Ćwiczenie 4
Uogólniona postać fali płaskiej.
Fala płaska w ośrodkach stratnych.
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Pola i fale elektromagnetyczne
Ćwiczenie 4
Uogólniona postać fali płaskiej.
Fala płaska w ośrodkach stratnych.
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Pola i fale elektromagnetyczne
k
r
r
0
y
z
x
D
r
𝑘 ∘ 𝑣 𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0
Ponieważ 𝑘||𝑣 to:
𝑘 |𝑣 |𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0
𝑣 =
𝜔
𝛽
𝑘
𝜔
𝛽
𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0
Przyjmując 𝑘 = 𝛽
𝜔𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0
𝑘 ∘ Δ𝑟 = 𝑘 ∘ 𝑟
0
− 𝑟 = 0
- wynika z 𝑘 ⊥ Δ𝑟
𝑟
0
= 𝑣 𝑡
-
dla płaszczyzny przesuwającej się z prędkością 𝑣 w kierunku 𝑘
𝑟 = [𝑥, 𝑦, 𝑧]
𝑟
0
= [𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
]
- dowolny wektor wskazujący punkt na płaszczyźnie
- wektor zaczepienia płaszczyzny
𝑘 = [𝑘
𝑥
, 𝑘
𝑦
, 𝑘
𝑧
]
- wektor normalny do płaszczyzny
𝐸(𝑟 , 𝑡) = 𝐸
0
cos 𝜔𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 𝑖
𝐸
𝑖
𝐸
⊥ 𝑘
Uogólniona postać fali płaskiej dla przypadku pola elektrycznego:
𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = [𝐸
0𝑥
, 𝐸
0𝑦
, 𝐸
0𝑧
] cos 𝜔𝑡 − 𝑘
𝑥
𝑥 − 𝑘
𝑦
𝑦 − 𝑘
𝑧
𝑧
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Wyznacz wektor falowy, amplitudę, częstotliwość, długość i kierunek rozchodzenia się fali
elektromagnetycznej w próżni w poniższych przypadkach:
Przykład
a)
𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 10
6
cos 𝜔𝑡 − 200𝜋𝑦 𝑖
𝑥
V
m
b)
𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0.2 cos 𝜔𝑡 − 300𝜋𝑦 − 400𝜋𝑧 𝑖
𝑥
𝐴
m
c)
𝐸
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2.5 ⋅ 10
6
e
−𝑗130𝜋(𝑥−𝑦)
𝑖
𝑧
V
m
d)
𝐻
𝑥, 𝑦, 𝑧 = (80 𝑖
𝑥
+ 60 𝑖
𝑦
)e
−𝑗400𝜋𝑧 A
m
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Ośrodki stratne
𝐽 ~𝐸
𝐽 = 𝜎𝐸
𝜎 – przewodność ośrodka
ośrodek
próżnia
dielektryk
półprzewodnik
metal
przewodność 𝜎
0
~10
−12
~10
−2
~10
7
Równania Maxwella
𝛻 ∘ 𝐷
= 𝜌
𝑣
𝛻 ∘ 𝐵
= 0
𝛻 × 𝐸
= −𝑗𝜔𝐵
𝛻 × 𝐻
= 𝑗𝜔𝐷
+ 𝐽
𝛻 × 𝐻
= (𝑗𝜔𝜀 + 𝜎)𝐸
𝛻 × 𝐻
= 𝑗𝜔 𝜀 + 𝑗
𝜎
𝜔
𝐸
𝜀
𝑒𝑓𝑓
(zespolona)
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Fala płaska w ośrodkach bezstratnych i stratnych
𝐸
= 𝐸
0
𝑒
−𝑗𝜔 𝜇
(𝜀−𝑗
𝜎
𝜔)
𝑧
𝑖
𝑥
𝐸
= 𝐸
0
𝑒
−
𝛾
𝑧
𝑖
𝑥
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽
𝐸
= 𝐸
0
𝑒
−𝑗𝜔 𝜇
𝜀
𝑧
𝑖
𝑥
𝐸
= 𝐸
0
𝑒
−𝑗𝜔 𝜇
𝜀
𝑒𝑓𝑓
𝑧
𝑖
𝑥
Fala płaska
𝜎 = 0
𝐽 = 0
Ośrodek bezstratny
𝜎 ≠ 0
𝐽 ≠ 0
Ośrodek stratny
𝑍
𝑓
=
𝐸
⊥
𝐻
⊥
=
𝜇
𝜀
𝑍
𝑓
=
𝐸
⊥
𝐻
⊥
=
𝜇
𝜀
𝑒𝑓𝑓
=
𝜇
𝜀−𝑗
𝜎
𝜔
=
𝑗𝜔𝜇
𝜎+𝑗𝜔𝜀
Impedancja falowa
𝑍
𝑓
= 𝑍
𝑓
𝑒
𝑗𝜑
𝑓
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Ośrodki stratne – fala płaska
Dla materiałów stratnych definiuje się zespolony współczynnik propagacji:
Przykładowa fala E propagująca się wzdłuż osi z w ośrodki stratnym ma postać:
𝜆 =
2𝜋
𝛽
,
𝑣 =
𝜔
𝛽
)
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Wyznacz długość i prędkość fali płaskiej o częstotliwości 𝑓 = 1 GHz rozchodzącej się
w ośrodku o parametrach 𝜇
𝑟
= 2, 𝜀
𝑟
= 18 i 𝜎 = 1 S/m. Określ odległość, na której
amplituda fali zmaleje dwukrotnie.
Przykład
Odp.
𝑣
𝑓
≅ 5.4 ⋅ 10
7
m/s
𝜆 ≅ 5.4 cm
𝑑 ≅ 1.4 cm
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
𝛼 = 𝜔
𝜇𝜀
2
1 +
𝜎
𝜔𝜀
2
− 1
𝛽 = 𝜔
𝜇𝜀
2
1 +
𝜎
𝜔𝜀
2
+ 1
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
𝛾 = 𝛼 + 𝑗β = j𝜔 𝜇𝜀 1 − 𝑗
𝜎
𝜔𝜀