1.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e

−3y

(2x

2

− y

2

).

2.

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = xy na zbiorze

x

2

8

+

y

2

2

≤ 1.

3.

Wykazać, że funkcja f (x, y) = 3x

2

+ y

3

+ 12xy − 27y jest wypukła na zbiorze W = {(x, y) ∈ R

2

: y > 4}.

Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze W .

4

. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y, z, w)) = x

2

+ 2y

2

+ 3z

2

+ 4w

2

na zbiorze

x

2

+ y

2

+ z

2

+ w

2

≤ 1.

k2, 7.05.09

Uwaga.

Należy wybrać trzy zadania. Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać 6 punktów. Na

ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 10 punktów z dwóch zadań.

1.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 30x − 18y.

2.

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = xy na zbiorze

x

2

8

+

y

2

2

≤ 1.

3.

Wykazać, że funkcja f (x, y) = 3x

2

+ y

3

+ 12xy − 27y jest wypukła na zbiorze W = {(x, y) ∈ R

2

: y > 4}.

Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze W .

4

. Wyznaczyć punkty, w których funkcja f (x, y, z)) = 2x + y

2

+ z

2

może mieć ekstremum warunkowe na

zbiorze x

2

+ y

2

+ 2z = 0.

k2, 7.05.09

Uwaga.

Należy wybrać trzy zadania. Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać 6 punktów. Na

ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 10 punktów z dwóch zadań.

1.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = xy

2

+

1

x

+

2

y

określonej dla x 6= 0 oraz y 6= 0.

2.

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = xy na zbiorze

x

2

8

+

y

2

2

≤ 1.

3.

Wykazać, że funkcja f (x, y) = 3x

2

+ y

3

+ 12xy − 27y jest wypukła na zbiorze W = {(x, y) ∈ R

2

: y > 4}.

Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze W .

4

. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y, z, w)) = x

2

+ 2y

2

+ 3z

2

+ 4w

2

na zbiorze

x

2

+ y

2

+ z

2

+ w

2

≤ 1.

k2, 7.05.09

Uwaga.

Należy wybrać trzy zadania. Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać 6 punktów. Na

ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 10 punktów z dwóch zadań.

1.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 30x − 18y.

2.

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = xy na zbiorze

x

2

8

+

y

2

2

≤ 1.

3.

Wykazać, że funkcja f (x, y) = 3x

2

+ y

3

+ 12xy − 27y jest wypukła na zbiorze W = {(x, y) ∈ R

2

: y > 4}.

Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze W .

4

. Wyznaczyć punkty, w których funkcja f (x, y, z)) = 2x + y

2

+ z

2

może mieć ekstremum warunkowe na

zbiorze x

2

+ y

2

+ 2z = 0.

k2, 7.05.09

Uwaga.

Należy wybrać trzy zadania. Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać 6 punktów. Na

ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 10 punktów z dwóch zadań.