Caªki oznaczone (c.d.)

1. Oblicz caªki metod¡ wspóªczynników nieoznaczonych:

(1)

Z

−2

−3

3x

3

− 8x + 5

√

x

2

− 4x − 7

dx

(2)

Z

1

0

x

4

√

x

2

+ 4x + 5

dx

(3)

Z

0

−1

x

3

− x + 1

√

x

2

+ 2x + 2

dx

(4)

Z

4

3

(3x − 2)

√

x

2

− 2x dx

(5)

Z

1

−1

3x

2

+ 2

√

x

2

+ x + 1

dx

2. Obliczy¢ caªki:

(1)

Z

sinh x dx

(2)

Z

cosh x dx

(3)

Z

dx

sinh x

(4)

Z

√

3

1

arctg x dx

(5)

Z

√

2

2

0

arcsin x dx

(6)

Z

1

√

3

3

arctg x

x

4

dx

(7)

Z

π

2

−

π

2

dx

2 + cos x

(8)

Z

π

3

π

4

dx

1 + sin

2

x

(9)

Z

π

2

0

2 − sin x

2 + cos x

dx

3. Niech

f (x) =











1

dla x ∈ [−1, 0]

x

dla x ∈ (0, 1]

x

2

dla x ∈ (1, 2].

Wyznaczy¢ funkcj¦ górnej granicy caªkowania

F (x) =

Z

x

−1

f (t) dt

dla x ∈ [−1, 2].

4. Wyznaczy¢ funkcj¦ F (x) =

R

x

0

f (t) dt

dla x ∈ [0, 3], gdzie

f (x) =











x − 1

dla x ∈ [0, 1]

−2x + 4

dla x ∈ (1, 2]

1

dla x ∈ (2, 3].

5. Wyznaczy¢ funkcj¦

F (x) =

Z

x

0



|t − 1| + |t + 1|



dt

dla x ­ 0.

1

6. Wyznaczy¢ funkcj¦ f : [0, +∞) → R, okre±lon¡ wzorem

f (x) =

Z

x

0





|t − 1| − 2





dt.

Caªki niewªa±ciwe

1. Obliczy¢ caªki niewªa±ciwe:

(1)

Z

+∞

1

dx

x

4

(2)

Z

+∞

1

dx

√

x

(3)

Z

+∞

0

dx

1 + x

2

(4)

Z

+∞

−∞

dx

x

2

+ 2x + 2

(5)

Z

+∞

1

ln x

x

dx

(6)

Z

+∞

0

xe

−x

2

dx

(7)

Z

+∞

0

x sin x dx

(8)

Z

+∞

0

e

−x

sin x dx

(9)

Z

+∞

0

dx

1 + x

3

(10)

Z

+∞

−∞

2x

x

2

+ 1

dx

(11)

Z

1

0

dx

√

1 − x

2

(12)

Z

1

0

ln x dx

(13)

Z

2

1

dx

x ln x

(14)

Z

0

−1

e

1
x

x

3

dx

(15)

Z

8

−1

dx

3

√

x

(16)

Z

2

−2

2xdx

x

2

− 1

(17)

Z

2

0

dx

x

2

− 4x + 3

2. Dla jakich warto±ci wykªadnika λ ∈ R s¡ zbie»ne caªki niewªa±ciwe:

(a)

Z

+∞

1

dx

x

λ

,

(b)

Z

1

0

dx

x

λ

.

3. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych:

(1)

Z

+∞

0

x

13

(x

5

+ x

3

+ 1)

3

dx

(2)

Z

+∞

e

2

dx

x ln ln x

(3)

Z

+∞

0

√

xe

−x

dx

2