WEKTORY

Zdanie 4.1
Cztery jednakowe siłomierze, każdy o ciężarze Q = 1 N, zawieszono jeden pod drugim, a na najniższym
zawieszono obciążnik o ciężarze P = 2 N. Jakie będą wskazania każdego z siłomierzy?
Odp. 2N, 3N, 4N, 5N

Zadanie 4.2
Dwie siły działają wzdłuż dowolnych kierunków, a ich wartości są odpowiednio równe: P

1

= 250 N i

P

2

= 750 N. Ich wypadkowa może mieć wartość:

a) O N b) 100 N
c) 800 N d) 1100 N

Zadanie 4.3
Dane są dwie siły o wartościach 10 N i 30 N. Która z następujących sił nie może być wypadkową tych sił?

a) 12 N b) 25 N
c) 36 N d) 45 N

Zadanie 4.4
Holownik ciągnie dwie barki - jak na rysunku 4.1. Wszystkie odcinki holu są jednakowo wytrzymałe. Który z nich
najszybciej się urwie w wypadku przekroczenia jego wytrzymałości: A-B, B-C czy B-D?

Odp. A - B

Zadanie 4.5
Dwie siły o wartościach F

1

= 30 N i F

2

= 40 N działają w kierunkach wzajemnie prostopadłych. Jaką wartość ma

siła wypadkowa? Jaki kąt tworzy ona z wektorem F

1

?

Odp. F = 50 N; α = 53

0

Zadanie 4.6
Trzy jednakowe siły, każda o wartości F = 25 N, działają wzdłuż trzech kierunków tworzących kąty
α = β = γ =120°, jak na rysunku 4.2. Wypadkowa siła ma wartość:

a) O N b) 25 N
c) 50 N d) 75 N

Zadanie 4.7
Statek płynie po jeziorze wzdłuż linii prostej z szybkością v

1

= 30 km/h względem brzegu. Przed statkiem

kursem prostopadłym płynie motorówka, zbliżając się do statku. Jaka jest prędkość motorówki, jeżeli ze statku
widać, że zbliża się ona do niego pod kątem α = 60°?
Odp. v

m

= 52 km/h

Zadanie 4.8

Statek pasażerski regularnie kursuje po rzece między portami A i B. W górę rzeki statek płynie z szybkością v

1

=

15 km/h względem brzegów, natomiast w dół rzeki - z szybkością v

2

= 25 km/h względem brzegów. Z jaką

szybkością płynie woda w rzece? Jaka jest szybkość statku względem wody?
Odp. v

s

= 20 km/h; v

r

= 5 km/h

Zadanie 4.9
Szybkość łódki względem wody w rzece jest n razy większa od szybkości, z jaką płynie woda. Ile razy dłużej
będzie trwała podróż łódką pod prąd w górę rzeki w stosunku do czasu potrzebnego na powrót w dół rzeki do
portu macierzystego?

Zadanie 4.10
Rybak płynął łódką w górę rzeki. W pewnym momencie zgubił czerpak, który wpadł do wody i popłynął
unoszony prądem rzeki. Brak czerpaka rybak zauważył dopiero po upływie t

1

= 0,5 godziny i natychmiast za-

wrócił, płynąc w dół rzeki w pogoni za zgubą z taką samą szybkością względem wody jak pod prąd. Czerpak
dogonił w odległości s = 5 km od miejsca zgubienia. Z jaką szybkością płynie woda w rzece?
Odp. v = 5 km/h

Zadanie 4.11
Młodzieniec postanowił przepłynąć wpław rzekę. Pod jakim kątem a do brzegu powinien płynąć, aby znaleźć się
dokładnie naprzeciwko miejsca startu? Jego szybkość względem wody wynosi v, natomiast szybkość wody w
rzece wynosi u. Przyjmij jednakową szybkość prądu na całej szerokości rzeki. Wskazówka; pod jakim kątem do
brzegu powinna być skierowana wypadkowa prędkość pływaka?

Zadanie 4.12
Łyżwiarz rozpędzi wszy się do szybkości v = 10 m/s, wjechał z rozpędu na lodową górkę. Na jaką wysokość
wjechał na tę górkę? Tarcie i opór powietrza można zaniedbać.
Odp. h = 5,1 m

Zadanie 4.13
Popchnięta kulka zaczyna toczyć się pod górę z szybkością początkową v

0

po płaszczyźnie nachylonej do

poziomu pod kątem α. Po jakim czasie kulka znajdzie się w miejscu startu? Tarcie i opór powietrza można
zaniedbać.

Zadanie 4.14
Ze szczytu równi pochyłej zaczął zsuwać się krążek. Z dołu równi ku górze poruszał się w tym czasie drugi
krążek, który w chwil i startu pierwszego miał szybkość v

0

=5 m/s. Obydwa poruszają się bez tarcia. Po jakim

czasie krążki się spotkają, jeżeli początkowa odległość między nimi wynosiła l = 3 m?
Odp. t = 0,6 s

Zadanie 4.15
Ze szczytu ośnieżonej górki po dwu stokach zaczęli zjeżdżać na sankach dwaj chłopcy, których masy wraz z
sankami były jednakowe (rysunek 4.3.). Stok A jest dwa razy dłuższy niż stok B. Chłopiec zjeżdżający po stoku A
będzie miał u podnóża góry szybkość (nie uwzględniamy tarcia):

a) dwa razy mniejszą niż chłopiec jadący po stoku B,
b) dwa razy większą niż chłopiec jadący po stoku B,
c) cztery razy większą niż chłopiec jadący po stoku B,
d) taką samą jak chłopiec jadący po stoku B.

Zadanie 4.16
Dany jest szereg równi pochyłych o takiej samej podstawie i różnych kątach nachylenia. Przy jakim kącie a
nachylenia równi pochyłej do poziomu umieszczony na jej szczycie ciężarek będzie zsuwał się najkrócej? Należy
założyć, że ciężarek może zsuwać się z tej równi bez oporów ruchu.
Odp. α = 45

o

Zadanie 4.17

Z gładkiego klina o kącie nachylenia α = 30° zsuwa się klocek sześcienny o masie m = 5 kg, który dodatkowo
ściągany jest siłą o wartości F= 30 N działającą poziomo, jak pokazano na rysunku 4.4. Z jakim
przyspieszeniem klocek zsuwa się w dół klina?

Odp. a = 10,1 m/s

2

Zadanie 4.18
Na równi pochyłej umieszczono dwa ciężarki połączone nicią przerzuconą przez bloczek, którego masę można
zaniedbać (rysunek 4.5.). Z jakim przyspieszeniem będą poruszać się ciężarki i w którą stronę, jeżeli mają masy
m

1

= 300 g, m

2

= 200 g, a kąt nachylenia równi do poziomu jest równy α = 30°?

Odp. a = - 0,98 m/s

2

Zadanie 4.19
Na szczycie dwóch, stanowiących jedną całość równi pochyłych umocowany jest niewielki nieruchomy bloczek
(rysunek 4.6.). Przez bloczek przerzucono nić, na końcach której umocowano dwa ciężarki o masach m

1

i m

2

Nachylenia równi są odpowiednio równe α = 30° i β = 45°. jaki powinien być stosunek mas ciężarków, aby
układ był w równowadze?

Zadanie 4.20
Jaką siłą należy działać na ciało o masie m = 5 kg, aby spadało ono z przyspieszeniem a = 15 m/s

2

?

Odp. F = 26 N

Zadanie 4.21
Prędkość spadającej ołowianej kulki wynosiła w pewnym momencie v

1

= 2,92 m/s wzrosła do v

2

=7,82 m/s.

Zakładając, że kulka spadała ruchem jednostajnie przyspieszonym, oblicz przyspieszenie tego ruchu.
Odp. a = 9,8 m/s

2

Zadanie 4.22
W czasie zawodów sportowych zmierzono szybkość, z jaką skoczek z wieży wpada do wody. Wynosiła ona v =
9,8 m/s. Jak długo trwał skok zawodnika? Przyjmij, że prędkość początkowa nie ma składowej pionowej.
Odp. t = 1 s

Zadanie 4.23
Jeden kamień spada z wysokości h

1

= 100 cm, natomiast drugi z wysokości h

2

= 400 cm. Ile razy dłużej będzie

spadał drugi kamień?
Odp. n = 2

Zadanie 4.24
Na jakiej wysokości nad poziomem ziemi będzie znajdował się kamień puszczony z wysokości 400 cm w
momencie, kiedy kamień puszczony z wysokości 100 cm spadnie na ziemię?

a) 2 m b) 2,5 m
c) 3 m d) 3,5 m

Zadanie 4.25
Swobodnie spadający kamyk na pewnej wysokości h

1

osiągnął szybkość v

1

= 10 m/s, a na mniejszej wysokości

h

2

osiągnął szybkość V

2

= 30 m/s. Jak długo spadał kamyk z wysokości h

1

do wysokości h

2

?

a) około 1 s b) około 2 s
c) około 4 s d) około 20 s

Zadanie 4.26
Z wieży puszczono swobodnie kamyk i stwierdzono, że w ostatniej sekundzie ruchu kamyk przebył ¾ całej
drogi. Jaką wysokość ma wieża?
Odp. ok. 15 min

Zadanie 4.27
Spadochroniarzowi opadającemu ze stałą szybkością v = 5 m/s, na wysokości h = 10 m nad ziemią wypadł
niewielki przedmiot. O ile później spadochroniarz opadnie na ziemię od upuszczonego przedmiotu, jeżeli na
przedmiot ten nie działały żadne siły oporu?
Odp. Δt = 1s

Zadanie 4.28
Od krawędzi dachu odrywają się kolejno, w pewnym odstępie czasu, dwie krople wody. Po t = 2 s od chwili
rozpoczęcia swobodnego spadania drugiej kropli odległość między kroplami wynosiła s = 25 m. W jakim odstę-
pie czasu krople oderwały się od dachu?

Zadanie 4.29
Niewielki kamień rzucono pionowo do góry z szybkością początkową v = 25 m/s. Funkcja y(t) = 25 t -4,9t

2

przedstawia zależność od czasu:

a) wysokości, na jakiej znajduje się kamień,
b) nie ma związku z ruchem kamienia,
c) prędkości kamienia,
d) przyspieszenia kamienia.

Zadanie 4.30
Z wysokiej wieży rzucono jednocześnie dwie metalowe kulki z jednakowymi szybkościami początkowymi v , przy
czym pierwszą z nich pionowo do dołu, a drugą pionowo do góry. Jak będzie się zmieniać z upływem czasu
odległość między nimi? Ile będzie ona wynosić, kiedy rzucona do góry kulka osiągnie maksymalną wysokość?
Wskazówka: jakim ruchem porusza się kulka II względem kulki I?

Zadanie 4.31
Dwa niewielkie kamyki rzucono pionowo do góry z jednakowymi prędkościami początkowymi o wartości V

0

,

ale w pewnym odstępie czasu Δt jeden po drugim. Z jaką prędkością będzie poruszał się drugi kamyk względem
pierwszego?

Zadanie 4.32
Rzucony pionowo do góry kamień w czasie swojego wznoszenia i spadania znalazł się dwa razy na tej samej
wysokości h = 20 m w odstępie czasu t = 3 s. Z jaką prędkością początkową wyrzucono kamień do góry?
Odp. v

0

= 24,7 m/s

Zadanie 4.33
Dwa kamienie rzucono jednocześnie z wieży z jednakowymi prędkościami początkowymi o wartości
v

0

= 5 m/s, przy czym jeden pionowo do góry, a drugi pionowo w dół. W jakim odstępie czasu upadną te

kamienie u podnóża wieży?
Odp. Δt = 1,02 s

Zadanie 4.34.
Swobodnie spadający przedmiot na wysokości h

1

, miał prędkość v

1

= 20 m/s, natomiast na wysokości h

2

jego

prędkość wynosiła v

2

= 40 m/s. Jaka jest różnica wysokości Δh = h

1 -

h

2

?

Odp. Δh = 61,2 m

Zadanie 4.35

Jaką wartość ma średnia siła oporu powietrza, jeżeli swobodnie spadający przedmiot o masie m = 2 kg po-
rusza się z przyspieszeniem o wartości a = 8 m/s

2

?

Odp. F

0

= 3,6 N

Zadanie 4.36
Kamień rzucony poziomo z wieży z prędkością o wartości v = 10 m/s upadł u jej podnóża w odległości
równej wysokości, z jakiej został rzucony. W jakiej odległości od wieży upadł kamień?
Odp. z = h = 20,4 m

Zadanie 4.37
Trzy kamienie rzucono z wieży o wysokości h. Dwa poziomo, przy czym pierwszemu nadano prędkość
początkową o wartości 2v

0

drugiemu prędkość początkową o wartości v

0

, natomiast trzeci spadł swobodnie z

wieży (tzn. jego prędkość początkowa była równa zeru). Który z nich spadał najkrócej?

a) pierwszy kamień
b) drugi kamień
c)trzeci kamień
d) wszystkie spadły w jednakowym czasie

Zadanie 4.38
Z wysokiego, urwistego brzegu rzeki wznoszącego się h = 20 m nad jej poziomem rzucono poziomo kamyk z
prędkością początkową o wartości v

0

= l O m/s. Po jakim czasie kamyk wpadnie do wody?

Odp. t = 2s

Zadanie 4.39
Ze śmigłowca lecącego poziomo ze stałą prędkością upuszczono na pewnej wysokości niewielki ciężarek.
Zakładamy, że nie ma żadnych oporów ruchu ciężarka. Upadnie on w stosunku do lecącego śmigłowca:

a) daleko przed śmigłowcem,
b) dokładnie pod śmigłowcem,
c) daleko za śmigłowcem,
a)

zbyt mało danych, by określić miejsce upadku ciężarka na ziemię względem lecącego śmigłowca.

Zadanie 4.40
Ze śmigłowca lecącego poziomo nad wodą na wysokości h = 400 m z prędkością o wartości V

1

= 50 m/s

wypada niewielki przedmiot. Po wodzie płynie motorówka z prędkością o wartości v

2

= 10 m/s. Jej kierunek

ruchu porywa się dokładnie z kierunkiem lotu śmigłowca i obydwie maszyny zbliżają się do siebie. W jakiej
odległości, licząc po powierzchni wody, powinna znajdować się motorówka od śmigłowca w momencie
wypadnięcia przedmiotu, aby ten wpadł do motorówki?
Odp. x = 542 m

Zadanie 4.41
Kamień rzucony poziomo z wysokiego brzegu po czasie t = 0,5 s osiągnął szybkość n = 1,5 raza większą od
szybkości początkowej. Z jaką szybkością rzucono kamień?
Odp. v

0

= 4,4 m/s

Zadanie 4.42
Kamień rzucony poziomo na pewnej wysokości upadł na ziemię po czasie Δt = 1 s od chwili wyrzucenia, w
odległości l = 10 m, jeśli liczyć tę odległość w poziomie od punktu wyrzucenia. Z jaką szybkością początkową v

0

rzucono kamień?

a) 9,80 m/s
b) 0 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s

Zadanie 4.43
Z pewnej wysokości h rzucono jednocześnie dwa kamyki, nadając im początkową szybkość poziomą;
pierwszemu v

1

=10 m/s, a drugiemu v

2

=15 m/s. Obydwa jednocześnie upadły na ziemie, przy czym pierwszy

upadł w odległości l

1

= 20 m, licząc w poziomie od punktu wyrzucenia go. Z jakiej wysokości rzucono kamyki,

jak długo leciały do momentu upadku i jaki był zasięg rzutu drugiego kamyka?
Odp. t = 2s; h = 19,6 m; l

2

= 30m

Zadanie 4.44

Piłka rzucona poziomo uderzyła w przeciwległą ścianę oddaloną o l = 5 m na wysokości h

1

= 1,5 m poniżej

wysokości, z której była rzucona. Z jaką szybkością rzucono piłkę?
Odp. v

0

= 9m/s

Zadanie 4.45
Niewielką, metalowa kulka, rzucona poziomo, po upływie czasu Δt = 0,75 s miała prędkość n = 1,25 raza
większą od prędkości początkowej. Jaka była prędkość początkowa, jeżeli opory ruchu kulki można zaniedbać?
Odp. v

0

= 9,8 m/s

Zadanie 4.46
Kamień rzucono poziomo na pewnej wysokości z prędkością początkową o wartości v

0

= 20 m/s. Po jakim

czasie od chwili wyrzucenia kamienia kierunek jego prędkości chwilowej będzie tworzył z poziomem kąt
α = 45°?
Odp. t = 2,04 s

Zadanie 4.47
Z wysokości h = 2 m rzucono poziomo niewielką kulkę tak, że kierunek jej prędkości chwilowej w momencie
uderzenia kulki o ziemię tworzył z poziomem kąt α = 45°. W jakiej odległości od miejsca wyrzucenia, licząc w
poziomie, upadła kulka?
Odp. z = 4m

Zadanie 4.48
Niewielki ciężarek rzucono pod kątem α = 30° do poziomu z prędkością początkową o wartości v

0

= 20 m/s.

Na jaką wysokość wzniesie się ten ciężarek?

a) około 5 m b) około 10 m
c) około 20 m d) około 25 m

Zadanie 4.49
Kamień rzucono pod kątem α = 45° do poziomu z prędkością początkową o wartości v

0

=10 m/s. jak długo

będzie on leciał do momentu upadku?

a) około 0,7 s b) około 1,4 s
c) około 2,1 s d) około 5 s

Zadanie 4.50
Kaskader przeskakujący na motocyklu nad dachami ustawionych obok siebie autobusów rozpędzał się tak, że
jego prędkość początkowa w chwili opuszczania rampy miała wartość

V

0

= 16 m/s (rysunek 4.7.). Kąt nachyle-

nia rampy do poziomu wynosił α = 30°. Ile autobusów mógł bezpiecznie przeskoczyć kaskader, jeżeli autobus
ma szerokość a = 2,5 m?

a) 9 b) 10
c) 11 d) 12

Zadanie 4.51
Kamień rzucono ukośnie pod kątem α do poziomu, z prędkością początkową o wartości

V

Q

. Narysuj wykresy:

zależności składowej pionowej prędkości V

1

od czasu, zależności współrzędnych położenia kamienia x i y od

czasu, przy założeniu, że początek układu współrzędnych znajduje się w punkcie wylotu kamienia.

Zadanie 4.52
Metalowa kulka, rzucona ukośnie pod kątem α = 30° do poziomu, dwukrotnie znalazła się na tej samej
wysokości. Raz po upływie czasu t

1

= 0,3 s od chwili wyrzucenia, a drugi raz po czasie t

2

= 0,5 s. Oblicz wartość

prędkości początkowej kulki v

0

.

Odp. v

0

= 7,85 m/s

Zadanie 4.53
Dwa kamyki rzucono ukośnie z jednego miejsca pod różnymi kątami α

1

i α

2

do poziomu. Jaki był stosunek

wartości ich prędkości początkowych

V

1

i v

2

, jeżeli kamyki upadły w tym samym miejscu?

Zadanie 4.54
Jaką prędkość będzie miał na wysokości h = 5 m kamień rzucony ukośnie z prędkością początkową o wartości
V

0

= 20 m/s ?

Odp. v = 17,4 m/s

Zadanie 4.55
Z dwu wież o jednakowej wysokości h = 100 m odległych o l = 50 m wyrzucono poziomo jednocześnie
dwa przedmioty (rysunek 4.8.) z prędkościami o wartościach v

1

= 10 m/s i v

2

= 15 m/s. Po jakim czasie i na

jakiej wysokości zderzą się te przedmioty?

Odp. t = 2s; h

1

= 80m