1

Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia

Temat 4: Charakterystyki liczbowe rozkładu prawdopodobieostwa

Zadania do rozwiązania:

1. Rozkłady zmiennych losowych X i Y zostały pokazane w tabelach

x

i

0

1

2

5

p

i

0,1

0,4

0,3

0,2

x

i

-1

1

3

5

p

i

0,2

0,3

0,3

0,2

Narysuj wykresy funkcji prawdopodobieostwa. Wyznacz współczynnik asymetrii dla
obu przypadków.

2. Pracownik obsługuje m jednakowych maszyn. Maszyny ustawione są w rzędzie i

oddalone od siebie o odległośd d. Prawdopodobieostwo, że maszyna będzie
wymagała obsługi jest jednakowe dla każdej maszyny. Maszyny są obsługiwane w
kolejności zgłoszeo (nie ma priorytetów). Oblicz przeciętną długośd ED drogi D, jaką
pracownik pokonuje przy przechodzeniu do następnej maszyny wymagającej obsługi,
jeżeli nie wiadomo, która maszyna była obsługiwana. Uwaga – możliwe jest, że ta
sama maszyna będzie wymagad obsługi kilkakrotnie pod rząd.

3. Wykaż prawdziwośd następującej zależności



 



2

2

2

EX

c

c

X

E

X

D









4. Wyznacz medianę zmiennej losowej X, która ma rozkład o gęstości:











poza

x

x

x

f

0

2

,

0

5

.

0

)

(

5. Dany jest nieskooczony ciąg liczbowy (p

k

) opisany wyrażeniem

1





k

k

pq

p

dla

N

k



, 0 < p < 1, q = 1-p

a) Sprawdzid, że ciąg ten jest funkcją prawdopodobieostwa pewnej zmiennej losowej K
b) Przyjmując p

k

=P(K=k) wyznaczyd wartośd przeciętną EK

6. Eksperyment losowy polega na rzucie symetryczną sześciościenną kostką. Niech

zmienna losowa X oznacza liczbę oczek, które wypadną podczas rzutu.

a) Znajdź rozkład zmiennej losowej.
b) Oblicz wartośd oczekiwaną i wariancję.
c) Rozważ rozszerzoną wersję eksperymentu, w którym wykonywany jest rzut

dwiema symetrycznymi kostkami. Niech zmienna losowa Y oznacza iloczyn
liczby oczek na obu kostkach. Oblicz wartośd oczekiwaną i wariancję.

2

7. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:















h

pozostalyc

dla

0

1

0

)

1

(

6

)

(

x

x

x

x

f

Oblicz wartośd przeciętną i wariancję:

a) zmiennej losowej X
b) zmiennej losowej Y=2X-1