2
[-]
l
EA
N
N
1
1
EA
m
l
EA
N
N
2
2
EA
m
l
EA
N
N
2
1
EA
m
l
EA
N
N
P
1
EA
mkN
l
EA
N
N
P
2
EA
mkN
N
(n)
[kN]
1
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3
3
-18,75
-0,6
0,375
1,08
0,421875
-0,675
33,75
-21,0938
-2,36606
3
3
3
-26,25
0,375
0
0,421875
0
0
-29,5313
-15,6595
4
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
5
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
6
5
10
-31,25
0,625
0
3,90625
0
0
-195,313
-13,5992
7
4
5
5
-0,8
-0,5
3,2
1,25
2
-20
-12,5
-1,39605
8
5
10
-6,25
1
0,625
10
3,90625
6,25
-62,5
-39,0625
1,745063
9
4
5
0
-0,8
-1
3,2
5
4
0
0
-20,5167
10
5
10
6,25
0,625
0
3,90625
0
0
39,0625
23,90081
11
4
5
-5
-0,5
0
1,25
0
0
12,5
-19,1207
12
5
10
-43,75
0,625
0
3,90625
0
0
-273,438
-26,0992
13
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
14
3
3
18,75
-0,375
0
0,421875
0
0
-21,0938
8,159513
15
3
3
22,5
-0,6
-0,75
1,08
1,6875
1,35
-40,5
-50,625
7,112475
16
3
3
22,5
-0,75
0
1,6875
0
0
-50,625
1,319025
17
3
3
26,25
-0,375
0
0,421875
0
0
-29,5313
15,65951
18
5
10
0
1
0
10
0
0
0
0
-9,65575
28,56/EA 28,18/EA
12,92/EA
-89,25/EA
-671,2/EA
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -17-
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ podstawowy przyjmujemy taki sam jak w obliczeniach powyŜej, jako przemieszczenie
obieramy przemieszczenie poziome punktu znajdującego się nad środkową podporą. Wartość
sił w prętach równa się wartości sił w stanie N
2
= 1.
∑ ∫
=
pr
K
n
ds
EA
N
N
)
(
δ
Sprawdzenia dokonano w tabeli poniŜej:
N
(n)
[kN]
N
K
=N
2
[-]
l
EA
N
N
K
n)
(
EA
mkN
0
0
0
-2,36606
0,375
-2,66182
-15,6595
0,375
-17,617
0
0
0
0
0
0
-13,5992
0,625
-84,9949
-1,39605
-0,5
3,490125
1,745063
0,625
10,90664
-20,5167
-1
102,5835
23,90081
0,625
149,3801
-19,1207
-0,5
47,80163
-26,0992
0,625
-163,12
0
0
0
8,159513
-0,375
-9,17945
7,112475
-0,75
-16,0031
1,319025
-0,75
-2,96781
15,65951
-0,375
-17,617
-9,65575
0
0
0,001075/EA
Błąd procentowy:
%
10
196
,
7
%
100
3801
,
149
001075
,
0
4
−
⋅
=
⋅
Obliczenia uwaŜa się za poprawne.
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -18-
3. Łuk
Dla układu pokazanego poniŜej naleŜy:
-
Obliczyć i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obciąŜenia.
-
Po wyznaczeniu sił wewnętrznych naleŜy wykonać sprawdzenie kinematyczne
Układ statyczny:
Parametry przekrojów:
6
=
EI
EA
Układ podstawowy:
Równania kanoniczne metody sił:
0
1
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
P
X
X
δ
δ
δ
0
2
2
22
1
21
=
+
⋅
+
⋅
P
X
X
δ
δ
δ
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -19-
Parametry geometryczne:
Równanie łuku parabolicznego:
)
(
4
2
x
l
x
l
f
y
−
=
m
f
5
=
m
l
16
=
2
078125
,
0
25
,
1
x
x
y
−
=
m
y
m
x
6875
,
4
6
=
⇒
=
m
y
m
x
1
84458
,
0
=
⇒
=
Wyznaczenie przemieszczeń (
ik
δ
)
Przy wyznaczaniu (
ik
δ
) uwzględniamy tylko wpływ momentów przekrojowych, siłę
normalną uwzględniamy tylko w ściągu, który wykonano z mniejszego przekroju niŜ łuk,
obliczenia dokonujemy za pomocą wzoru:
∫
∑∫
+
=
s
k
i
pr s
k
i
ik
ds
EA
N
N
ds
EI
M
M
δ
Wzór ten jest słuszny we współrzędnych krzywoliniowych. Chcąc ułatwić dalsze obliczenia
przechodzimy na współrzędne prostoliniowe XY gdzie początek układu znajduje się w
punkcie lewej podpory. Wzór powyŜszy przyjmuje następującą postać:
∫
∑∫
+
=
dx
EA
N
N
dx
EI
M
M
k
i
pr
k
i
ik
ϕ
δ
cos
−
ϕ
kąt nachylenia stycznej do paraboli w danym punkcie do poziomu
Stan X
1
= 1
Równanie momentu:
]
[m
x
M
=
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -20-
Stan X
2
= 1
Równania momentów:
]
[
0
1
;
0
m
M
y
=
⇒
∈
]
[
1
4
;
1
m
y
M
y
−
=
⇒
∈
Stan P
Równania momentów:
]
[
2
10
6
;
0
2
kNm
x
M
x
−
=
⇒
∈
]
)[
3
(
60
10
;
6
kNm
x
M
y
−
−
=
⇒
∈
Wyznaczenie kąta
ϕ
2
078125
,
0
25
,
1
x
x
y
−
=
ϕ
tg
x
dx
dy
=
+
−
=
25
,
1
156255
,
0
P
iot
r ś
uc
hn
ie
w
ic
z gr
.3K
B
I – O
b
li
cz
ani
e ukł
adów
s
ta
ty
cz
ni
e n
ie
w
yz
na
cz
al
nyc
h -
21
-
D
al
sz
e o
b
li
cz
eni
a
p
rz
em
ie
sz
cz
eń
p
rz
ep
row
adz
on
o w
p
oni
Ŝs
ze
j t
ab
el
i:
X
[
m
]
Y
[
m
]
d
y
/d
x
[
-]
ϕ
[
ra
d]
c
o
s
(
ϕ
)
[-
]
M
1
[m
]
M
2
[m
]
M
P
[k
N
m
]
M
1
M
1
/c
o
s
(
ϕ
)
M
2
M
2
/c
o
s
(
ϕ
)
M
1
M
2
/c
o
s
(f
i)
M
1
M
P
/c
o
s
(
ϕ
)
M
2
M
P
/c
o
s
(
ϕ
)
0
0
1
,2
5
0
,8
9
6
0
5
5
0
,6
2
4
6
9
5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
,1
7
1
8
7
5
1
,0
9
3
7
5
0
,8
3
0
1
4
4
0
,6
7
4
7
6
9
1
-0
,1
7
1
8
8
-5
1
,4
8
1
9
8
8
2
1
0
,0
4
3
7
7
9
4
4
-0
,2
5
4
7
1
6
7
2
-7
,4
0
9
9
4
1
0
6
1
,2
7
3
5
8
3
6
2
2
2
,1
8
7
5
0
,9
3
7
5
0
,7
5
3
1
5
1
0
,7
2
9
5
3
7
2
-1
,1
8
7
5
-2
0
5
,4
8
2
9
2
8
0
5
1
,9
3
2
9
4
6
3
1
-3
,2
5
5
4
8
8
5
3
-5
4
,8
2
9
2
8
0
5
3
2
,5
5
4
8
8
5
3
3
3
,0
4
6
8
7
5
0
,7
8
1
2
5
0
,6
6
3
2
0
3
0
,7
8
8
0
2
4
3
-2
,0
4
6
8
8
-4
5
1
1
,4
2
0
9
6
6
5
5
,3
1
6
7
1
0
2
5
-7
,7
9
2
4
3
0
2
9
-1
7
1
,3
1
4
4
9
8
1
1
6
,8
8
6
4
5
4
4
4
3
,7
5
0
,6
2
5
0
,5
5
8
5
9
9
0
,8
4
7
9
9
8
4
-2
,7
5
-8
0
1
8
,8
6
7
9
6
2
3
8
,9
1
8
0
6
0
2
9
-1
2
,9
7
1
7
2
4
1
-3
7
7
,3
5
9
2
4
5
2
5
9
,4
3
4
4
8
1
1
5
4
,2
9
6
8
7
5
0
,4
6
8
7
5
0
,4
3
8
3
3
7
0
,9
0
5
4
5
9
5
-3
,2
9
6
8
8
-1
2
5
2
7
,6
1
0
3
0
7
9
1
2
,0
0
4
2
8
2
4
-1
8
,2
0
5
5
4
6
8
-6
9
0
,2
5
7
6
9
7
4
5
5
,1
3
8
6
6
9
1
6
4
,6
8
7
5
0
,3
1
2
5
0
,3
0
2
8
8
5
0
,9
5
4
4
8
6
-3
,6
8
7
5
-1
8
0
3
7
,7
1
6
8
7
2
9
1
4
,2
4
6
1
4
0
9
-2
3
,1
8
0
1
6
1
5
-1
1
3
1
,5
0
6
1
9
6
9
5
,4
0
4
8
4
3
8
7
4
,9
2
1
8
7
5
0
,1
5
6
2
5
0
,1
5
4
9
9
7
0
,9
8
8
0
1
2
7
-3
,9
2
1
8
8
-2
4
0
4
9
,5
9
4
5
3
7
6
1
5
,5
6
7
7
2
8
9
-2
7
,7
8
6
2
2
5
3
-1
7
0
0
,3
8
4
1
5
9
5
2
,6
7
0
5
8
2
8
8
5
0
0
1
8
-4
-3
0
0
6
4
1
6
-3
2
-2
4
0
0
1
2
0
0
9
4
,9
2
1
8
7
5
-0
,1
5
6
2
5
-0
,1
5
5
0
,9
8
8
0
1
2
9
-3
,9
2
1
8
8
-3
6
0
8
1
,9
8
2
8
0
7
1
1
5
,5
6
7
7
2
8
9
-3
5
,7
2
5
1
4
6
9
-3
2
7
9
,3
1
2
2
8
1
4
2
9
,0
0
5
8
7
4
1
0
4
,6
8
7
5
-0
,3
1
2
5
-0
,3
0
2
8
8
0
,9
5
4
4
8
1
0
-3
,6
8
7
5
-4
2
0
1
0
4
,7
6
9
0
9
1
1
4
,2
4
6
1
4
0
9
-3
8
,6
3
3
6
0
2
4
-4
4
0
0
,3
0
1
8
4
1
6
2
2
,6
1
1
3
0
2
1
1
4
,2
9
6
8
7
5
-0
,4
6
8
7
5
-0
,4
3
8
3
4
0
,9
0
5
4
5
9
1
1
-3
,2
9
6
8
8
-4
8
0
1
3
3
,6
3
3
8
9
1
2
,0
0
4
2
8
2
4
-4
0
,0
5
2
2
0
2
9
-5
8
3
1
,2
9
7
0
3
1
7
4
7
,7
3
2
4
8
9
1
2
3
,7
5
-0
,6
2
5
-0
,5
5
8
6
0
,8
4
7
9
9
8
1
2
-2
,7
5
-5
4
0
1
6
9
,8
1
1
6
6
8
,9
1
8
0
6
0
2
9
-3
8
,9
1
5
1
7
2
2
-7
6
4
1
,5
2
4
7
2
1
7
5
1
,1
8
2
7
4
8
1
3
3
,0
4
6
8
7
5
-0
,7
8
1
2
5
-0
,6
6
3
2
0
,7
8
8
0
2
4
1
3
-2
,0
4
6
8
8
-6
0
0
2
1
4
,4
6
0
3
7
2
5
,3
1
6
7
1
0
2
5
-3
3
,7
6
7
1
9
7
9
-9
8
9
8
,1
7
1
1
5
5
8
,4
8
6
0
5
8
1
4
2
,1
8
7
5
-0
,9
3
7
5
-0
,7
5
3
1
5
0
,7
2
9
5
3
7
1
4
-1
,1
8
7
5
-6
6
0
2
6
8
,6
6
3
4
7
4
1
,9
3
2
9
4
6
3
1
-2
2
,7
8
8
4
1
9
7
-1
2
6
6
5
,5
6
3
8
1
0
7
4
,3
1
1
2
1
5
1
5
1
,1
7
1
8
7
5
-1
,0
9
3
7
5
-0
,8
3
0
1
4
0
,6
7
4
7
6
9
1
5
-0
,1
7
1
8
8
-7
2
0
3
3
3
,4
4
7
3
4
8
0
,0
4
3
7
7
9
4
4
-3
,8
2
0
7
5
0
8
6
-1
6
0
0
5
,4
7
2
7
1
8
3
,3
9
6
0
4
1
3
1
6
0
-1
,2
5
-0
,8
9
6
0
6
0
,6
2
4
6
9
5
1
6
0
-7
8
0
4
0
9
,7
9
9
9
5
1
0
0
-1
9
9
7
7
,7
4
7
6
0
11
δ
EI
22
δ
EI
12
δ
EI
P
EI
1
δ
P
EI
2
δ
tr
a
p
e
z
y
1
7
2
7
,8
4
4
1
8
1
3
2
,0
5
9
2
9
7
-3
3
9
,1
4
8
7
8
6
-7
6
2
4
3
,5
7
8
2
1
3
0
8
0
,0
8
9
2
3
s
im
p
s
o
n
1
8
6
0
,6
7
6
3
9
1
5
0
,9
4
4
3
8
7
-3
8
9
,2
1
3
4
7
2
-8
1
7
5
1
,8
6
7
4
1
5
1
7
9
,9
3
4
3
9
D
o ot
rz
ym
anyc
h w
yni
ków
ik
δ
na
le
Ŝy d
oda
ć w
p
ływ
s
ił
y nor
m
al
n
ej
w
ś
ci
ągu.
W
ar
toś
ć s
ił
y
nor
m
al
ne
j w
s
ci
ągu m
a w
p
ływ
j
edyni
e na
11
δ
.
EI
EA
6
=
A
w
ię
c w
ar
toś
ć
11
δ
na
le
Ŝy
zw
ię
ks
zyć
o
EI
dx
EI
N
N
6
1
6
1
1
11
=
=
∫
δ
.
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -22-
Wartości przemieszczeń uzyskanych za pomocą metody Trapezów:
EA
EA
EA
EA
EA
P
P
/
0892
,
13080
/
5782
,
76243
/
14879
,
339
/
059297
,
132
/
01085
,
1728
2
1
12
21
22
11
=
−
=
−
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Układ równań kanonicznych metody sił (metoda Trapezów):
0
5782
,
76243
14879
,
339
01085
,
1728
2
1
=
−
⋅
−
⋅
X
X
0
0892
,
13080
059297
,
132
14879
,
339
2
1
=
+
⋅
+
⋅
−
X
X
Rozwiązanie układu równań:
kN
X
7674
,
49
1
=
kN
X
7634
,
28
2
=
Wartości przemieszczeń uzyskanych za pomocą metody Simpsona:
EA
EA
EA
EA
EA
P
P
/
9344
,
15179
/
8674
,
81751
/
21347
,
389
/
944387
,
150
/
01085
,
1860
2
1
12
21
22
11
=
−
=
−
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Układ równań kanonicznych metody sił (metoda Simpsona):
0
8674
,
81751
21347
,
389
01085
,
1860
2
1
=
−
⋅
−
⋅
X
X
0
9344
,
15179
944389
,
150
21347
,
389
2
1
=
+
⋅
+
⋅
−
X
X
Rozwiązanie układu równań:
kN
X
7057
,
49
1
=
kN
X
6008
,
27
2
=
Przy wyznaczaniu momentów rzeczywistych posłuŜono się zasadą superpozycji. Wartości
momentów wyznaczono ze wzoru:
)
(
2
2
1
1
n
P
M
M
X
M
X
M
=
+
⋅
+
⋅
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -23-
Wartości momentów rzeczywistych wyznaczonych obiema metodami przedstawiono poniŜej:
x [m]
y [m]
M
n
(Trapezy)
M
n
(Sipmson)
0
0
0
0
1
1,171875 39,82369063 39,9618125
2
2,1875
45,3782625
46,63545
3
3,046875 45,42711563 47,6217125
4
3,75
39,97025
42,9206
5
4,296875 29,00766563 32,5321125
6
4,6875
12,5393625
16,45625
7
4,921875 -4,434659375 -0,3069875
8
5
-16,9144
-12,7576
9
4,921875 -24,89985938 -20,8955875
10
4,6875
-28,3910375 -24,72095
11 4,296875 -27,38793438 -24,2336875
12
3,75
-21,89055
-19,4338
13 3,046875 -11,89888438 -10,3212875
14
2,1875
2,5870625
3,10385
15 1,171875 21,56729063 20,8416125
16
0
16,2784
15,2912
Sprawdzenie kinematyczne:
Układ podstawowy wraz z wykresem momentów wirtualnych:
Równanie momentów:
]
[
16
1
−
=
x
M
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -24-
Obliczenia sprawdzające wykonano w tabeli:
x
y
M
n
(Trapezy)
M
n
(Sipmson)
M
M
n
M/cos(
ϕ
) (t) M
n
M/cos(
ϕ
) (s)
0
0
0
0
0
0
0
1
1,171875 39,82369063 39,9618125
0,0625
3,688640006
3,701433443
2
2,1875
45,3782625
46,63545
0,125
7,775179635
7,990588029
3
3,046875 45,42711563 47,6217125
0,1875
10,80878265
11,33095802
4
3,75
39,97025
42,9206
0,25
11,78370576
12,65350408
5
4,296875 29,00766563 32,5321125
0,3125
10,01138224
11,22777053
6
4,6875
12,5393625
16,45625
0,375
4,926516057
6,465398848
7
4,921875 -4,434659375 -0,3069875
0,4375
-1,963704297
-0,135936635
8
5
-16,9144
-12,7576
0,5
-8,4572
-6,3788
9
4,921875 -24,89985938 -20,8955875 0,5625
-14,17611367
-11,89638139
10
4,6875
-28,3910375 -24,72095
0,625
-18,59064501
-16,18744668
11 4,296875 -27,38793438 -24,2336875 0,6875
-20,79520576
-18,40023826
12
3,75
-21,89055
-19,4338
0,75
-19,36078459
-17,18794711
13 3,046875 -11,89888438 -10,3212875 0,8125
-12,26845752
-10,64186131
14
2,1875
2,5870625
3,10385
0,875
3,102898214
3,722728237
15 1,171875 21,56729063 20,8416125
0,9375
29,96481608
28,95658505
16
0
16,2784
15,2912
1
26,0581544
24,47786333
δ
EI
(t)
-0,521113014
δ
EI
(s)
-0,515518258
Obliczenia kontrolne (Metoda Trapezów)
EI
521113014
,
0
−
=
δ
Błąd procentowy:
%
7
,
1
%
100
9648
,
29
521113014
,
0
=
⋅
Obliczenia kontrolne (Metoda Simpsona)
EI
515518258
,
0
−
=
δ
Błąd procentowy:
%
7
,
1
%
100
95658505
,
28
515518258
,
0
=
⋅
Błędy w obydwu metodach znajdują się w granicach dopuszczalnych, wyniki moŜna uznać za
prawidłowe.
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -25-
Wykresy sił Tnących i Normalnych:
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
)
6
10
(
cos
sin
)
6
10
(
cos
sin
)
10
(
sin
)
10
(
1
4
2
1
3
2
1
2
1
1
X
N
X
X
N
X
X
x
N
X
x
N
−
⋅
=
⋅
−
−
⋅
=
⋅
−
−
=
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
)
6
10
(
sin
cos
)
6
10
(
sin
cos
)
10
(
cos
)
10
(
1
4
2
1
3
2
1
2
1
1
X
T
X
X
T
X
X
x
T
X
x
T
−
⋅
−
=
⋅
−
−
⋅
−
=
⋅
−
−
−
=
−
−
=
Wartości sił tnących i normalnych zestawiono w tabeli:
x
y
cos(
ϕ
)
sin(
ϕ
)
N (t)
T (t)
N (s)
T (s)
0
0
0,624695 0,780869 -38,8618 31,08945 -38,8136 31,0509
1
1,171875 0,674769 0,738029 -51,7103 5,605599 -50,8802 6,421998
2
2,1875
0,729537 0,683941 -46,8146 2,043954 -45,9243 2,794091
3
3,046875 0,788024 0,615644 -42,2237 -2,13082 -41,2695 -1,4637
4
3,75
0,847998 0,529999 -38,048 -6,96183 -37,0294 -6,39798
5
4,296875 0,905459 0,424434 -34,434 -12,4188 -33,3552 -11,9812
6
4,6875
0,95448 0,298275 -31,5606 -18,3462 -30,4325 -18,0583
7
4,921875 0,988012 0,154377 -26,8389 -14,5503 -25,6807 -14,4318
8
5
1
0
-28,7634 -10,2326 -27,6008 -10,2943
9
4,921875 0,988012 -0,15438 -29,9983 -5,66953 -28,8591 -5,90997
10
4,6875
0,95448 -0,29827 -30,5062 -1,18741 -29,4149 -1,59307
11
4,296875 0,905459 -0,42443 -30,3871 2,942962 -29,3606 2,393649
12
3,75
0,847998
-0,53
-29,8146 6,567344 -28,8614 5,898846
13
3,046875 0,788024 -0,61564 -28,9659 9,644478 -28,0877 8,880109
14
2,1875
0,729537 -0,68394 -27,9825 12,20741 -27,1765 11,36725
15
1,171875 0,674769 -0,73803 -26,9606 14,32357 -26,2217 13,42391
16
0
0,624695 -0,78087 -7,99032 -6,39225 -8,0385
-6,4308
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -26-
Wartości sił tnących, normalnych i momentów w punktach połączenia sciągu z łukiem:
x
y
cos(
ϕ
)
M
n
(trapezy)
M
n
(simson)
sin(
ϕ
)
N (t)
T (t)
N (s)
T (s)
0,81
1
0,664961 37,0969237,04684 0,746878 -31,1087 27,69669 -31,0626 27,65566
0,81
1
0,664961 37,0969237,04684 0,746878 -52,6598 6,213941 -51,8406 7,041233
15,2
1
0,666667 24,92065 23,98556 -0,74536 -26,8025 14,69986 -26,0734 13,78993
15,2
1
0,666667 24,92065 23,98556 -0,74536 -7,62693
-6,79817 -7,67292
-6,83916
Wykresy sił przekrojowych obliczonych za pomocą metody trapezów:
Nr punktu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
M [kNm]
0
37,096 39,823
45,378
45,427
39,97
29,007
12,539 -4,434 -16,914
-24,899 -28,391
13
14
15
16
17
18
19
-27,387
-21,890
-11,898
2,5870625
21,567
24,920
16,278
Nr punktu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N [kN]
-38,86
-31,108
-52,659
-51,71 -46,814 -42,223 -38,048 -34,43 -31,56 -26,838 -28,763
-29,998 -30,506
13
14
15
16
17
18
19
-30,387
-29,814
-28,965
-27,982
-26,960
-26,8025
-7,62693
-7,9903
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -27-
Nr punktu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
T [kN]
31,089
27,696
6,2139
5,605
2,043
-2,130
-6,961 -12,41 -18,346 -14,550 -10,232
-5,669
-1,187
13
14
15
16
17
18
19
2,942
6,567
9,644
12,207
14,323
14,699
-6,798
-6,392
Wykresy sił przekrojowych obliczonych za pomocą metody Simpsona:
Nr punktu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
M [kNm]
0
37,046 39,961
46,635
47,621
42,92
32,532
16,456 -0,306 -12,75
-20,895
-24,72
13
14
15
16
17
18
19
-24,233
-19,433
-10,321
3,10385
20,841
23,985
15,291
Piotr śuchniewicz gr.3KBI – Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -28-
Nr punktu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N [kN]
-38,813
-31,062
-51,840
-50,880 -45,924 -41,269 -37,029 -33,355 -30,432 -25,680 -27,600
-28,859 -29,414
13
14
15
16
17
18
19
-29,360
-28,861
-28,087
-27,176
-26,221
-26,073
-7,6729
-8,0385
Nr punktu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
T [kN]
31,050
27,655
7,041
6,421
2,794
-1,463
-6,397 -11,981 -18,058 -14,431 -10,294
-5,909
-1,593
13
14
15
16
17
18
19
2,393
5,898
8,880
11,367
13,423
13,789
-6,839
-6,430