3.3. Nad środkiem sztucznego zbiornika wody w kształcie koła o pro­mieniu r = 4 m zawieszono lampę na wysokości H = 4 m. Jak daleko może odejść od brzegu zbiornika człowiek o wzroście h = 1,75 m, aby jeszcze wi­dział odbicie światła w wodzie?

3.4. Na leżące poziomo lusterko pada pionowo promień światła. Lusterko zostało odchylone o kąt a. Jaki kąt bę­dzie teraz tworzył odbity promień świa­tła z promieniem padającym?

a)0°

b)0,5·

c) 

d)2·

3.5. Kiedy światło przechodzące z jednego ośrodka optycznego do dru­giego zwiększy swoją szybkość?

1. gdy kąt załamania będzie więk­szy od kąta padania

2. gdy kąt załamania będzie równy kątowi padania

3. gdy kąt załamania będzie mniej­szy od kąta padania

4. gdy światło ulegnie częściowemu odbiciu na granicy ośrodków

3.6. Jaka musi być grubość szkla­nej płyty, aby światło padające prosto­padle na jej powierzchnię po przejściu przez płytę było opóźnione w stosunku do promienia biegnącego w powietrzu o t = 1 s? Współczynnik załamania szkła n= 1,5.

a)6 m

b)60m

c)600 m

d)6km

3.7. Szybkość światła w pewnym ośrodku optycznym v = 2·10⁸
. Jaki jest bezwzględny współczynnik załama­nia światła w tym ośrodku?

3.8. Jaka będzie długość fali światła fioletowego po przejściu z wody do próżni, jeżeli szybkość jego rozcho­dzenia się w próżni c = 300·10⁶
? Częstotliwość światła fioletowego f =7,5·10^l4Hz.

3.9. Promień świetlny w czasie t przebywa w próżni odległość l₁= 3,0 m, a światło o tej samej częstotliwości prze­biega w tym czasie w cieczy odległość l₂ = 2,5 m. Ile wynosi współczynnik za­łamania cieczy?

3.10. Promień światła biegnący w powietrzu pada na powierzchnię cie­czy pod kątem  = 30°. Jaki jest kąt zała­mania  w cieczy, jeżeli szybkość świa­tła w tej cieczy v = 2_/1·10⁸
?

3.11. Promień świetlny biegnący w powietrzu (ośrodek I) pada pod kątem = 45° na powierzchnię rozdzielającą ośrodek II od powietrza, załamuje się pod kątem  = 30" i biegnie dalej w ośrodku II. Z jaką szybkością rozcho­dzi się światło w tym ośrodku?

3.12. Ile razy mniejsza jest szyb­kość światła w diamencie o bezwzględ­nym współczynniku załamania światła n₁ = 2,46 od szybkości światła w krysz­tale cukru o bezwzględnym współczyn­niku załamania światła n₂ = 1,56?

3.13. W warstwie szkła o grubo­ści d = 100 m mieści się k = 300 dłu­gości fali monochromatycznego światła przebiegającego przez szkło prostopadle do granicy ośrodków. Jaka jest długość fali tego światła w próżni, jeżeli współ­czynnik załamania szkła n = 1,5?

a) 200 nm

b) 300 nm

c) 450 nm

d) 500 nm

3.14. Na dnie zbiornika wodne­go o głębokości h = 2m leży niewielkie lusterko. Na lusterko skierowano znad zbiornika promień światła, który po od­biciu się od lusterka wyszedł z wody w odległości /= 1,5 m od miejsca wej­ścia w wodę. Pod jakim kątem a światło padało na wodę? Współczynnik załama­nia wody n= 1,33.

3.15. Na płaskim dnie jeziora o głębokości h= 2,4 m leży lusterko. Pro­mień słońca padający na wodę pod ką­tem a = 30° załamuje się, odbija od lu­sterka i wychodzi ponownie z wody. W jakiej odległości od siebie znajdują się punkty przejścia światła przez po­wierzchnię wody? Współczynnik zała­mania wody n= 1,33.

3.16. Kąt padania światła na gra­nicę dwóch różnych ośrodków optycz­nych jest równy _ a kąt załamania jest równy _ W którym ośrodku i ile razy światło porusza się szybciej, jeżeli
?

a) w I k =
razy szybciej

b)w ll k =
razy szybciej

c) w I k = 2
razy szybciej

d) w II k =2
razy szybciej

3.17. Pod jakim kątem powinien padać promień światła na powierzchnię rozdzielającą wodę i szkło, aby promień odbity był prostopadły do promienia załamanego? Współczynniki załamania światła szkła i wody wynoszą odpowied­nio n = 1,5, n = 1,33.

3.18. Na dnie akwarium napeł­nionego wodą do wysokości h = 40 cm leży płaski kamyk. Gdy patrzymy nań znad powierzchni wody, wydaje nam się, że znajduje się on bliżej powierzchni. Jak głębokość tę oceni obserwator pa­trzący znad wody pod kątem  = 30° do pionu? Współczynnik załamania wody n=1,33.

13.19. Promień światła pada na płaską równoległościenną płytkę szkla­ną pod kątem  = 30° i wychodzi z niej przesunięty w stosunku do promienia padającego o odległość d = 0,97 mm. Jaka jest grubość d płytki, jeżeli bezwzględny współczynnik załamania płytki n= 1,5?

3.20. Światło pada na granicę ośrodków pod kątem  = 30° i przecho­dzi do ośrodka II. Pod jakim kątem do normalnej będzie biegł promień załama­ny, jeśli szybkość rozchodzenia się światła w pierwszym ośrodku v₁= 225·10⁵
, a w drugim v₂ = 200·10⁵
?

3.21. Promień światła pada na granicę ośrodków pod kątem _ = 35° i załamuje się pod kątem _ = 25°. Pod jakim kątem załamie się promień świa­tła padający na granicę tych ośrodków pod kątem ₂ = 50°?

3.22. W dno stawu o głębokości A = 2m wbity jest pionowo pal, którego koniec o długości l= 50 cm wystaje nad powierzchnię wody. Jakiej długości cień rzuca pal na dno stawu, jeżeli promie­nie słońca padają na ziemię pod kątem  = 45°? Współczynnik załamania wody n = 1,33.

3.23. Nad powierzchnią jeziora na wysokości h = 3 m zawieszona jest żarówka. Na jakiej wysokości nad po­wierzchnią wody będzie widział tę ża­rówkę płetwonurek zanurzony w jezio­rze? Przyjmij, że kąty padania i załama­nia są tak małe, że można stosować przy­bliżenie tgx
x. Współczynnik zała­mania wody n = 1,33.

3.24. Współczynnik załamania szkła względem wody n₁ = 1,16, a względem powietrza n₂ = 1,54. Z jaką szybkością porusza się światło w wo­dzie? Przyjmij, że szybkość światła w po­wietrzu nie różni się od szybkości świa­tła w próżni.

3.25. Ile razy współczynnik zała­mania światła ośrodka I jest większy od współczynnika załamania ośrodka II, je­żeli przy przechodzeniu światła z ośrodka I do ośrodka II kąt, przy którym następuje całkowite wewnętrzne odbicie,  = 30°?

a) n₁ : n₂ = 0,5

b) n₁ : n₂ = 1,0

c) n₁ : n₂ = 1,5

d) n₁ : n₂ = 2,0

3.26. Jaka jest szybkość światła w pewnym przezroczystym tworzywie, jeżeli kąt całkowitego wewnętrznego od­bicia promienia na granicy tej substan­cji i powietrza = 45°?

3.27. Dla jakiej najmniejszej war­tości kąta łamiącego pryzmatu ę pro­mień światła ulegnie całkowitemu we­wnętrznemu odbiciu wewnątrz pryzmatu? Współczynnik załamania światła szkła, z którego wykonany jest pryzmat n= 1,6.

3.28. Nieprzezroczyste cylin­dryczne naczynie wysokości h = 20 cm wypełnione jest wodą. W środku dna na­czynia umieszczone jest punktowe źró­dło światła. Jaka co najwyżej może być

średnica naczynia, aby wszystkie pro­mienie świetlne biegnące bezpośrednio do powierzchni wody wydostawały się na zewnątrz? Współczynnik załamania wody n= 1,33.

3.29. Jaki jest kąt a całkowitego wewnętrznego odbicia światła na grani­cy oleju i powietrza, jeżeli światło w ole­ju porusza się z szybkością V= 210⁸
?

3.30. Stosunek długości fali świa­tła w ośrodku II do długości fali tego światła w ośrodku I K= 2. Pod jakim naj­większym kątem _gr może padać świa­tło z ośrodka I na granicę z ośrodkiem II, aby nie uległo całkowitemu wewnętrz­nemu odbiciu?

4. Zwierciadła kuliste

Wprowadzenie

Ognisko F zwierciadła wklęsłego jest to punkt, w którym przecinają się wszystkie pro­mienie światła odbite od zwierciadła, padające na jego powierzchnię równolegle do osi optycznej.

• ZWIERCIADŁO WKLĘSŁE - KONSTRUKCJA OBRAZU

Ze źródła światła A (przedmiotu) można wy­prowadzić trzy charakterystyczne promienie: 1 -promień równoległy do osi optycznej, który po odbiciu od zwierciadła przechodzi przez ognisko F (zgodnie z definicją ogniska); 2 - promień padający na zwierciadło po przejściu przez ognisko, który po odbiciu od zwierciadła biegnie równolegle do osi optycznej; 3 - promień padający na środek zwierciadła, który po odbiciu od zwierciadła biegnie symetrycznie do promienia padającego. Wszystkie trzy promienie przecinają się w jednym punkcie B określa­jącym położenie obrazu. Na rysunku I. oznaczono oś optyczną OO₁ ognisko F, punkty A przedmiotu i B obrazu, wysokości h przedmiotu i H obrazu, odległości x przedmiotu i y obrazu od zwierciadła. Trzeba podkreślić, że jest to tylko sposób skonstruowania obrazu w zwierciadle; rzeczywiste promienie światła mogą biec inaczej, ale tak, aby po odbiciu od zwierciadła przecięły się w wyznaczonym punkcie B. Korzystając z tej konstrukcji, można teraz narysować dowolny promień z punktu A padający na zwierciadło w punkcie C i promień odbity, który musi przejść przez punkt B.

Odległość ogniskowa zwierciadła wklęsłego jest równa odległości ogniska F od środka zwierciadła O. Odległość ta jest zwykle oznaczana literą f zależy od promienia krzy­wizny zwierciadła R:

f =
(15)

• ZWIERCIADŁO WKLĘSŁE - RÓWNANIE

Odległość przedmiotu od zwierciadła x, odległość obrazu od zwierciadła y oraz ogni­skowa zwierciadła f związane są ze sobą zależnością:

. (16)

Powiększeniem obrazu względem przedmiotu nazywa się stosunek wysokości obrazu do wysokości przedmiotu p=
Korzystając z twierdzenia Talesa, powiększenie można wyrazić również za pomocą odległości x i y.

p =
. (17)

• ZWIERCIADŁO WYPUKŁE

Konstrukcję obrazu w zwierciadle wypukłym przedstawiono na rysunku II. Pokazano trzy cha­rakterystyczne promienie światła: 1 - padający na zwierciadło równolegle do osi optycznej, po odbiciu biegnie tak, że jego przedłużenie poza zwierciadło przechodzi przez ognisko; 2 - pro-mień padający na zwierciadło tak, że jego przed­łużenie przechodzi przez ognisko (po odbiciu od zwierciadła biegnie on równolegle do osi optycznej); 3 - promień padający na środek zwierciadła, który po odbiciu bie­gnie symetrycznie do promienia padającego. Obraz obiektu konstruujemy, przedłuża­jąc promienie odbite poza zwierciadło, aż do punktu ich przecięcia. Równania (15), (16) i (17) pozostają w mocy, z tym że promień krzywizny R, ogniskowa f i odległość obrazu od zwierciadła y są wielkościami ujemnymi. Ponieważ obraz po­wstały z przecięcia promieni umieszczony jest za zwierciadłem, nazywany jest obra­zem pozornym (w tym miejscu nie ma światła pochodzącego od przedmiotu).

Przykładowe zadania

1.Na osi optycznej zwierciadła wklęsłego o promieniu krzywizny R= 12 cm w odległości x= 14 cm od zwierciadła umieszczono przedmiot o wysokości h = 1 mm. Oblicz wysokość obrazu.

• DANE

promień krzywizny R= 12 cm

odległość od zwierciadła x= 14 cm

wysokość przedmiotu h= 1 mm

• SZUKANE

wysokość obrazu H

• ROZWIĄZANIE

Do obu stron równania (16) dodajemy wyrażenie
i podstawiamy
. W rezultacie otrzymujemy:

.

Lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika:

,

i wyznaczamy:

.

Korzystamy ze wzoru (17)
i wyznaczamy:

.

Po podstawieniu obliczonego y do tego wzoru i skróceniu licznika i mianownika przez x-uzyskamy:

.

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy H= 6 mm.

• ODPOWIEDŹ

Wysokość obrazu H= 6 mm.

2. Obraz pozorny w zwierciadle wypukłym o ogniskowej f= -12 cm powstaje w odległości f za zwierciadłem, a jego powiększenie p=
. Oblicz odległość x przed­miotu od zwierciadła.

• DANE

ogniskowa f= -12 cm

powiększenie obrazu p=

• SZUKANE

odległość przedmiotu x

• ROZWIĄZANIE

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, wzór (17) zapisujemy w postaci:

.

Stąd:

y= -px.

Wyrażenie to podstawiamy do wzoru (16):

.

Ułamki po prawej stronie sprowadzamy do wspólnego mianownika:

.

Obie strony równania mnożymy przez x i przez f i skracamy ułamki:

.

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy x= 4 cm.

• ODPOWIEDŹ

Przedmiot umieszczono w odległości x= 4 cm od zwierciadła.

3. Na rysunku III przedstawiono fragmenty konstrukcji ilustrującej powstawanie obrazu: zwierciadło wklęsłe, jeden z promieni padających (a) na zwierciadło i jeden z pro­mieni odbitych (b) od zwierciadła oraz promień (c) padający na zwierciadło równolegle

do osi optycznej. Zakładamy, że promienie (a), (b) i (c) pochodzą z jednego punktu świe­cącego niewidocznego na rysunku. Znajdź konstrukcyjnie ognisko zwierciadła.

• DANE

rysunek III

• SZUKANE

ognisko zwierciadła

• ROZWIĄZANIE

Najpierw narysujemy promień odbity (a₁) od środka zwierciadła, biegnący symetrycz­nie względem osi optycznej do promienia (a). Dwa promienie odbite od zwierciadła (a₁) i (b) przetną się w punkcie P, wyznaczając położenie obrazu. Ponieważ wszystkie promienie po odbiciu od zwierciadła powinny przeciąć się w jednym punkcie, możemy narysować promień (c₁), który po odbiciu również przechodzi przez punkt P. Ale pro­mień (c₁) powstaje po odbiciu promienia (c) padającego równolegle do osi optycznej zwierciadła, musi zatem przejść (zgodnie z definicją ogniska) przez ognisko. Punkt przecięcia promienia (c₁) z osią optyczną wyznacza ognisko F.

Zadania

4.1. W środkach komunikacji miejskiej stosowane są powszechnie lu­sterka wsteczne, które mają wypukłą po­wierzchnię. Jaki powstaje w nich obraz?

a) rzeczywisty, prosty

b) rzeczywisty, odwrócony

c) pozorny, prosty

d) pozorny, odwrócony

4.2. W jakiej odległości x od ku­listego zwierciadła wklęsłego, o ognisko­wej f, należy umieścić na osi optycznej źródło światła, aby otrzymać równole­głą wiązkę światła?

1. 0<x< f

2. x=f

3. f<x<2f

4. x=2f

4.3. Odległość przedmiotu od zwierciadła kulistego x= 1 m, natomiast jego obraz oddalony jest od zwierciadła o y= 4 m. Jaki jest promień krzywizny R zwierciadła?

a) R=0,5 m

b) R=0,8m

c) R= 1,6 m

d) R=2,0m

4.4. Przedmiot położony jest w odległości x = 0,8 m od wklęsłego zwierciadła kulistego o promieniu krzy­wizny R= 0,4 m. W jakiej odległości od zwierciadła znajduje się obraz tego przedmiotu?

4.5. Punktowe źródło światła po­łożone na głównej osi optycznej odda­lone jest od zwierciadła kulistego o x = 2R,R jest promieniem krzywizny zwier­ciadła. Gdzie znajduje się obraz tego źródła?

4.6. Zwierciadło kuliste o pro­mieniu krzywizny R = 0,8 m daje obraz rzeczywisty przedmiotu położonego w odległości x = 2 m. Po której stronie zwierciadła i w jakiej odległości od niego znajduje się obraz?

a) 0,50 m przed zwierciadłem

b) 0,50 m za zwierciadłem

c) 1,33 m przed zwierciadłem

d) 1,33 m za zwierciadłem

4.7. Za pomocą kulistego zwier­ciadła uzyskano obraz A₁B₁ przedmiotu AB. Wyznacz położenie tego zwiercia­dła i jego ogniskowej. Wskazówka: Na­rysuj „obraz symetryczny względem osi optycznej"; przecięcia prostych łączących końce strzałek wyznaczają jeden z szu­kanych punktów.

4.8. W jakiej odległości x od wklęsłego zwierciadła kulistego o ogni­skowej f=2m należy umieścić źródło światła, aby jego obraz pokrywał się z tym źródłem?

4.9. Promień światła pada na zwierciadło kuliste, przecinając jego główną oś optyczną w punkcie O. Wy­znacz graficznie położenie ogniska zwierciadła. Wskazówka: Narysuj prostą równoległą do promienia padającego oraz prostą do niej symetryczną przecho­dzące przez środek zwierciadła. Promie­nie równoległe padające na zwierciadło skośnie do osi optycznej, po odbiciu od zwierciadła przecinają się w płaszczyź­nie zawierającej ognisko i prostopadłej do osi optycznej.

Rysunek 4.2

4.10. Punktowe źródło światła znajduje się na głównej osi optycznej zwierciadła kulistego w odległości x = 0,5 f. W odległości OA = 2f, prostopadle do osi zwierciadła znajduje się duży ekran. Ile razy średnica R kręgu świetl­nego powstałego na ekranie jest więk­sza od średnicy zwierciadła?

4.11. Odcinek osi optycznej po­łożony między ogniskiem zwierciadła a zwierciadłem podzielono na trzy rów­ne części tak, że AF = AB = BO =
FO. W punktach A i B umieszczono niewiel­kie źródła światła Z, i Z₂. Jaka jest odle­głość /między pozornymi obrazami tych źródeł, jeżeli promień krzywizny zwier­ciadła jest równy R?

4.12. Na rysunku 4.5. pokazano położenie głównej osi optycznej zwier­ciadła kulistego, przedmiotu AB i jego pozornego obrazu A₁B₁ powstałego w tym zwierciadle. Znajdź położenie zwierciadła i jego ogniska. Skorzystaj ze wskazówki do zadania 4.7.

4.13. Kilka zbieżnych promieni świetlnych pada na powierzchnię zwier­ciadła kulistego. Przedłużenia promieni padających przecinają się na głównej osi optycznej zwierciadła w odległości x = - 30 cm. W jakiej odległości y od zwierciadła przetną się przedłużenia pro­mieni odbitych, jeżeli ogniskowa zwier­ciadła f = - 5 cm?

4.14. Zbieżna wiązka światła pada na zwierciadło kuliste tak, że przed­łużenia jej promieni przecinają się na głównej osi optycznej w odległości x = -15 cm za zwierciadłem (rysunek 4.7). Po odbiciu wiązka ta zbiega się w punk­cie A oddalonym od zwierciadła o y = 12 cm. Jaką długość ma promień krzy­wizny zwierciadła?

4.15. Narysuj bieg promieni świa­tła pochodzących z punktowego źródła

światła znajdującego się na osi optycznej wypukłego zwierciadła kulistego o ogniskowej f. Odległość źródła świa­tła od zwierciadła mieści się w prze­dziale f< x< 2f. Gdzie znajduje się ob­raz źródła światła?

a) po tej samej stronie co źródło, w odległości 0 < y< f

b) po tej samej stronie co źródło, w odległości f< y< 2f

c) po przeciwnej stronie niż źródło, w odległości 0 <

d) po przeciwnej stronie niż źródło, w odległości

4.16. Świecący punkt znajduje się w odległości x= 1,5 m od zwierciadła kulistego i h = 10 cm od głównej osi optycznej. Obraz tego przedmiotu znaj­duje się w odległości H= 0,2 m od głów­nej osi optycznej. Jaki jest promień krzy­wizny zwierciadła?

4.17. Narysuj bieg promieni świa­tła pochodzących z punktowego źródła światła znajdującego się na osi optycz­nej wklęsłego zwierciadła kulistego o ogniskowej f. Odległość źródła od zwierciadła mieści się w przedziale
. Gdzie znajduje się obraz źródła światła?

a) po tej samej stronie co źródło, w odległości 0 < y< f

b) po tej samej stronie co źródło, w odległości f< y< 2f

c) po przeciwnej stronie niż źródło, w odległości 0 <
<0,5f

d) po przeciwnej stronie niż źródło, w odległości 0,5f<
<2f

4.18. Na wypukłe zwierciadło o ogniskowej f= - 1,2 m pada zbieżna wiązka światła i po odbiciu od niego sku­pia się na głównej osi optycznej w odle­głości /= 0,3 m od zwierciadła. W ja­kiej odległości skupiałaby się ta wiązka, gdyby usunąć zwierciadło?

4.19. Przez okrągły otwór w ekra­nie o promieniu r = 5 cm przechodzi wiązka równoległych promieni światła, które padają na wypukłe zwierciadło kuliste oddalone od ekranu o a = 12 cm. Po odbiciu się od zwierciadła wiązka ta tworzy na ekranie wokół otworu świe­tlisty pierścień o promieniu R= 15 cm. Jaka jest ogniskowa f tego zwierciadła?

4.20. Płomień świecy oddalony jest o x= 1,2 m od wypukłego zwiercia­dła kulistego o ogniskowej f= -0,4 m. Ile razy pomniejszony jest obraz płomienia?

4.21. Przedmiot o wysokości h = 12 cm znajduje się w odległości x= 28 cm od wklęsłego zwierciadła kulistego o promieniu krzywizny R= 40 cm. Jaka jest wysokość H obrazu?

4.22. Przedmiot znajduje się w odległości x = 0,24 cm od zwiercia­dła kulistego wypukłego. Obraz jest zmniejszony k= 4 razy. Jaki jest promień krzywizny zwierciadła?

4.23. Powiększenie obrazu uzy­skanego w zwierciadle kulistym wklę­słym p = 4. Jaka jest ogniskowa tego zwierciadła, jeżeli odległość między przedmiotem i obrazem l = 1,5 m?

4.24. Obraz uzyskany w zwier­ciadle kulistym jest powiększony k= 5 razy. Jeżeli przedmiot zostanie przesu­nięty wzdłuż osi optycznej o pewną od­ległość x, to obraz tego przedmiotu przesunie się także wzdłuż osi optycz­nej na odległość
.Jakie będzie powiększenie obrazu po takim przesu­nięciu przedmiotu?

4.25. Powiększenie obrazu w zwierciadle kulistym p₁ = 3. Jeśli zbli­żymy przedmiot do zwierciadła o x = 4 cm, to powiększenie będzie równe p₂ = 5. Jaka jest ogniskowa tego zwierciadła?

4.26. Obraz pozorny przedmiotu, powstały w zwierciadle kulistym o pro­mieniu R= 80 cm, jest prosty i powięk­szony p = 4 razy. Jaka jest odległość przedmiotu od zwierciadła?

4.27. Obraz pozorny powstały w zwierciadle kulistym jest p= 5 razy więk­szy od przedmiotu oddalonego od zwier­ciadła kulistego o x= 0,24 m. Jaki jest promień krzywizny tego zwierciadła?

a) 0,4 m

b) 0,5 m

c) 0,6 m

d)1,0m

4.28. Przedmiot o wysokości h=3 cm oddalony jest od wypukłego zwier­ciadła kulistego, o promieniu R=-60cm, o odległość x= 15 cm. Jaką wysokość H ma obraz tego przedmiotu?

4.29. Dwa wklęsłe zwierciadła kuliste o różnych ogniskowych umiesz­czono naprzeciw siebie, na wspólnej osi optycznej tak, że ogniska tych zwiercia­deł znajdowały się w tym samym punk­cie. Gdzie leży ten punkt?

a) między zwierciadłami bliżej zwier­ciadła o większej krzywiźnie

b) między zwierciadłami w połowie odległości między nimi

c) między zwierciadłami bliżej zwier­ciadła o mniejszej krzywiźnie

d)poza odcinkiem wyznaczonym na osi optycznej przez zwierciadła

5. Soczewki

Wprowadzenie

Ognisko soczewki F jest to punkt, w którym przecinają się promienie światła po przej­ściu przez soczewkę skupiającą lub przedłużenia promieni załamanych po przejściu przez soczewkę rozpraszającą.

• SOCZEWKA SKUPIAJĄCA - KONSTRUKCJA OBRAZU

Ze źródła światła A (przedmiotu) można wypro­wadzić trzy charakterystyczne promienie (rysu­nek I.): 1 - promień równoległy do osi optycz­nej, który po załamaniu w soczewce przechodzi przez ognisko F_] (zgodnie z definicją ogniska);2 - promień padający na soczewkę po przejściu przez ognisko F, który po załamaniu w soczewce biegnie równolegle do osi optycznej; 3 - promień padający na środek soczewki, który przechodzi przez soczewkę bez zmia­ny kierunku. Wszystkie trzy promienie przecinają się w jednym punkcie B określają­cym położenie obrazu. Na rysunku I oznaczono oś optyczną O₁O₂, ogniska F i F₁, punkty A przedmiotu i B obrazu, wysokości h przedmiotu i A/obrazu, odległości przed­miotu x i obrazu y od zwierciadła oraz środek soczewki O. Trzeba podkreślić, że jest to tylko sposób skonstruowania obrazu w soczewce; rzeczywiste promienie światła mogą biec inaczej, ale tak, aby po załamaniu w soczewce przecięły się w wyznaczonym punkcie B. Korzystając z tej konstrukcji, można teraz narysować dowolny promień z punktu A padający na soczewkę w punkcie C i promień załamany, który musi przejść przez punkt B.

• ODLEGŁOŚĆ OGNISKOWA SOCZEWKI

jest równa odległości ogniska F od środka soczewki O. Soczewka ma dwa ogniska symetryczne względem środka. Ogniskowa jest zwykle oznaczana literą f i w następu­jący sposób zależy od promieni krzywizn soczewki z R₁ i R₂:

, (18)

gdzie: n_s jest współczynnikiem załamania materiału soczewki, n_o - współczynnikiem załamania otoczenia, R₁ i R₂ to promienie krzywizn powierzchni ograniczających so­czewkę. Krzywizny wypukłe mają dodatnie promienie krzywizn - a krzywizny wklęsłe ujemne.

Uwaga. Przy konstruowaniu obrazu zamiast rzeczywistym kształtem bryły soczewki posługujemy się schematycznymi oznaczeniami soczewek.

• SOCZEWKA SKUPIAJĄCA - RÓWNANIE

(19)

Powiększeniem obrazu względem przedmiotu nazywa się stosunek wysokości obrazu do wysokości przedmiotu p=
. Powiększenie można również wyrazić za pomocą odległości xi y.

. (20)

• SOCZEWKA ROZPRASZAJĄCA

Konstrukcję obrazu w soczewce rozpraszającej przedstawiono na rysunku III. Pokazano trzy cha­rakterystyczne promienie światła: 1 - padający na soczewkę równolegle do osi optycznej, po załamaniu biegnie tak, że jego przedłużenie poza soczewkę przechodzi przez ognisko; 2 - promień

padający na soczewkę tak, że jego przedłużenie przechodzi przez ognisko (po przejściu przez soczewkę biegnie on równolegle do osi optycznej); 3 - promień padający na środek soczewki, biegnie bez zmiany kierunku. Równania (18), (19) i (20) pozostają w mocy z tym, że ogniskowa jest ujemna, a odle­głości x, y mogą być wielkościami dodatnimi lub ujemnymi. Obraz powstały z prze­cięcia przedłużenia promieni umieszczony jest przed soczewką i nazywany jest obra­zem pozornym (w tym miejscu nie ma światła pochodzącego od przedmiotu).

• ZDOLNOŚĆ SKUPIAJĄCA SOCZEWKI

Zdolnością skupiającą soczewki nazywamy odwrotność ogniskowej:

(21)

Soczewki skupiające mają dodatnią zdolność skupiającą, a soczewki rozpraszające - ujemną.

Jednostką zdolności skupiającej jest dioptria. Jedna dioptria równa jest odwrotności metra (jest to zdolność skupiająca soczewki o ogniskowej równej 1 m):

1D = 1
. (22)

Zdolność skupiająca układu dwóch blisko położonych soczewek jest równa sumie ich zdolności skupiających:

D_u=D₁+D₂ (23)

• LUPA

Lupa jest przyrządem optycznym charakteryzującym się specyficznym sposobem wy­korzystania soczewki skupiającej. Konstrukcja obrazu powstającego w lupie pokazana jest na rysunku IV. Przedmiot umieszczony jest w odległości mniejszej niż ogniskowa, obraz powstaje z tej samej strony soczewki i jest powiększony, pozorny i prosty (nieodwrócony).

Powiększenie uzyskiwane dzięki lupie zależy od zdol­ności skupiającej soczewki D i od tzw. odległości dobrego widzenia L (odległość dobrego widzenia oka człowieka to 25 cm):

p= DL+1 (24)

Przykładowe zadania

1.W soczewce skupiającej uzyskano powiększony trzykrotnie obraz rzeczywi­sty przedmiotu, położony w odległości d= 150 cm od przedmiotu. Oblicz zdolność skupiającą soczewki.

• DANE

odległość obrazu od przedmiotu d= 1,5 m

powiększenie p= 3

• SZUKANE

zdolność skupiająca soczewki D

• ROZWIĄZANIE

Ponieważ obraz jest rzeczywisty, to znajduje się po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot i odległość d jest równa sumie odległości przedmiotu od soczewki x i odle­głości obrazu od soczewki y.

d=x+y. (a)

Ze wzoru (20) mamy:

y=px. (b)

Po podstawieniu do wzoru (a) otrzymujemy:

d= x + px = x{p+1).

Obie strony równania dzielimy przez (p+1) i uzyskujemy:

x=
.

Korzystamy ze wzoru (b) i wyznaczamy:

y=
.

Podstawiamy x,y do równania soczewki (19):

.

Korzystamy z definicji zdolności skupiającej soczewki (21) i wyznaczamy:

.

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy D = 3,56 D.

• ODPOWIEDŹ

Zdolność skupiająca soczewki wynosi 3,56 D.

2. Soczewka dwuwypukła ze szkła o współczynniku załamania n_s = 1,6 ma pro­mienie krzywizn R₁ = R₂= R= 6 cm. Jakie powiększenie można uzyskać za pomocą tej soczewki zastosowanej jako lupa?

• DANE

współczynnik załamania szkła n_s = 1,6

promienie krzywizn soczewki R= 6 cm

odległość dobrego widzenia L = 25 cm

• SZUKANE

powiększenie lupy p

• ROZWIĄZANIE

Zgodnie ze wzorami (18) i (21) zdolność skupiająca soczewki jest równa (n_o = 1):

Powiększenie lupy (24) jest równe:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy p= 6.

• ODPOWIEDŹ

Powiększenie obrazu, gdy soczewkę zastosujemy jako lupę, jest równe 6.

3. Soczewka płasko-wypukła charakteryzowana jest zdolnością skupiającą D₁ = 12 D. Soczewkę tę dołożono płaską stroną do płaskiej strony soczewki płasko-wklęsłej - powstała w ten sposób soczewka złożona o zdolności skupiającej D₂ = 6 D. Oblicz promień krzywizny soczewki wklęsłej, jeżeli szkło, z którego została ona wykonana, ma współczynnik załamania n₂ = 1,6.

• DANE

zdolność skupiająca soczewki płasko-wypukłej D = 12 D

zdolność skupiająca układu soczewek D₂ = 6 D

współczynnik załamania szkła n₂= 1,6

• SZUKANE

promień krzywizny R soczewki płasko-wklęsłej

• ROZWIĄZANIE

Zdolności skupiające układu soczewek D₂, soczewki skupiającej D₁ i soczewki rozpra­szającej D_x spełniają równość (23):

D₂ = D₁+ D_x. (a)

Zdolność skupiająca soczewki płasko-wklęsłej (R₁=
,R₂ = R) może być wyznaczona na podstawie wzorów (18) i (21):

D_x = (n₂-1)
. (b)

Wielkości R i D_x są ujemne. Odejmujemy wielkość D od obu stron równania (a) i pod­stawiamy wielkość D_x wyznaczoną wyrażeniem (b):

.

Obie strony równości mnożymy przez R, dzielimy przez (D₂ - D₁) i wyznaczamy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy
= -0,1 m.

• ODPOWIEDŹ

Promień krzywizny soczewki płasko-wklęsłej R=-0,1 m.

Zadania

5.1. Obraz pewnego przedmiotu rzutowany jest na ekran za pomocą so­czewki wypukłej. Jak zmieni się obraz, jeżeli połowę soczewki zasłonimy prze­słoną P nieprzepuszczającą światła?

a) obraz się nie zmieni

b) połowa obrazu zniknie

c) jasność obrazu zmaleje o połowę

d) obraz stanie się dwa razy mniejszy

5.2. Przedmiot znajduje się w od­ległości x > f od soczewki rozpraszają­cej (/"jest ogniskową soczewki). Jaki efekt uzyskamy, oddalając ten przedmiot od soczewki?

a) pozorny obraz przedmiotu będzie się oddalał od soczewki i malał

b) pozorny obraz przedmiotu będzie się oddalał od soczewki i zwiększał

c) pozorny obraz przedmiotu będzie się zbliżał do soczewki i malał

d) pozorny obraz przedmiotu będzie się zbliżał do soczewki i zwiększał

5.3. Przedmiot znajduje się w odległości x > f od soczewki sku­piającej ( f jest ogniskową soczewki).Jaki efekt uzyskamy, oddalając ten przed­miot od soczewki?

a) rzeczywisty obraz przedmiotu będzie się oddalał od soczewki i malał

b) rzeczywisty obraz przedmiotu będzie się oddalał od soczewki i zwiększał

c) rzeczywisty obraz przedmiotu będzie się zbliżał do soczewki i malał

d) rzeczywisty obraz przedmiotu będzie się zbliżał do soczewki i zwiększał

5.4. Na ekran za pomocą soczew­ki rzutowany jest obraz pewnego nie­wielkiego przedmiotu. Obraz ten jest po­większony i odwrócony. Jak zmieni się obraz, jeżeli przedmiot będzie dwukrot­nie większy?

a) obraz będzie dwukrotnie mniejszy

b) wielkość obrazu się nie zmieni

c) obraz będzie dwukrotnie większy

d) wielkość obrazu się nie zmieni, ale stanie się on prosty

5.5. Na rysunku 5.2. pokazano główną oś optyczną soczewki skupiają­cej K - L oraz punkt A, w którym znaj­duje się przedmiot i punkt B, w którym znajduje się jego obraz. Narysuj położe­nie soczewki i iei ogniska. Wskazówka:

Narysuj punkty A' i B' położone syme­trycznie względem osi optycznej; prze­cięcia dwóch (z czterech) prostych z osią optyczną zawierają szukane punkty.

5.6. Na rysunku 5.3. pokazano główną oś optyczną soczewki rozprasza­jącej K - L oraz punkt A, w którym znaj­duje się przedmiot i punkt B, w którym znajduje się jego obraz. Narysuj poło­żenie soczewki i jej ogniska.

5.7. Obraz pozorny znajduje się w odległości równej ogniskowej soczew­ki. W jakiej odległości od soczewki znaj­duje się przedmiot?

a) nieskończenie wielkiej

b)x=2f

c) x=f

d)x=0,5f

5.8. Odległość przedmiotu od so­czewki skupiającej o ogniskowej f wy­nosi x= 3f. Gdzie powstanie obraz tego przedmiotu?

a) w odległości
f po tej samej stro­nie co obraz

b) w odległości
f po przeciwnej stronie soczewki

c) w odległości
f po tej samej stro­nie co obraz

d) w odległości
f po przeciwnej stronie soczewki

5.9. Przedmiot o wysokości h = 2 mm rzutowany jest na ekran za pomo­cą soczewki o ogniskowej f= 10 cm. W jakiej odległości od soczewki umiesz­czony jest ekran, jeżeli ostry obraz ma wy­sokość H= 40 cm?

5.10. Pozorny obraz przedmiotu znajduje się w odległości y = 2 m od soczewki skupiającej o ogniskowej f= 0,5 m. W jakiej odległości x od soczew­ki umieszczony jest przedmiot?

5.11. Na rysunku 5.4. pokazano bieg promieni świetlnych. Drugi promień przedstawiony jest tylko po przejściu przez soczewkę. Narysuj jego bieg przed soczewką. Narysuj bieg promienia po przejściu przez so­czewkę.

5.12. Na rysunku 5.5. pokazano dwa promienie światła wychodzące ze źródła Z i padające na soczewkę. Narysuj bieg drugiego promienia za soczewką.

5.13. Na rysunku 5.6. pokazano promień padający na soczewkę. Narysuj bieg promienia po przejściu przez so­czewkę.

5.14. Na rysunku 5.7. zaznaczo­no ogniska soczewki oraz pokazano bieg promienia świetlnego po przejściu przez soczewkę. Narysuj jego bieg przed so­czewka.

5.15. Na rysunku 5.8. pokazano bieg jednego z promieni świetlnych przez soczewkę S. Znajdź konstrukcyj­nie położenie ognisk soczewki.

5.16. Przedmiot znajduje się o a = 4 cm dalej od środka soczewki niż ogni­sko soczewki. Powiększenie obrazu na ekranie p= 3. W jakiej odległości od so­czewki umieszczony jest ekran?

5.17. Obraz przedmiotu o wysoko­ści h = 15 cm rzutowany jest za pomocą soczewki na ekran odległy od soczewki o y=2 m. Jaka powinna być ogniskowa soczewki, aby powstał obraz o wysokości H=85 cm?

---