1
C4: Wyznaczanie ciepła topnienia lodu.
Przemysław Kołoczek.
1. Wstęp.
Celem ćwiczenia było wyznaczenie ciepła topnienia lodu za pomocą kalorymetru.
Każde ciało makroskopowe składa się z atomów bądź cząsteczek, które mają swoją
energię. Całkowita ilość tej energii to energia wewnętrzna. Jest ona związana jedynie z
ruchem (energia kinetyczna) oraz położeniem (energia potencjalna) cząstek ciała, w jej
skład nie wchodzi energia kinetyczna i potencjalna ciała jako całości. Temperatura z kolei
jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek danego ciała. Stąd właśnie podczas
topnienia lodu jego temperatura jest stała – cała dostarczana do niego energia jest
zużywana na zmianę energii potencjalnej jego cząstek (przemiana fazowa). Przy czym
energię tą można dostarczyć do ciała na sposób ciepła lub pracy. Ciepło jest energią
przekazywaną między dwoma ciałami ze względu na istniejącą między nimi różnicę
temperatur. Ciało o wyższej temperaturze będzie przekazywało energię ciału o niższej
temperaturze. Specyficzna ilość ciepła (Q), potrzebna do ogrzania jednostkowej masy
substancji (m) o jednostkową zmianę temperatury (°C lub K) to ciepło właściwe tej
substancji:
𝑐 =
𝑄
𝑚∆𝑇
[
𝐽
𝑘𝑔 ∙ 𝐾
]
Każdy stan skupienia materii ma inną energię potencjalną cząsteczek. W związku z tym,
aby dokonać przemiany fazowej należy do ciała dostarczyć pewną ilość energii, bądź ciało
to musi oddać pewną ilość energii do otoczenia. Tak więc ilość ciepła (Q), która jest
niezbędna do przemiany fazowej jednostkowej masy substancji (m), nazywana jest
ciepłem przemiany:
𝑐
𝑝
=
𝑄
𝑚
[
𝐽
𝑘𝑔
]
Ogrzewając jakieś krystaliczne ciało stałe (np. lód) początkowo zwiększamy jego
temperaturę, aż osiągnie temperaturę topnienia. Ogrzewając dalej nie zmienimy jego
temperatury, dopóki całe nie przejdzie w stan ciekły, bowiem cała dostarczana w tym
procesie energia jest zużywana na zmianę energii potencjalnej cząsteczek tego ciała (tj. na
zmianę rodzaju oddziaływań międzycząsteczkowych). Kiedy już całość będzie w stanie
ciekłym, a nie przerwiemy ogrzewania, temperatura tej cieczy nadal będzie rosnąć, aż
osiągnie temperaturę wrzenia. Przy dalszym ogrzewaniu będzie analogicznie jak
poprzednio – temperatura cieczy nie ulegnie zmianie, dopóki cała nie zmieni się w parę.
Dopiero wtedy będzie możliwe dalsze zwiększanie temperatury otrzymanego gazu. Cały
omówiony wyżej proces obrazuje Rysunek 1.:
2
Rysunek 1. Krzywa ogrzewania substancji krystalicznej (lodu).
Ilość ciepła, pobrana przez dane ciało jest równa ilości ciepła, które zostało oddane przez
ciała je otaczające. Z tej swoistej dla termodynamiki zasady zachowania energii wynika
treść pierwszego prawa termodynamiki: zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego
jest równa energii, która płynie do niego na sposób ciepła przekazanego do układu (Q),
lub wykonanej nad nim pracy (W):
∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊
Ilość ciepła możemy mierzyć za pomocą kalorymetru. Jest to naczynie, zbudowane w celu
jak najlepszego ograniczenia od otoczenia badanej substancji. Najczęściej budową
przypomina termos, a jego część wewnętrzna jest posrebrzana w celu ograniczenia strat,
na skutek promieniowania cieplnego. Pomiaru ciepła dokonuje się na podstawie bilansu
cieplnego, który mówi, że całkowita energia układu izolowanego, nad którym nie jest
wykonywana praca, nie zmienia się. Mamy kalorymetr o znanej masie (m
k
) i cieple
właściwym (c
k
). Wlewamy do niego wodę o znanej masie (m
w
), cieple właściwym (c
w
) oraz
temperaturze (t
p
), a następnie wrzucamy lód o znanej masie (m
l
) i nieznanym cieple
topnienia (q
t
). Lód topi się i ustala się lokalna równowaga, w której układ osiąga
temperaturę końcową (t
k
). Stosując bilans cieplny, w którym: Q
k
– ciepło oddane przez
kalorymetr, Q
w
– ciepło oddane przez wodę w kalorymetrze, Q
l
– ciepło pobrane przez
lód, Q
wl
– ciepło pobrane przez masę wody, która powstała z lodu, a także uwzględniając
fakt, że topniejący lód ma temperaturę równą 0°C:
𝑄
𝑘
+ 𝑄
𝑤
+ 𝑄
𝑙
+ 𝑄
𝑤𝑙
= 0
𝑐
𝑘
𝑚
𝑘
(𝑡
𝑘
− 𝑡
𝑝
) + 𝑐
𝑤
𝑚
𝑤
(𝑡
𝑘
− 𝑡
𝑝
) + 𝑞
𝑡
𝑚
𝑙
+ 𝑐
𝑤
𝑚
𝑙
(𝑡
𝑘
− 0℃) = 0
Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:
𝑞
𝑡
=
(𝑐
𝑘
𝑚
𝑘
+ 𝑐
𝑤
𝑚
𝑤
)(𝑡
𝑝
− 𝑡
𝑘
) − 𝑐
𝑤
𝑚
𝑙
𝑡
𝑘
𝑚
𝑙
[
𝐽
𝑘𝑔 ∙ ℃ ∙ 𝑔 ∙ ℃
𝑔
=
𝐽
𝑘𝑔
] (1)
3
Błąd systematyczny takiego oznaczenia można obliczyć korzystając z prawa propagacji
błędów:
∆𝑓 = |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1
∆𝑥
1
| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2
∆𝑥
2
| + ⋯ + |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
∆𝑥
𝑖
| (2)
Ponadto, wykonując serię oznaczeń ciepła właściwego obliczamy błąd dla każdego z nich,
według powyższego wzoru, a następnie średnią ważoną wyznaczonego ciepła i jej
niepewność, które oblicza się na podstawie wzorów:
𝑥 =
∑
𝑥
𝑖
∆𝑥
𝑖
2
𝑛
𝑖=1
∑
1
∆𝑥
𝑖
2
𝑛
𝑖=1
(3)
∆𝑥 = max{∆𝑥
𝑖𝑛𝑡
, ∆𝑥
𝑒𝑥𝑡
} (4)
∆𝑥
𝑖𝑛𝑡
= √
1
∑
1
∆𝑥
𝑖
2
𝑛
𝑖=1
(5)
∆𝑥
𝑒𝑥𝑡
= √
∆𝑥
𝑖𝑛𝑡
2
𝑛 − 1
∑ (
𝑥
𝑖
− 𝑥
∆𝑥
𝑖
)
2
𝑛
𝑖=1
(6)
2. Opis doświadczenia.
Sprawdzono wypoziomowanie wagi technicznej z dokładnością pomiaru masy równą
0,1 g. Rozmontowano kalorymetr, zdejmując górną, podwójną pokrywę razem z
wewnętrznym naczyniem. Zdjęto obie pokrywy z wewnętrznego naczynia, zważono puste
wewnętrzne naczynie kalorymetru razem z mieszadłem, wynik zanotowano. Zdjęto
naczynie z wagi, nalano do niego wystanej wody do około 1/4 jego wysokości, całość
ponownie zważono, wynik zanotowano. Ponownie złożono kalorymetr, umieszono w nim
termometr o dokładności pomiaru temperatury 0,2°C i odczekano aż do ustabilizowania
się temperatury wody w kalorymetrze, wynik zanotowano. Odebrano lód z kostkarki do
zlewki (5 – 6 kostek), odczekano chwilę aż lód zaczął się topić (uwidoczniły się krople
wody na kostkach). Wyjęto jedną kostkę ze zlewki, wysuszono za pomocą bibuły i
wrzucono do kalorymetru, odkrywając tylko górną, małą pokrywkę dotykając lodu tylko
przez bibułę, nie palcami. Analogicznie postąpiono dla pozostałych kostek lodu. Tak
przygotowaną mieszaninę delikatnie mieszano za pomocą mieszadła kalorymetru, aż do
całkowitego stopienia wszystkich kostek lodu i ustabilizowania się temperatury układu
podczas jego ochładzania i zanotowano nową temperaturę wody. Układ ponownie
rozmontowano analogicznie jak poprzednio i zważono wewnętrzne naczynie kalorymetru,
wynik zanotowano. Wychłodzoną wodę znajdującą się w wewnętrznym naczyniu
kalorymetru wylano do zlewu, a samo naczynie ponownie uzupełniono wodą wystaną, jak
poprzednio. Dalsze czynności powtórzono kilkakrotnie.
4
3. Plan pracy.
a) Sprawdzić wypoziomowanie wagi.
b) Zważyć wewnętrzne naczynie kalorymetru z mieszadłem.
c) Nalać wody do naczynia i ponownie zważyć.
d) Zanotować temperaturę wody po jej ustabilizowaniu się.
e) Wysuszyć lód bibułą i wrzucić do kalorymetru.
f) Całość mieszać powoli, aż do stopienia lodu.
g) Zanotować nową temperaturę wody
h) Ponownie zważyć wewnętrzne naczynie kalorymetru
i) Powtórzyć kilkakrotnie wszystkie czynności.
4. Wyniki.
W wyniku przeprowadzonych analiz otrzymano następujące wyniki, które zebrano w
Tabeli 1:
Tabela 1. Wyniki pomiarów.
m
k
[g]
Δm
k
= 0,1 g
m
kw
[g]
Δm
kw
= 0,1 g
m
kwl
[g]
Δm
kwl
= 0,1 g
t
p
[°C]
Δt
p
= 0,2°C
t
k
[°C]
Δt
k
= 0,2°C
134,4
429,0
464,3
24,2
14,4
134,4
444,6
468,8
23,8
17,2
134,4
460,9
481,4
24,0
18,6
134,4
449,3
477,6
24,0
16,4
134,4
423,4
439,9
24,4
19,6
134,4
500,7
529,8
24,4
17,6
Przy czym:
𝑚
𝑘
– masa pustego wewnętrznego naczynia kalorymetru,
𝑚
𝑘𝑤
– masa wewnętrznego naczynia kalorymetru z wodą,
𝑚
𝑘𝑤𝑙
– masa wewnętrznego naczynia kalorymetru z wodą i lodem,
𝑡
𝑝
– temperatura początkowa wody w wewnętrznym naczyniu kalorymetru,
𝑡
𝑘
– temperatura końcowa wody w wewnętrznym naczyniu kalorymetru.
Ponadto znaleziono w tablicach ciepło właściwe wody (c
w
), ciepło właściwe kalorymetru
(aluminium – c
Al
) oraz ciepło topnienia lodu:
𝑐
𝑤
= 4186
𝐽
𝑘𝑔 ∙ 𝐾
𝑐
𝑘
= 𝑐
𝐴𝑙
= 896
𝐽
𝑘𝑔 ∙ 𝐾
𝑞
𝑡
= 334
𝑘𝐽
𝑘𝑔
5
5. Opracowanie wyników.
Na podstawie wyników zawartych w Tabeli 1. obliczono odpowiednie masy wody (m
w
),
masy lodu (m
l
), ciepła topnienia lodu (q
t
) korzystając ze wzorów (7), (8) i (1):
𝑚
𝑤
= 𝑚
𝑘𝑤
− 𝑚
𝑘
(7)
𝑚
𝑙
= 𝑚
𝑘𝑤𝑙
− 𝑚
𝑘𝑤
(8)
Obliczono niepewności Δm
w
, Δm
l
, Δq
t
na podstawie prawa propagacji błędów (2):
∆𝑚
𝑤
= |
𝜕𝑚
𝑤
𝜕𝑚
𝑘𝑤
∆𝑚
𝑘𝑤
| + |
𝜕𝑚
𝑤
𝜕𝑚
𝑘
∆𝑚
𝑘
| = ∆𝑚
𝑘𝑤
+ ∆𝑚
𝑘
= 0,2 𝑔
∆𝑚
𝑙
= |
𝜕𝑚
𝑙
𝜕𝑚
𝑘𝑤𝑙
∆𝑚
𝑘𝑤𝑙
| + |
𝜕𝑚
𝑙
𝜕𝑚
𝑘𝑤
∆𝑚
𝑘𝑤
| = ∆𝑚
𝑘𝑤𝑙
+ ∆𝑚
𝑘𝑤
= 0,2 𝑔
∆𝑞
𝑡
= |
𝜕𝑞
𝑡
𝜕𝑚
𝑘
∆𝑚
𝑘
| + |
𝜕𝑞
𝑡
𝜕𝑚
𝑤
∆𝑚
𝑤
| + |
𝜕𝑞
𝑡
𝜕𝑚
𝑙
∆𝑚
𝑙
| + |
𝜕𝑞
𝑡
𝜕𝑡
𝑝
∆𝑡
𝑝
| + |
𝜕𝑞
𝑡
𝜕𝑡
𝑘
∆𝑡
𝑘
| =
=
𝑐
𝑘
(𝑡
𝑝
− 𝑡
𝑘
)
𝑚
𝑙
∆𝑚
𝑘
+
𝑐
𝑤
(𝑡
𝑝
− 𝑡
𝑘
)
𝑚
𝑙
∆𝑚
𝑤
+
(𝑚
𝑤
𝑐
𝑤
+ 𝑚
𝑘
𝑐
𝑘
)(𝑡
𝑝
− 𝑡
𝑘
)
𝑚
𝑙
2
∆𝑚
𝑙
+
+
𝑚
𝑤
𝑐
𝑤
+ 𝑚
𝑘
𝑐
𝑘
𝑚
𝑙
∆𝑡
𝑝
+
𝑐
𝑤
𝑚
𝑤
+ 𝑐
𝑤
𝑚
𝑙
+ 𝑚
𝑘
𝑐
𝑘
𝑚
𝑙
∆𝑡
𝑘
Wszystkie otrzymane wyniki wprowadzono do Tabeli 2:
Tabela 2. Wyniki obliczeń masy wody, masy lodu oraz ciepła topnienia lodu i ich niepewności.
m
w
[g]
Δm
w
= 0,2 g
m
l
[g]
Δm
l
= 0,2 g
q
t
[J/kg]
Δq
t
[J/kg]
294,6
35,3
315513,6
18562,1
310,2
24,2
314978,9
27741,3
326,5
20,5
313877,8
33920,7
314,9
28,3
317685,7
24149,9
289,0
16,5
304914,8
38043,9
366,3
29,1
312770,7
26441,8
Obliczono średnie ciepło topnienia lodu na podstawie danych z Tabeli 2., korzystając ze
wzoru (3):
𝑞
𝑡
= 314431,5
𝐽
𝑘𝑔
Obliczono niepewność średniego ciepła topnienia lodu, korzystając ze wzorów
(4), (5) i (6):
6
(∆𝑞
𝑡
)
𝑖𝑛𝑡
= 10596,0
𝐽
𝑘𝑔
(∆𝑞
𝑡
)
𝑒𝑥𝑡
= 1411,6
𝐽
𝑘𝑔
∆𝑞
𝑡
= 10596,0
𝐽
𝑘𝑔
Wynik końcowy:
𝑞
𝑡
= (314 ± 11)
𝑘𝐽
𝑘𝑔
6. Omówienie wyników i podsumowanie.
Otrzymana wartość ciepła topnienia lodu, równa (314±11) kJ/kg nie jest zgodna z tą,
znalezioną w tablicach (334 kJ), ze względu na to, iż wartość tablicowa nie mieści się w
przedziale ufności wartości wyznaczonej doświadczalnie. Obie różnią się od siebie o 20 kJ,
co przekracza wartość niepewności wyznaczonego ciepła topnienia lodu (11 kJ), a to
wskazuje na to, że pomiary wykonano niedokładnie. Z kolei na wysoką precyzję, wskazują
niewielkie różnice między poszczególnymi obliczonymi ciepłami topnienia lodu.
Czynnikiem, mającym największy wpływ na sam wynik i jego niepewność miało dobre
osuszenie kostek lodu przed ich wrzuceniem do kalorymetru z wodą. Mniejszy wpływ
miały m. in. takie czynniki jak błąd paralaksy podczas odczytywania temperatury. Błędy
pomiarowe ciepeł topnienia lodu zostały dobrze oszacowane, są bowiem o rząd wielkości
mniejsze od samych wartości ciepeł topnienia lodu. Największy wkład do błędu, którym
jest obarczony wynik końcowy ma niepewność pomiaru masy. Zastosowaną metodę
pomiarową można by bardzo łatwo udoskonalić poprzez łapanie i trzymanie kostek lodu
za pomocą pęsety a nie rąk, bowiem w czasie ich suszenia pęseta nie ogrzewałaby kostek
lodu w tak znacznym stopniu jak ludzkie ręce (przez bibułę). Poza tym, być może kostki
nie wyślizgiwały by się tak łatwo i zużycie bibuły było by mniejsze. Ponadto można by
zastosować szczelne kalorymetry z możliwością podłączenia do pompy próżniowej, ze
względu na to, iż próżnia jest znacznie lepszym izolatorem niż powietrze.
7. Literatura.
[1] A. Magiera, I Pracownia Fizyczna, IF UJ, Kraków 2010.
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki 2, PWN, Warszawa 2003.
[3] http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/czesto-uzywane-stale-fizyczne, dostęp:
24.04.13 r.
8. Załączniki.
Kserokopia wyników pomiarowych.