Praca, moc, energia – 

praca 



cos









s

F

s

F

W







Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły F i 
wektora przesunięcia s 



 W > 0 gdy

  α < 90°,  



 W < 0 gdy 

α > 90°, 



 W = 0 gdy 

α = 90°. 

 

W trakcie podnoszenia ciała na wysokośd h człowiek działa siłą 
F równą ciężarowi ciała ale przeciwnie skierowaną, więc 
wykonuje "dodatnią" pracę W = mgh  
 

Praca wykonana przez człowieka jest równa co do wartości 
"ujemnej" pracy wykonanej przez siłę ciężkości.

  

Praca, moc, energia – 

praca 

x

F

W

n

i

i











1

Praca wykonana przez siłę zmienną.  

x

F

W

i

i



























2

1

)

(

lim

1

0

x

x

n

i

i

x

dx

x

F

x

F

W

Jednostką pracy jest w układzie SI dżul (

J

); 1J = 1N·m. 

W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki elektronowolt (

eV

); 1eV = 

1.6·10

-19

 J. 

Praca, moc, energia – moc 

dt

dW

t

W

P

t













lim

0













F

dt

s

d

F

dt

dW

P









Moc definiujemy jako ilośd wykonanej pracy  
do czasu w jakim została ona wykonana. 

Jeżeli praca W została wykonana w czasie 



t to 

średnia moc 

jest 

dana wzorem: 

 

 

 

Dla stałej siły F wzór ten przyjmuje postad: 

 

 

 

Dla czasu t → 0 mówimy o 

mocy chwilowej: 

 

 

t

W

P







Praca, moc, energia – 

energia 

2

v

2

0

t

a

t

x











 energia kinetyczna 



 

określona przez masę i prędkośd, 

 

energia potencjalna 

 

określona przez masy i ich wzajemne 

   położenia 
 

t

a

t

a

0

0

v

v

v

v













t

x







2

v

v

0

2

v

2

v

2

v

v

v

v

2
0

2

0

0

m

m

t

t

m

x

a

m

x

F

W















 











 













2

v

2





m

E

k

Ruch prostoliniowy pod wpływem  
działania stałej siły F 

Wykonana przez siłę F praca jest równa 

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości 
nazywamy 

energią kinetyczną 

Praca wykonana przez 
wypadkową siłę F 
działającą na punkt 
materialny jest równa 
zmianie energii kinetycznej 
tego punktu - 

twierdzenie o 

pracy i energii

  

W = E

k

 – E

k0 

Praca, moc, energia – 

energia 

0

E

h

g

m

E

p









Energia potencjalna jest energią, którą dane  
ciało, podlegające działaniu pewnej siły,  
ma  dzięki swemu położeniu w przestrzeni. 

Pole jednorodne to pole, które w każdym punkcie jest jednakowo silne: działa ono na 
ciało siłą o stałej wartości, kierunku  
i zwrocie niezależnie od położenia ciała.  

Energia potencjalna w jednorodnym polu grawitacyjnym 

Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu 
O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza 
przy przesunięciu tego ciała od punktu P do punktu O 

Grawitacyjną energię potencjalną określamy  
jako pracę siły ciężkości mg na pionowym 
torze o wysokości h:  

O 

1 

2 

P 

Praca, moc, energia – 

energia 

Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym 
poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej  
je drogi.  

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, 
który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru

.  

Energia potencjalna jest wielkością skalarem. Może 
przybierad wartości ujemne. 

Praca siły ciężkości 

mg

 na drodze  

zamkniętej jest równa zeru. 

Dynamika bryły sztywnej 

• ruch obrotowy punktu materialnego, 
• definicja bryły sztywnej, 
• dynamika bryły sztywnej: 

– ruch obrotowy, 
– ruch obrotowo – postępowy, 
– 

moment bezwładności, 

– II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego, 

Ruch obrotowy punktu materialnego 

•

ruch po okręgu -  

 szczególny przypadek płaskiego ruchu krzywoliniowego  

 





 

r 

s 

x 

y 

v



 

A 

•

droga kątowa – 

położenie punktu A określamy za 

pomocą kąta 



  

r

s









•

droga liniowa  – 

wyraża za pomocą drogi kątowej 



 

w sposób następujący: 

•

prędkośd kątowa:

 

r

dt

d

dt

ds







dt

d













 

 









r 

v





A 







•

prędkośd liniowa punktu A:

 

r















      

kierunek wektora  



 dany jest przez 

regułę śruby 
prawoskrętnej 

•

przyspieszenie kątowe:

 

dt

d











Dynamika bryły sztywnej 

• Bryłą sztywną 

 

nazywamy ciało stałe, w którym odległośd dwu 

dowolnie wybranych punktów nie ulega zmianie, mimo działających na 

to ciało sił.

  

x 

z 

y 

m

1

 

m

2

 

i

r



ij

r



j

r



const

r

r

r

j

i

ij







|

|

|

|







• Ciałem sztywnym

 

 

nazywamy 

takie ciało, w którym wszystkie 
punkty mają zawsze względem 
siebie stałe odległości. 

Rodzaje ruchów bryły sztywnej 



 stopnie swobody:

 



 f = 3 

x 

z 

y 

m

1

 

x 

z 

y 

m

1

 

m

2

 

r





 f = 2 

 

jeden punkt unieruchomiony 

 

dwa punkty unieruchomione 

x 

z 

y 

m

1

 

m

2

 

m

3

 



 f = 1 

Ciało sztywne swobodne ma 

sześd stopni swobody! 

Rodzaje ruchów bryły sztywnej 



 ruch postępowy:

 



 wektory prędkości i przyspieszenia są takie same dla 

   wszystkich punktów, 

x 

y 

z 



 dowolny odcinek łączący dwa punkty zachowuje stałe 

   położenie do siebie równoległe 

Rodzaje ruchów bryły sztywnej 



 ruch obrotowy:

 



 wszystkie punkty poruszają się po okręgach, których 

    środki leżą na jednej prostej zwaną osią obrotu, 

x 

y 

z 

oś 



 poszczególne punkty bryły mają tę samą prędkośd kątową, 



 poszczególne punkty bryły mają różne prędkości liniowe, 

   zależne od odległości od osi obrotu. 

Rodzaje ruchów bryły sztywnej 



 ruch postępowo – obrotowy:

 



 ogólny ruch ciała sztywnego można złożyd z ruchu 

   postępowego i obrotowego 

x 

y 

z 

oś 

Moment siły 

F

r

M













 kierunek momentu sił wyznaczamy z reguły śruby 

   prawoskrętnej, 

Wielkością  fizyczną  wywołującą  obrót  bryły  sztywnej    jest 

moment  siły

  (tzw. 

moment obrotowy

):  

Aby spowodowad ruch obrotowy bryły sztywnej niezbędna jest siła. 



 

r

 nazywamy ramieniem siły, 

M





 gdy:  

0

||





M

F

r







Moment bezwładności 



  podzielmy bryłę sztywną na zbiór 

n

 punktów materialnych  

     o masach 



m

1

, 



m

2

,…., 



m

n 

Przeanalizujmy ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi ze stałą prędkością 
kątową 





i

m



i

v



i

r





  odległości poszczególnych mas od osi obrotu wynoszą 

     

r

1

, r

2

,…., r

n 



  momentem bezwładności 

I

 bryły sztywnej względem danej osi 

     nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły 
    sztywnej i kwadratów odległości od danej osi:

 











n

i

i

i

r

m

I

1

2



  w przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy:

 





















n

i

i

i

n

dm

r

r

m

I

1

2

2

lim

Moment bezwładności 

- przykłady 





2

2

2

1

2

1

r

r

m

I









2

r

m

I







 moment bezwładności 

I

 jest analogiczną wielkością do masy 

m

 w ruchu 

postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment 
bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało: 



 cienki pierścieo o masie 

m

 i promieniu 

r  

   

obracający się wokół własnej osi: 



 pierścieo o masie 

m

 i promieniach 

r

1

 

i 

r

2

  

   

obracający się wokół własnej osi: 



 walec o masie 

m

, długości 

L

 i promieniu 

r 

 

   

obracający się wokół własnej osi: 

2

2

1

r

m

I







 cienki pierścieo o masie 

m

 i promieniu 

r  

   

obracający się wokół osi prostopadłej: 

2

2

1

r

m

I







 walec o masie 

m

, długości 

L

 i promieniu 

r 

 

   

obracający się wokół osi prostopadłej do  

    niego i przechodzącej przez środek: 

2

2

12

1

4

1

L

m

r

m

I









Moment bezwładności 

- przykłady 

2

3

2

r

m

I





2

12

1

L

m

I





2

5

2

r

m

I







 kula  o masie 

m

 i promieniu 

r  

   

obracająca się wokół własnej osi: 



 sfera o masie 

m

 i promieniu 

r 

   

obracająca się wokół własnej osi: 



 pręt o masie 

m

 i długości 

L 

 

   

obracający się wokół osi prostopadłej  

   do niego i przechodzącej przez jego koniec: 

2

3

1

L

m

I







 pręt o masie 

m

 i długości 

L 

 

   

obracający się wokół osi prostopadłej  

   do niego i przechodzącej przez jego środek: 



 jednostką momentu bezwładności 

jest   

2

1

m

kg



Twierdzenie Steinera

 

0

I

m





2

a

m

I

I

o







Moment  bezwładności 

I

  bryły  sztywnej  względem  danej  osi  jest  równy  sumie 

momentu bezwładności 

I

o

 względem osi do niej równoległej, przechodzącej przez 

środek 

masy 

bryły 

oraz 

iloczynu 

masy 

tej 

bryły  

i kwadratu odległości 

a

 obu osi: 

a

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

 

Przeanalizujmy ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi 



  podzielmy bryłę sztywną na zbiór 

n

 punktów materialnych  

     o masach 



m

1

, 



m

2

,…., 



m

n

,

 



  odległości poszczególnych mas od osi obrotu wynoszą 

     

r

1

, r

2

,…., r

n

,

 





i

m



i

F



i

r





  na poszczególne masy 



m

i

 działają siły 

F

i 

stycznie do okręgów,  

     po których poruszają się punkty, 









n

i

i

i

F

r

M

1



  wypadkowy moment sił działający na bryłę sztywną jest równy: 



  podstawiając: 

i

i

i

a

m

F







i

i

r

m











II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

 

  Moment sił działających na bryłę sztywną jest  
  równy iloczynowi momentu bezwładności tej bryły 
  i jej przyspieszenia kątowego

 





i

m



i

F



i

r

















n

i

i

i

i

r

m

r

M

1





  i ostatecznie: 



  otrzymamy: 













n

i

i

i

r

m

1

2









I

M











I

M

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – 

moment pędu (kręt)

 





i

m



i

v



i

r





  

Moment pędu

 

L

 

(kręt) – 

punktu

 

materialnego o masie 



m

i

  

     i wektorze wodzącym 

r

i 

, poruszającego się z prędkością 

v

i

  

     względem osi obrotu definiujemy wzorem: 

)

(

i

i

i

i

i

i

v

m

r

p

r

L

























  dla całej bryły możemy zapisad: 



  podstawiając: 













n

i

i

i

i

v

m

r

L

1

r

v





















n

i

i

i

i

r

m

r

1















n

i

i

i

m

r

1

2









I













I

L

10:36 

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego – 

moment pędu (kręt)

 

  Pochodna momentu pędu bryły względem czasu jest 
  równa momentowi siły działającej na bryłę sztywną

 



  II zasadę dynamiki możemy zapisad: 











I

M

dt

d

I









dt

I

d

)

(









dt

L

d

M







Zasada zachowania momentu pędu 

(krętu)

 

0



M



const

L







Jeżeli moment wypadkowy sił 
zewnętrznych działających  
na bryłę równa się zeru, 
 to całkowity moment pędu  
(kręt) pozostaje stały.

 

dt

L

d

M









  moment sił zewnętrznych wynosi zero, 



  moment pędu jest zachowany, 

2

2

1

1











I

I



  ponieważ: 

2

1

I

I





  zatem: 

1

2









  zmniejszenie momentu bezwładności 

     przyspiesza obrót: 

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

 

2

2

2

2

1

2

1













i

i

i

i

ki

r

m

v

m

E













n

i

i

i

r

m

1

2

2

2

1





  

Energię kinetyczną – 

obliczamy sumując energie kinetyczne 

     poszczególnych punktów bryły: 



  dla całej bryły mamy zatem: 











n

i

i

i

k

r

m

E

1

2

2

2

1



2

2

1







I

E

k

Energia kinetyczna ruchu postępowo – 

obrotowego

 

v



m





1

1

2







c

gh

v

k



  

Energia kinetyczna 

obracającej się bryły jest sumą energii kinetycznej 

     ruchu obrotowego i energii kinetycznej środka masy: 



  jeżeli wysokośd równi wynosi 

h

, a promieo ciała 

r

,  to obliczmy prędkośd ciała  

    u podstawy równi: 

2

2

2

1

2

1











I

v

m

E

k

2

2

2

1

2

1

k

k

I

v

m

mgh











2

r

m

c

I

r

v

































kula

5

2

,

walec

2

1

 

ściance

 

cienkiej

 

o

 

rura

1

c



10:36 

Przykłady – maszyna Atwooda 

g

m



1

g

m



2

N





 obliczmy przyspieszenie, z jakim poruszają się masy oraz naciąg nici: 

  bloczek nieruchomy: 

g

m

N

a

m









1

1

m

1

 

m

2

 

m 

r 

N



a



N

g

m

a

m









2

2

g

m

m

a

m

m











)

(

)

(

1

2

2

1

g

m

m

m

m

a









2

1

1

2

g

m

m

m

m

N









2

1

2

1

2

Przykłady – maszyna Atwooda 

g

m



1

g

m



2

2

N





 obliczmy przyspieszenie, z jakim poruszają się masy oraz naciąg nici: 

  bloczek ruchomy: 

g

m

N

a

m









1

1

1

m

1

 

m

2

 

m 

r 

1

N



a



2

2

2

N

g

m

a

m









g

m

m

m

m

m

a











2

2

1

1

2

......

1



N

2

N



1

N

























I

N

N

r

M

)

(

1

2

......

2



N

r

a

I

I

N

N

r













)

(

1

2

Analogia między ruchem postępowym i 

obrotowym

 

Ruch prostoliniowy 

Ruch obrotowy 

Droga liniowa 

s



 

Droga kątowa 





 

Prędkość liniowa 

dt

s

d

v







 

Prędkość kątowa 

dt

d











 

Przyspieszenie 
liniowe 

dt

v

d

a







 

Przyspieszenie 
kątowe 

dt

d











 

Masa 

m

 

Moment 
bezwładności 

I

 

Pęd 

v

m

p









 

Moment pędu 











I

L

 

Siła 

F



 

Moment siły 

M



 

II zasada dynamiki 

dt

p

d

a

m

F













 

II zasada dynamiki 

dt

L

d

I

M















 

Zasada 
zachowania pędu 

const

p

dt

p

d











0

 

Zasada zachowania 
momentu pędu 

const

L

dt

L

d











0

 

Energia kinetyczna 

2

2

1

v

m

E

k





 

Energia kinetyczna 

2

2

1







I

E

k

 

 

11:19 

Precesja

 

Precesja lub ruch precesyjny – 
zjawisko zmiany kierunku osi 
obrotu obracającego się ciała. Oś 
obrotu sama obraca się wówczas 
wokół pewnego kierunku w 
przestrzeni zakreślając 
powierzchnię boczną stożka. 

11:19 

Precesja

 

Precesja przy nieobecności sił zewnętrznych  
 
Precesja występuje w przypadku swobodnie obracającej się bryły, gdy na ciało nie 
działają żadne siły zewnętrzne. Dzieje się tak wówczas, gdy oś, wokół której obraca 
się bryła nie jest jej osią główną. 

11:19 

Precesja

 

Precesja wymuszona 
 
Precesja wymuszona występuje wówczas, gdy ciało obracające 
się dookoła osi zostanie poddane momentowi siły ze składową 
prostopadłą do momentu pędu ciała. Wtedy oś obrotu ciała 
wykonuje ruch kreśląc sobą powierzchnię w kształcie bocznej 
powierzchni stożka.  
 
Zjawisko to może byd zaobserwowane na przykładzie 
wirującego bąka, gdy oś bąka nie jest pionowa przyciąganie 
ziemskie stara się przewrócid bąka, ale bąk nie przewraca się, 
a charakterystycznie zatacza się, co jest właśnie precesją. W 
ten sposób precesja powoduje stabilnośd wirujących ciał. 
Dzięki precesji działają również żyrokompasy. 

11:19 

Precesja

 

11:19 

Precesja

 

11:19 

Precesja

 

Prędkośd precesji można zmniejszyd zmniejszając 
wartośd momentu siły i zwiększając  
moment pędu przez rozpędzenie ciała do większej 
prędkości kątowej.  
 
Stosując zawieszenie Cardana i dobre łożyska  
można praktycznie wyeliminowad moment siły  
działający na wirujący bąk i straty energii  
wywołane tarciem.  
 
Moment pędu tak zawieszonego bąka nie  
powinien się zmieniad, czyli zachowywad stały  
kierunek w przestrzeni, niezależnie od położenia  
obudowy.  
 

Taka konstrukcja nazywa się żyroskopem.  

Animacja działania żyroskopu 

11:19 

Żyroskop 

Skutecznośd żyroskopu spada wraz z 
zmniejszeniem się prędkości obrotowej 

Żyroskop 

11:19 

Precesja osi Ziemi 

Precesja osi Ziemi została odkryta przez Hipparcha w 130 roku p.n.e. Jest to data 
akceptowana przez tradycyjną, akademicką interpretację historii. Zjawisko precesji było 
znane i obserwowane już w starożytnym Sumerze, a potem Egipcie. 
 
Jest to zjawisko przejawiające się wykonywaniem przez oś Ziemi ruchu po powierzchni 
bocznej stożka. Innymi słowy, oś ziemska kreśli na tle nieba okrąg. Zakreślenie pełnego 
okręgu trwa 25 920 lat. 
 
Zjawisko to jest wywołane przez oddziaływanie grawitacyjne ze strony Księżyca i Słooca. Oś 
obrotu Ziemi nie jest prostopadła do jej płaszczyzny obiegu wokół Słooca (ekliptyki), ale 
pochylona pod kątem ok. 23,5°. Jednocześnie Ziemia nie jest kulą. Jest spłaszczona na 
biegunach, stąd jej moment bezwładności względem osi obrotu jest większy niż dla kuli. W 
rezultacie jej oś obrotu porusza się po powierzchni bocznej stożka, nie zachowując stałego 
położenia w przestrzeni.  

11:19 

Skutkiem precesji Ziemi jest to, że równik 
niebieski wędruje po ekliptyce z prędkością 1° 
na 72 lata, a biegun niebieski zakreśla wokół 
bieguna ekliptyki okrąg o promieniu 23,5°. 
Dlatego też Gwiazda Polarna nie zawsze była na 
biegunie nieba. Za 11 tysięcy lat będzie tam się 
znajdowad Wega. Podobnie przesuwa się po 
ekliptyce punkt Barana, inaczej zwany punktem 
równonocy wiosennej. Precesja powoduje 
również różnicę między rokiem gwiazdowym a 
rokiem zwrotnikowym. 
 
 

Precesja osi Ziemi 

11:19 

Precesja osi Ziemi