Ćwiczenie 4

Uogólniona postać fali płaskiej.

Fala płaska w ośrodkach stratnych.

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Pola i fale elektromagnetyczne

k

r

r

0

y

z

x

D

r

𝑘 ∘ 𝑣 𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0

Ponieważ 𝑘||𝑣 to:

𝑘 |𝑣 |𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0

𝑣 =

𝜔

𝛽

𝑘

𝜔

𝛽

𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0

Przyjmując 𝑘 = 𝛽

𝜔𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 = 0

𝑘 ∘ Δ𝑟 = 𝑘 ∘ 𝑟

0

− 𝑟 = 0

- wynika z 𝑘 ⊥ Δ𝑟

𝑟

0

= 𝑣 𝑡

-

dla płaszczyzny przesuwającej się z prędkością 𝑣 w kierunku 𝑘

𝑟 = [𝑥, 𝑦, 𝑧]

𝑟

0

= [𝑥

0

, 𝑦

0

, 𝑧

0

]

- dowolny wektor wskazujący punkt na płaszczyźnie

- wektor zaczepienia płaszczyzny

𝑘 = [𝑘

𝑥

, 𝑘

𝑦

, 𝑘

𝑧

]

- wektor normalny do płaszczyzny

𝐸(𝑟 , 𝑡) = 𝐸

0

cos 𝜔𝑡 − 𝑘 ∘ 𝑟 𝑖

𝐸

𝑖

𝐸

⊥ 𝑘

Uogólniona postać fali płaskiej dla przypadku pola elektrycznego:

𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = [𝐸

0𝑥

, 𝐸

0𝑦

, 𝐸

0𝑧

] cos 𝜔𝑡 − 𝑘

𝑥

𝑥 − 𝑘

𝑦

𝑦 − 𝑘

𝑧

𝑧

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Wyznacz wektor falowy, amplitudę, częstotliwość, długość i kierunek rozchodzenia się fali
elektromagnetycznej w próżni w poniższych przypadkach:

Przykład

a)

𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 10

6

cos 𝜔𝑡 − 200𝜋𝑦 𝑖

𝑥

V

m

b)

𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0.2 cos 𝜔𝑡 − 300𝜋𝑦 − 400𝜋𝑧 𝑖

𝑥

𝐴

m

c)

𝐸

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2.5 ⋅ 10

6

e

−𝑗130𝜋(𝑥−𝑦)

𝑖

𝑧

V

m

d)

𝐻

𝑥, 𝑦, 𝑧 = (80 𝑖

𝑥

+ 60 𝑖

𝑦

)e

−𝑗400𝜋𝑧 A

m

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Ośrodki stratne

𝐽 ~𝐸

𝐽 = 𝜎𝐸

𝜎 – przewodność ośrodka

ośrodek

próżnia

dielektryk

półprzewodnik

metal

przewodność 𝜎

0

~10

−12

~10

−2

~10

7

Równania Maxwella

𝛻 ∘ 𝐷

= 𝜌

𝑣

𝛻 ∘ 𝐵

= 0

𝛻 × 𝐸

= −𝑗𝜔𝐵

𝛻 × 𝐻

= 𝑗𝜔𝐷

+ 𝐽

𝛻 × 𝐻

= (𝑗𝜔𝜀 + 𝜎)𝐸

𝛻 × 𝐻

= 𝑗𝜔 𝜀 + 𝑗

𝜎

𝜔

𝐸

𝜀

𝑒𝑓𝑓

(zespolona)

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Fala płaska w ośrodkach bezstratnych i stratnych

𝐸

= 𝐸

0

𝑒

−𝑗𝜔 𝜇

(𝜀−𝑗

𝜎

𝜔)

𝑧

𝑖

𝑥

𝐸

= 𝐸

0

𝑒

−

𝛾

𝑧

𝑖

𝑥

𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽

𝐸

= 𝐸

0

𝑒

−𝑗𝜔 𝜇

𝜀

𝑧

𝑖

𝑥

𝐸

= 𝐸

0

𝑒

−𝑗𝜔 𝜇

𝜀

𝑒𝑓𝑓

𝑧

𝑖

𝑥

Fala płaska

𝜎 = 0
𝐽 = 0

Ośrodek bezstratny

𝜎 ≠ 0
𝐽 ≠ 0

Ośrodek stratny

𝑍

𝑓

=

𝐸

⊥

𝐻

⊥

=

𝜇

𝜀

𝑍

𝑓

=

𝐸

⊥

𝐻

⊥

=

𝜇

𝜀

𝑒𝑓𝑓

=

𝜇

𝜀−𝑗

𝜎

𝜔

=

𝑗𝜔𝜇

𝜎+𝑗𝜔𝜀

Impedancja falowa

𝑍

𝑓

= 𝑍

𝑓

𝑒

𝑗𝜑

𝑓

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Ośrodki stratne – fala płaska

Dla materiałów stratnych definiuje się zespolony współczynnik propagacji:

Przykładowa fala E propagująca się wzdłuż osi z w ośrodki stratnym ma postać:

𝜆 =

2𝜋

𝛽

,

𝑣 =

𝜔

𝛽

)

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Wyznacz długość i prędkość fali płaskiej o częstotliwości 𝑓 = 1 GHz rozchodzącej się
w ośrodku o parametrach 𝜇

𝑟

= 2, 𝜀

𝑟

= 18 i 𝜎 = 1 S/m. Określ odległość, na której

amplituda fali zmaleje dwukrotnie.

Przykład

Odp.
𝑣

𝑓

≅ 5.4 ⋅ 10

7

m/s

𝜆 ≅ 5.4 cm
𝑑 ≅ 1.4 cm

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

𝛼 = 𝜔

𝜇𝜀

2

1 +

𝜎

𝜔𝜀

2

− 1

𝛽 = 𝜔

𝜇𝜀

2

1 +

𝜎

𝜔𝜀

2

+ 1

Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

𝛾 = 𝛼 + 𝑗β = j𝜔 𝜇𝜀 1 − 𝑗

𝜎

𝜔𝜀