Przekształcenia ciągłe zmiennej losowej

background image

Przekształcenia ciągłe zmiennej losowej.

(Ω, F, P) – przestrzeń probabilistyczna, X: Ω →R – zmienna losowa.

Zmienna wyznacza na prostej pewien rozkład.

Dla

R

A

:

( )

( )

{

}

(

)

( )

(

)

A

X

P

A

X

P

A

P

X

1

:

=

=

ω

ω

.

Niech zbiorem wartości zmiennej X będzie zbiór A

x

, czyli X:

R

A

X

na

.

Niech funkcja y = φ(x) będzie ciągłą funkcją zmiennej rzeczywistej x na zbiorze A

x

. Przez A

Y

określamy zbiór wartości funkcji φ (y ∈ A

Y

).

R

A

A

Y

X

X

ϕ

Y(ω) = φ(X(ω)) i tak określona funkcja odwzorowuje Ω w R. Nazywamy ją funkcją

ciąą zmiennej losowej X

i oznaczamy: Y = φ(X).

Wyznaczamy wartości rozkładu zmiennej losowej Y.

Niech

R

A

.

P

Y

(A) = P({ω: Y(ω)

∈A})=P({ω: φ(X(ω))∈A}) = P({ω: X(ω) ∈φ

-1

(A)}) = P

X

-1

(A))

Zatem: P

Y

(A) = P

X

-1

(A)).

Przykład:

1) X ma rozkład dyskretny P(X=x

i

) = p

i

, i=1,2,3,…

y = φ(x)=x

2

Y = φ(X)=X

2

Y ∈ A

Y

= {y

1

,y

2

,…} y

i

= φ(x

i

)

(

)

( )

(

)

=

=

=

=

=

=

i

k

y

x

k

i

i

i

i

p

y

X

P

y

Y

P

p

)

(

:

'

ϕ

ϕ

y

i

0

1

2

Y=X

2

p

i

1/5

2/5

2/5

2) X ma rozkład ciągły

Niech Y = φ(X) φ - funkcja ciągła i różniczkowalna

f

X

(x) – funkcja gęstości X

x

i

-2

-1

0

1

2

X:

p

i

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5

background image

f

Y

(y) – funkcja gęstości Y

Niech

ś

ciowa

róznowarto

ϕ

.

Wtedy istnieje

( )

y

x

1

=

ϕ

.

1)

ϕ

rosnąca.

Każdemu przedziałowi

)

x

x

x

+

,

odpowiada przedział

)

y

y

y

+

,

.

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

x

y

y

y

F

y

y

F

x

x

F

x

x

F

x

y

F

y

y

F

x

F

x

x

F

y

y

Y

y

P

x

x

X

x

P

y

y

x

x

y

y

x

x

+

=

+

+

=

+

+

<

=

+

<

:

/

0

0

y

x

(

)

( )

(

)

( )

x

y

y

y

F

y

y

F

x

x

F

x

x

F

y

y

y

x

x

x

x

+

=

+

0

0

0

lim

lim

( )

( )

( )

( )

( )

( )

dy

dx

x

f

y

f

dx

dy

y

f

x

f

dx

dy

y

F

x

F

x

y

y

x

y

x

=

=

=

'

'

( )

( )

( )

( )

y

x

f

y

f

x

y

'

1

=

ϕ

- otrzymaliśmy wzór na gęstość funkcji, gdy

ϕ

jest rosnąca.

2)

ϕ

malejąca

Każdemu przedziałowi

)

x

x

x

+

,

odpowiada przedział

)

y

y

,

.

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

x

y

y

y

y

F

y

F

x

x

F

x

x

F

x

y

y

F

y

F

x

F

x

x

F

y

Y

y

y

P

x

x

X

x

P

y

y

y

x

x

x

x

y

y

x

x

=

+

=

+

<

=

+

<

0

0

0

lim

lim

:

/

0

0

0

y

y

x

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

'

'

'

1

y

x

f

y

f

dx

dy

y

f

x

f

dx

dy

y

F

x

F

x

y

y

x

y

x

=

=

=

ϕ

ϕ

malejąca

1

ϕ

malejąca

( )

'

1

ϕ

ma wartości ujemne.

background image

ϕ

monotoniczna, to

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

'

'

1

1

1

y

y

f

y

x

f

y

f

x

x

y

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

.


Przykład:

Niech X ma rozkład ciągły określony funkcją gęstości:

( )

2

1

1

1

x

x

f

x

+

=

π

,

R

x

∈ .

Znaleźć funkcję gęstości zmiennej

2

3

= X

Y

.

( )

(

)

( )

( )

(

)

3

1

'

3

2

3

1

2

3

1

3

2

2

3

1

1

=

+

=

+

=

=

+

=

=

y

y

y

y

x

x

y

x

x

y

ϕ

ϕ

ϕ

( )

( )

(

)

(

)

y

y

y

y

f

y

f

y

f

x

x

y

4

13

3

3

2

3

1

1

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

1

2

2

1

+

+

=

+

+

=

=

+

=

=

π

π

ϕ

,

R

y

∈ .


Przykład:

Niech X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości:

( )

2

1

1

1

x

x

f

x

+

=

π

,

R

x

∈ .

Znaleźć funkcję gęstości zmiennej

2

2 X

Y

=

.

Wyznaczmy dystrybuantę nowego rozkładu:

( )

(

)

(

)

y

X

P

y

Y

P

y

F

Y

Y

Y

<

=

<

=

2

2

1)

0

y

( )

(

)

0

2

2

=

<

=

y

X

P

y

F

Y

Y

2)

0

>

y

2

2

2

2

2

2

y

x

y

y

x

y

x

<

<

<

<

( )





=



<

<

=

2

2

2

2

y

F

y

F

y

x

y

P

y

F

X

X

Y

( )

( )

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

)

(

'





=

=

y

y

f

y

y

f

y

F

y

f

X

X

Y

Y

=

background image

π

π

π

+

=

+

+

+

=





+



2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

1

2

4

1

2

2

2

4

1

y

y

y

y

y

y

f

y

f

y

X

X

( )




>

+

=

0

2

1

2

2

1

0

0

y

y

y

y

y

f

Y

π

.

Zmienna losowa unormowana (standaryzowana).

X - zmienna losowa, EX=m, D

2

X = δ

Definicja:

Zmienną losową

σ

m

X

U

=

nazywamy zmienną losową unormowaną (standaryzowaną)

(zmiennej X).

Funkcja

( )

σ

ϕ

m

X

X

=

odchylenia standardowego jest rosnąca.

Twierdzenie:

Jeżeli U jest zmienną losową unormowaną, to wartość oczekiwana U jest równa 0 i wariancja

jest równa 1.

EU=0, D

2

(U)=1

Dowód:

( )

(

)

( )

0

1

=

=

=

=

=

σ

σ

σ

σ

m

m

m

E

EX

m

X

E

m

X

E

U

E

(

)

1

1

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

σ

σ

σ

σ

σ

X

D

m

X

D

m

X

D

.

Rozkład DYSKRETNY.

a) Rozkład jednostajny

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny, jeżeli przyjmuje skończoną ilość

wartości należących do zbioru

{

}

n

x

x

x

,...,

1

i każdą przyjmuje z jednakowym

prawdopodobieństwem:

(

)

n

x

X

P

i

1

=

=

dla

{

}

,...

2

,

1

i

.

Przykład: Liczba oczek na kostce – wartość zmiennej. Przyjmuje 6 wartości z jednakowym

prawdopodobieństwem

6

1

.

background image

b) Rozkład zero-jedynkowy

Zmienna ma rozkład zero–jedynkowy, jeżeli przyjmuje dwie wartości 0 i 1.

{ }

1

,

0

X

(

)

p

q

X

P

=

=

=

1

0

(

)

p

X

P

=

= 1

p

p

q

EX

=

+

=

1

0

(

)

pq

p

p

p

p

p

q

p

EX

EX

X

D

=

=

=

+

=

=

1

0

1

2

2

2

2

.

Przykład: X występuje w doświadczeniu, w którym możliwe są dwa wyniki i X jest to

wartość przyporządkowana tym wynikom, np. rzut monetą niekoniecznie symetryczną.

c) Rozkład geometryczny

Zmienna losowa przyjmuje nieskończenie wiele wartości

( ) {

}

,...

3

,

2

,

1

ω

X

z

prawdopodobieństwem

(

)

1

=

=

k

pq

k

X

P

dla

,...

2

,

1

=

k

X – liczba doświadczeń, które trzeba wykonać, aby uzyskać pierwszy sukces w ciągu

niezależnych doświadczeń.

d) Rozkład Bernoulliego (rozkład dwumianowy)

Zmienna losowa X przyjmuje rozkład Bernoulliego, jeżeli przyjmuje wartości

{

}

n

X

,...

0

z

prawdopodobieństwami

(

)

k

n

k

q

p

k

n

k

X

P





=

=

dla

{

}

n

k

,...,

0

, czyli X-liczba sukcesów w

schemacie Bernoulliego.

(

)

{

}

n

i

A

A

x

x

x

i

n

,

,

1

,

,

:

,

,

1

=

=

=

=

ω

(

)

p

X

P

i

=

= 1

(

)

q

p

X

P

i

=

=

=

1

0

n

X

X

X

+

+

=

1

(

)

np

q

p

n

nEX

EX

EX

EX

n

=

+

=

=

+

+

=

0

1

1

1

(

)

(

)

(

)

(

)

npq

p

np

np

np

p

q

p

n

EX

EX

n

X

nD

X

D

X

D

X

D

n

=

=

=

+

=

=

=

+

+

=

1

0

1

2

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

2

i

X

są niezależne.


e) Rozkład Poissona

{

}

,

2

,

1

,

0

X

(

)

=

=

=

λ

λ

λ

!

k

e

k

X

P

k

stała,

0

>

λ

background image

(

)

(

)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1

1

0

1

1

0

!

!

1

!

1

!

!

k

k

e

l

l

k

k

k

k

i

k

k

i

i

e

e

l

e

k

e

k

e

k

e

k

k

e

k

p

x

EX

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ







(

)

(

)

=

=

=

=

+

=

=

=

=

1

0

2

2

2

2

0

2

2

2

2

!

1

!

1

!

!

k

k

k

k

k

k

i

i

i

k

k

e

k

k

e

k

k

e

k

p

x

X

D

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

(

)

(

)

=

+

=





+

=





+

=

=

=

=

2

2

1

2

0

0

!

1

!

!

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

e

e

e

e

k

e

k

k

k

e

k

k

k

k

k

k

(

)

(

)

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

+

=

+

=

2

2

2

1

e

e

Przykłady:

1) Rozmieszczenie gwiazd w układach międzyplanetarnych.

2) Rozmieszczenie drzew w wolnostojącym lesie.

3) Liczba połączeń w centralce w określonym czasie.

4) Liczba wad w określonej produkcji pewnych elementów.

5) Liczba zachorowań na rzadkie choroby.

6) Liczba pożarów, awarii, wypadków drogowych.

Wiele występujących w przyrodzie przykładów rozkładów może być aproksymowane

rozkładem Poissona.

Twierdzenie. Poissona: Niech zmienna losowa

n

X

ma rozkład dwuwymiarowy określony

wzorem:

(

)

k

n

k

n

q

p

k

n

k

X

P





=

=

,

n

k

,...,

1

,

0

=

. Jeżeli prawdopodobieństwo

( )

n

p

P

=

maleje

do zera w taki sposób, że zaczynając od pewnego

0

n

dla

0

n

n

>

, np=

λ

=const, to

(

)

!

lim

k

e

k

X

P

k

n

n

λ

λ

=

=

→∝

.

Dowód:

n

p

λ

=

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

=

+

+

=

=

=





=

=

→∝

→∝

k

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

n

n

n

n

k

n

n

n

k

n

k

n

p

p

k

n

k

n

q

p

k

n

k

X

P

λ

λ

λ

1

!

1

1

2

1

lim

1

!

!

!

lim

lim

lim

background image

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

=

=

=

e

n

n

e

k

n

n

n

n

k

n

k

k

n

n

n

n

k

k

n

n

k

1

lim

1

lim

!

1

1

1

1

2

1

1

1

lim

!

.




Wnioski:

Z twierdzenia wynika, że rozkład Poissona można stosować do aproksymacji rozkładu

dwumianowego, gdy prawdopodobieństwo P jest małe, a liczba doświadczeń

n-duża. Przyjmujemy wtedy

np

=

λ

.

Przykład: W skład aparatury wchodzi m.in. n=1000 elementów określonego rodzaju.

Prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku każdego z n-elementów wynosi p=0,001 i nie

zależy od stanu pozostałych elementów. Obliczyć prawdopodobieństwa uszkodzenia w ciągu

roku:

a)

dokładnie dwóch elementów

b)

nie mniej niż dwóch elementów.

X-liczba elementów uszkodzonych w ciągu roku.

X ma rozkład dwumianowy o n=1000 i p=0,001.

a)

(

)

(

) (

)

998

2

2

2

999

,

0

001

,

0

2

1000

2

2





=





=

=

n

q

p

n

X

P

Obliczanie prawdopodobieństw przy tak dużej liczbie n i małym p byłoby bardzo żmudne.

Możemy zatem uznać, że X ma w przybliżeniu rozkład Poissona i skorzystać z tablic przy

obliczaniu prawdopodobieństw z uniknięciem żmudnych obliczeń.

1

1000

001

,

0

=

=

= np

λ

(

)

183940

,

0

2

=

X

P

b)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

+

=

=

+

=

=

<

=

367879

,

0

2

1

367879

,

0

367879

,

0

1

1

0

1

2

1

2

X

P

X

P

X

P

X

P

264242

,

0

735758

,

0

1

=

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zmienne losowe ciagle 2 id 5914 Nieznany
zmienne losowe ciagle id 591438 Nieznany
zmienne losowe ciagle 2 id 5914 Nieznany
FiR Zmienne losowe1
MPiS cw 04 zmienne losowe
zmienne losowe dyskretne id 591 Nieznany
Rachunek i Zmienne losowe
Dystrybuanta zmiennej losowej X moz e przyja c wartos c
36 ?finicja zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład
Parametry zmiennej losowej
MPiS cw 05 dwie zmienne losowe
jurlewicz,probabilistyka, zmienne losowe wielowymiarowe
zmienne losowe
2009 2010 STATYSTYKA ZMIENNE LOSOWE

więcej podobnych podstron