1

Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia

Temat 1: Podstawy rachunku prawdopodobieostwa – zdarzenia losowe

Zadania do rozwiązania:

1. Mamy do dyspozycji zbiór liter {a, b, c}. Ile trójwyrazowych słów można skonstruowad (litery

nie mogą się powtarzad)? Wyznacz wszystkie podzbiory (niekoniecznie trójelementowe)
zbioru rozpatrywanego w tym zadaniu.

2. Dany jest pięcioelementowy zbiór A = {a, b, c, d, e}. Ile jest dwuelementowych kombinacji bez

powtórzeo tego zbioru? Jak zmieni się ta wartośd, jeżeli założymy, że elementy mogą się
powtarzad?

3. Rozpatrujemy następujący zbiór cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ile liczb trzycyfrowych można utworzyd

z tego zbioru zakładając, że cyfry się nie powtarzają? Jak zmieni się sytuacja, gdy dopuścimy
możliwośd powtarzania się elementów?

4. Co oznacza, że przestrzeo zdarzeo elementarnych opisująca doświadczenie losowe jest

skooczona, przeliczalna, nieprzeliczalna? Podaj przykłady.

5. Przestrzeo



zdarzeo elementarnych

i



składa się z 6 elementów





6

5

4

3

2

1

,

,

,

,

,

















. Definiujemy następujące zdarzenia





5

4

3

1

,

,

,











A

oraz





6

3

2

,

,









B

. Wyznacz zdarzenia

)'

(

,

\

,

\

,

,

AB

A

B

B

A

AB

B

A



.

6. W fabryce pracują 3 niezależne maszyny oznaczone jako M

1

, M

2,

M

3

. Mechanik ma za zadanie

zapewnid, że w danym odcinku czasu maszyna pracuje prawidłowo. Zdarzenie A

i

oznacza, że

maszyna M

i

wymaga interwencji mechanika.

a. Określ przestrzeo zdarzeo elementarnych
b. Za pomocą zdarzeo elementarnych opisad zdarzenia A

1

, A

2

, A

3

, A

1

’, A

2

’, A

3

’

c. Opisz następujące zdarzenia za pomocą operacji koniunkcji, alternatywy i

dopełnienia wykonanych na zdarzeniach A

i

:

B

1

– zajście wszystkich trzech zdarzeo A

1

, A

2

, A

3

B

2

– niezajście żadnego ze zdarzeo A

1

, A

2

, A

3

B

3

– zajście tylko zdarzenia A

1

B

4

– zajście tylko jednego spośród zdarzeo A

1

, A

2

, A

3

B

5

– zajście co najmniej jednego ze zdarzeo A

1

, A

2

, A

3

B

6

– zajście tylko zdarzeo A

1

, A

2

,

B

7

– zajście dokładnie dwóch zdarzeo spośród A

1

, A

2

, A

3

B

8

– zajście co najmniej dwóch zdarzeo spośród A

1

, A

2

, A

3

B

9

– zajście co najwyżej jednego zdarzenia spośród A

1

, A

2

, A

3

d. Opisz zdarzenia B

i

za pomocą zdarzeo elementarnych

e. Podaj liczbę wszystkich zdarzeo w tym doświadczeniu
f. Wyznacz



-ciało zdarzeo przestrzeni zdarzeo elementarnych w tym doświadczeniu

g. Przyjmując, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne,

zbuduj przestrzeo probabilistyczną doświadczenia.

7. Na podstawie danych z poprzedniego zadania oblicz prawdopodobieostwo tego, że:

a. wszystkie 3 maszyny będą wymagały interwencji mechanika
b. dokładnie 2 maszyny będą wymagały interwencji mechanika

8.

Oblicz prawdopodobieostwo trafienia „szóstki” w dużym lotku.

2

9. W każdym opakowaniu znajdują się 4 sztuki towaru. Każda sztuka może spełniad

wymagania jakościowe lub ich nie spełniad. Kontrola jakości (doświadczenie) polega
na sprawdzeniu jakości wszystkich czterech sztuk. Zdarzenie A

i

oznacza zdarzenie, że

i-ta sztuka towaru spełnia wymagania jakościowe. Na tej podstawie:

a. Określ przestrzeo zdarzeo elementarnych
b. Za pomocą zdarzeo elementarnych opisz zdarzenie A

2

’.

c. Za pomocą zdarzeo A

i

opisz następujące zdarzenia:

B

1

– wszystkie elementy towaru spełniają wymagania

B

2

– żaden element w opakowaniu nie spełnia wymagao

B

3

– dokładnie jeden z elementów spełnia wymagania

B

4

– przynajmniej jeden z elementów spełnia wymagania

B

5

– co najwyżej jeden z elementów spełnia wymagania

d. Opisz zdarzenia B

i

za pomocą zdarzeo elementarnych

10. Niech Ω=[0,2]. Znajdź najmniejszą σ-ciało Z zawierającą rodzinę zbiorów



 







2

,

2

/

1

,

2

/

1

,

0



R