Testowanie hipotez – algorytm post powania:

1. zało

enia

próba losowa, elementy próby niezale

ne

2. hipotezy

•

hipoteza zerowa – zakłada brak ró

nic, np.

H

0

: p = p

0

H

0

:



=



0

H

0

:



1

=



2

•

hipoteza alternatywna np.
H

A

: p



p

0

H

A

:







0

H

A

:



1





2

lub
H

A1

: p < p

0

H

A1

:



>



0

H

A1

:



1

>



2

H

A2

: p > p

0

H

A2

:



<



0

H

A2

:



1

<



2

3. statystyka testu – funkcja elementów próby pozwalaj



ca ustali



czy hipotez



zerow



mo

emy odrzuci



czy nie.

4. reguła decyzyjna – przy jakich warto



ciach statystyki testu odrzucimy H

0

, a przy

jakich nie.

•

p-warto



– prawdopodobie

stwo popełnienia bł



du I rodzaju przy odrzuceniu H

0.

•

poziom istotno



ci – (



) na jaki bł



d I rodzaju mo

emy si



zgodzi



przy

podejmowaniu naszej decyzji.

•

obszar krytyczny (obszar odrzucenia)– zakres wyników do



wiadczenia dla

których odrzucimy H

0

.

5. badania i wyliczenie statystyki testu.

6. decyzja zgodnie z reguł



decyzyjn



.

Mo



liwe bł dy przy podejmowaniu decyzji

Je



li: H

0

: p = p

0

H

A1

: p < p

0

H

A2

: p > p

0

Stan faktyczny

H

A1

H

0

H

A2

H

A1

decyzja słuszna

Bł



d I rodzaju

Bł



d III rodzaju

H

0

Bł



d II rodzaju

decyzja słuszna

Bł



d II rodzaju

Podj



ta

decyzja

H

A2

Bł



d III rodzaju

Bł



d I rodzaju

decyzja słuszna

Przykład

Chcemy sprawdzi



stosunek płci w populacji pewnego gatunku. Czy wi



cej jest samców czy

samic?

1. Pobieramy prób



losow



n=10 osobników. Rozkład liczby osobników jednej z płci

w



ród 10 elementowej próby b



dzie rozkładem Bernoulliego.

2. Zakładamy,

e proporcja płci w populacji jest 1:1, wi



c prawdopodobie

stwo

wylosowania osobnika jednej z płci jest 0,5 – stan opisywany przez H

0

. Pozostałe

stany s



opisane przez hipotezy alternatywne.

H

0

: p=0,5

H

A1

: p>0,5

H

A2

: p<0,5

Jaki byłby rozkład prawdopodobie

stwa przy zało

eniu słuszno



ci H

0

? Mo

emy go

wyliczy



ze wzoru na prawdopodobie

stwo w rozkładzie Bernoulliego dla n = 10,

p = 0,5 i k = 0 do 10.

Liczba

sukcesów

prawdopodobie stwo

0

0.001

1

0.010

2

0.044

3

0.117

4

0.205

5

0.246

6

0.205

7

0.117

8

0.044

9

0.010

10

0.001

Czy odrzucimy H

0

je



li w naszej próbie znajd



si



4 osobniki jednej płci i 6 drugiej?

Nie, bo prawdopodobie

stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:

p = 0,754, wi



cej od = 0,05 czyli du

o.

Czy odrzucimy H

0

jak w naszej próbie znajdzie si



1 osobnik jednej płci i 9 drugiej?

Tak, bo prawdopodobie

stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:

p = 0,022 mniej ni

= 0,05 czyli mało.

Czy odrzucimy H

0

jak w naszej próbie znajdzie si



2 osobniki jednej płci i 8 drugiej?

Nie, bo prawdopodobie

stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:

p = 0,109 wi



cej ni

= 0,05 czyli za du

o.

Reguła decyzyjna:

Odrzucimy H

0

dla 0, 1, 9 i 10 sukcesów

Nie odrzucimy H

0

dla 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 sukcesów

Test dla frakcji

Hipotezy:

H

0

: p=p

0

H

A1

: p>p

0

H

A2

: p<p

0

Oszacowanie frakcji na podstawie próby:

ˆ

/

p

k n

=

.

Statystyka testu:

0

0

0

0

ˆp

p

u

p q

n

−

=

Warto



krytyczna:

{

}

:

u

P U

u

α

α

α

≥

=

.

Je



li

0

u

u

α

≥

, to na poziomie istotno



ci przyjmujemy hipotez



H

A1

: p>p

0

;

Je



li

0

u

u

α

≤ −

, to na poziomie istotno



ci przyjmujemy hipotez



H

A2

: p<p

0

;

Je



li

0

(

,

)

u

u u

α

α

∈ −

, to na poziomie istotno



ci nie mo

emy rozstrzygn



mi



dzy H

A1

a H

A2

.

Test równo ci dwu frakcji

Hipotezy:

H

0

: p

1

= p

2

H

A1

: p

1

> p

2

H

A2

: p

1

< p

2

Statystyka testu:

1

2

0

1

2

ˆ

ˆ

1

1

p

p

u

pq

n

n

−

=





+









gdzie

p jest



redni



wa

on



frakcji sukcesów w obu próbach:

1 1

2

2

1

2

ˆ

ˆ

p n

p n

p

n

n

+

=

+

Warto



krytyczna:

{

}

:

u

P U

u

α

α

α

≥

=

.

Je



li

0

u

u

α

≥

, to na poziomie istotno



ci przyjmujemy hipotez



H

A1

: p

1

>p

2

.

Je



li

0

u

u

α

≤ −

, to na poziomie istotno



ci przyjmujemy hipotez



H

A2

: p

1

<p

2

.

Je



li

0

(

,

)

u

u u

α

α

∈ −

, to na poziomie istotno



ci nie mo

emy rozstrzygn



mi



dzy H

A1

a H

A2

.