Testowanie hipotez – algorytm post powania:

1. zało enia

próba losowa, elementy próby niezale ne

2. hipotezy

• hipoteza zerowa – zakłada brak ró nic, np.

H0: p = p0

H0: = 0

H0: 1 = 2

• hipoteza alternatywna np.

HA: p p0

HA: 0

HA: 1 2

lub

HA1: p < p0

HA1: > 0

HA1: 1 > 2

HA2: p > p0

HA2: < 0

HA2: 1 < 2

3. statystyka testu – funkcja elementów próby pozwalaj ca ustali czy hipotez zerow

mo emy odrzuci czy nie.

4. reguła decyzyjna – przy jakich warto ciach statystyki testu odrzucimy H0, a przy

jakich nie.

•

p-warto – prawdopodobie stwo popełnienia bł du I rodzaju przy odrzuceniu H0.

• poziom istotno ci – ( ) na jaki bł d I rodzaju mo emy si zgodzi przy

podejmowaniu naszej decyzji.

• obszar krytyczny (obszar odrzucenia)– zakres wyników do wiadczenia dla

których odrzucimy H0.

5. badania i wyliczenie statystyki testu.

6. decyzja zgodnie z reguł decyzyjn .

Mo liwe bł dy przy podejmowaniu decyzji

Je li: H0: p = p0

HA1: p < p0

HA2: p > p0

Stan faktyczny

HA1

H0

HA2

HA1 decyzja słuszna

Bł d I rodzaju

Bł d III rodzaju

Podj ta

H0

Bł d II rodzaju

decyzja słuszna

Bł d II rodzaju

decyzja HA2 Bł d III rodzaju Bł d I rodzaju decyzja słuszna

Przykład

Chcemy sprawdzi stosunek płci w populacji pewnego gatunku. Czy wi cej jest samców czy

samic?

1. Pobieramy prób losow n=10 osobników. Rozkład liczby osobników jednej z płci

w ród 10 elementowej próby b dzie rozkładem Bernoulliego.

2. Zakładamy, e proporcja płci w populacji jest 1:1, wi c prawdopodobie stwo

wylosowania osobnika jednej z płci jest 0,5 – stan opisywany przez H0. Pozostałe stany s opisane przez hipotezy alternatywne.

H0: p=0,5

HA1: p>0,5

HA2: p<0,5

Jaki byłby rozkład prawdopodobie stwa przy zało eniu słuszno ci H0? Mo emy go

wyliczy ze wzoru na prawdopodobie stwo w rozkładzie Bernoulliego dla n = 10,

p = 0,5 i k = 0 do 10.

Liczba prawdopodobie stwo

sukcesów

0

0.001

1

0.010

2

0.044

3

0.117

4

0.205

5

0.246

6

0.205

7

0.117

8

0.044

9

0.010

10

0.001

Czy odrzucimy H0 je li w naszej próbie znajd si 4 osobniki jednej płci i 6 drugiej?

Nie, bo prawdopodobie stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi: p = 0,754, wi cej od = 0,05 czyli du o.

Czy odrzucimy H0 jak w naszej próbie znajdzie si 1 osobnik jednej płci i 9 drugiej?

Tak, bo prawdopodobie stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi: p = 0,022 mniej ni = 0,05 czyli mało.

Czy odrzucimy H0 jak w naszej próbie znajdzie si 2 osobniki jednej płci i 8 drugiej?

Nie, bo prawdopodobie stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi: p = 0,109 wi cej ni = 0,05 czyli za du o.

Reguła decyzyjna:

Odrzucimy H0 dla 0, 1, 9 i 10 sukcesów

Nie odrzucimy H0 dla 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 sukcesów

Test dla frakcji

Hipotezy:

H 0: p= p 0

H A1: p> p 0

H A2: p< p 0

Oszacowanie frakcji na podstawie próby: ˆ p = k / n .

ˆ p − p

Statystyka testu:

0

u =

0

p q

0

0

n

Warto krytyczna: u : P{ U ≥ u =α .

α

α }

Je li

≥ , to na poziomie istotno ci przyjmujemy hipotez H A1: p> p 0;

u

u

0

α

Je li u ≤ u

− , to na poziomie istotno ci przyjmujemy hipotez H A2: p< p 0;

0

α

Je li u ∈( u

− , u ) , to na poziomie istotno ci nie mo emy rozstrzygn mi dzy H A1 a H A2.

0

α

α

Test równo ci dwu frakcji

Hipotezy:

H 0 : p 1 = p 2

H A1 : p 1 > p 2

H A2 : p 1 < p 2

ˆ p − ˆ p

Statystyka testu:

1

2

u =

0

 1

1 

pq 

+



 n

n 

1

2

ˆ p n + ˆ p n

gdzie p jest redni wa on frakcji sukcesów w obu próbach: 1 1

2

2

p =

n +

n

1

2

Warto krytyczna: u : P{ U ≥ u =α .

α

α }

Je li u ≥ u , to na poziomie istotno ci przyjmujemy hipotez H A1: p 1> p 2.

0

α

Je li u ≤ u

− , to na poziomie istotno ci przyjmujemy hipotez H A2: p 1< p 2.

0

α

Je li u ∈( u

− , u ) , to na poziomie istotno ci nie mo emy rozstrzygn mi dzy H A1 a H A2.

0

α

α