dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

1



Dokończenie Wykładu 3. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych (str. 12 – 15)



Dokończenie Wykładu 2. Zmienna losowa i jej charakterystyki (str. 15, zad. 2)

4. Charakterystyka rozkładu normalnego

Rozkład normalny odgrywa bardzo ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień

przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, chemicznych, socjalnych itp.

Przypomnijmy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami 𝜇, 𝜎

(𝜇 ∈ ℝ, 𝜎 > 0), oznaczany przez 𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

√2𝜋𝜎

𝑒

−

(𝑥−𝜇)2

2𝜎2

,

𝑥 ∈ ℝ.

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜇, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜎

2

. Ponadto 𝑀𝑒𝑋 = 𝑀𝑜𝑋 = 𝜇.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

2

Można pokazać, że momenty centralne nieparzystego rzędu są równe zero, czyli

𝜇

2𝑘−1

= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)

2𝑘−1

= 0, 𝑘 = 1,2,3, …

Natomiast momenty centralne parzystego rzędu wynoszą:

𝜇

2𝑘

= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)

2𝑘

= 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ (2𝑘 − 1)𝜎

2𝑘

= (2𝑘 − 1)‼ 𝜎

2𝑘

, 𝑘 = 1,2,3, …

W szczególności

𝐷

2

𝑋 = 𝜇

2

= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)

2

= 𝜎

2

𝜇

3

= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)

3

= 0, 𝜇

4

= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)

4

= 3𝜎

4

Zatem współczynnik asymetrii (skośności) jest równy:

𝐴 =

𝜇

3

(𝜎𝑋)

3

=

𝐸(𝑋−𝐸𝑋)

3

(𝜎𝑋)

3

=

0

𝜎

3

= 0.

Współczynnik skupienia (kurtoza) wynosi:

𝐾 =

𝜇

4

(𝜎𝑋)

4

− 3 =

𝐸(𝑋−𝐸𝑋)

4

(𝜎𝑋)

4

− 3 =

3𝜎

4

𝜎

4

− 3 = 0.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

3

Wykresem gęstości rozkładu normalnego jest tzw. krzywa Gaussa (krzywa w kształcie

dzwonu). Np.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

4

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład 𝑁(𝜇, 𝜎), to zmienna losowa 𝑌 =

𝑋−𝜇

𝜎

ma

standardowy rozkład normalny 𝑁(0,1) o dystrybuancie

Φ(𝑥) =

1

√2𝜋

∫

𝑒

−

𝑡2

2

𝑥

−∞

𝑑𝑡,

której wartości są stablicowane dla 𝑥 ≥ 0.

Dla

𝑥 < 0 korzystamy ze wzoru

Φ(−𝑥) = 1 − Φ(𝑥).

Jeżeli zmienna losowa Y ma rozkład 𝑁(0,1), to zmienna losowa 𝑋 = 𝜎𝑌 + 𝜇 ma

rozkład 𝑁(𝜇, 𝜎).

Jeżeli zmienna losowa 𝑋

1

ma rozkład

𝑁(𝜇

1

, 𝜎

1

), zmienna losowa 𝑋

2

ma rozkład

𝑁(𝜇

2

, 𝜎

2

) oraz zmienne losowe 𝑋

1

i

𝑋

2

są niezależne, to:



zmienna losowa

𝑋

1

+ 𝑋

2

ma rozkład

𝑁 (𝜇

1

+ 𝜇

2

, √𝜎

1

2

+ 𝜎

2

2

),



a zmienna losowa

𝑋

1

− 𝑋

2

ma rozkład

𝑁 (𝜇

1

− 𝜇

2

, √𝜎

1

2

+ 𝜎

2

2

).

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

5

Jeżeli zmienne losowe 𝑋

1

, 𝑋

2

, … , 𝑋

𝑛

, są niezależne oraz zmienna losowa

, 𝑋

𝑘

ma rozkład

𝑁(𝜇

𝑘

, 𝜎

𝑘

), 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, to:



zmienna losowa

𝑆

𝑛

= 𝑋

1

+ 𝑋

2

+. . . +𝑋

𝑛

ma rozkład

𝑁 (𝜇

1

+ 𝜇

2

+. . . +𝜇

𝑛

, √𝜎

1

2

+ 𝜎

2

2

+. . . +𝜎

𝑛

2

),



zmienna losowa

𝑋̅

𝑛

=

𝑆

𝑛

𝑛

=

𝑋

1

+𝑋

2

+...+𝑋

𝑛

𝑛

ma rozkład

𝑁 (

𝜇

1

+𝜇

2

+...+𝜇

𝑛

𝑛

, √

𝜎

1

2

+𝜎

2

2

+...+𝜎

𝑛

2

𝑛

2

).

Jeżeli zmienne losowe 𝑋

1

, 𝑋

2

, … , 𝑋

𝑛

, są niezależne i wszystkie mają jednakowy rozkład

𝑁(𝜇, 𝜎), to:



zmienna losowa

𝑆

𝑛

= 𝑋

1

+ 𝑋

2

+. . . +𝑋

𝑛

ma rozkład

𝑁(𝑛𝜇, 𝜎√𝑛),



zmienna losowa

𝑋̅

𝑛

=

𝑆

𝑛

𝑛

=

𝑋

1

+𝑋

2

+...+𝑋

𝑛

𝑛

ma rozkład

𝑁 (𝜇,

𝜎

√𝑛

).

Zatem zmienna losowa

𝑋̅

𝑛

−𝜇

𝜎

√𝑛

ma standardowy rozkład normalny

𝑁(0,1).

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

6

Tablica dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego

Φ(𝑥) =

1

√2𝜋

∫

𝑒

−

𝑡2

2

𝑥

−∞

𝑑𝑡

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

7

Niech zmienna losowa X ma rozkład

𝑁(𝜇, 𝜎). Wtedy zmienna losowa 𝑌 =

𝑋−𝜇

𝜎

ma

standardowy rozkład normalny 𝑁(0,1) o dystrybuancie Φ(𝑥). Wówczas, dla 𝑘 > 0:

𝑃(𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) = 𝑃 (

𝜇 − 𝑘𝜎 − 𝜇

𝜎

<

𝑋 − 𝜇

𝜎

<

𝜇 + 𝑘𝜎 − 𝜇

𝜎

) =

= 𝑃(−𝑘 < 𝑌 < 𝑘) = Φ(𝑘) − Φ(−𝑘) = Φ(𝑘) − [1 − Φ(𝑘)] = 2Φ(𝑘) − 1.

W szczególności

𝑃(𝜇 − 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎) = 2Φ(1) − 1 = 2 ∙ 0,84134 − 1 = 0,68268

𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) = 2Φ(2) − 1 = 2 ∙ 0,97725 − 1 = 0,9545

𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎) = 2Φ(3) − 1 = 2 ∙ 0,99865 − 1 = 0,9973

W praktyce stosuje się tzw. regułę trzysigmową, w myśl której przyjmuje się, że

praktycznie wszystkie wartości zmiennej losowej o rozkładzie 𝑁(𝜇, 𝜎) są zawarte
w przedziale (

𝜇 − 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎).

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

8

Ponadto dla

𝑘 > 0:

𝑃(𝜇 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) = 𝑃 (

𝜇−𝜇

𝜎

<

𝑋−𝜇

𝜎

<

𝜇+𝑘𝜎−𝜇

𝜎

) = 𝑃 (0 <

𝑋−𝜇

𝜎

< 𝑘) = Φ(𝑘) − Φ(0) = Φ(𝑘) − 0,5

𝑃(𝜇 + (𝑘 − 1)𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) = 𝑃 (𝑘 − 1 <

𝑋 − 𝜇

𝜎

< 𝑘) = Φ(𝑘) − Φ(𝑘 − 1)

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

9

Przykład 4.1.

Niech zmienna losowa X ma rozkład

𝑁(0,1), a zmienna losowa Y ma rozkład 𝑁(1,2).

Obliczyć 𝑃(𝑋 > 2), 𝑃(−1 < 𝑋 < 2), 𝑃(|𝑋| < 0,5), 𝑃(𝑌 > 2), 𝑃(−1 < 𝑌 < 2),
𝑃(|𝑌| < 0,5) oraz wyznaczyć kwantyle rzędu 0,95 i 0,05 zmiennych losowych X i Y.

𝑃(𝑋 > 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,97725 = 0,02275

𝑃(−1 < 𝑋 < 2) = Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) − [1 − Φ(1)] = Φ(2) + Φ(1) − 1 =

= 0,97725 + 0,84134 − 1 = 0,81859

𝑃(|𝑋| < 0,5) = 𝑃(−0,5 < 𝑋 < 0,5) = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 2 Φ(0,5) − 1 =

= 2 ∙ 0,69146 − 1 = 0,38292

Φ(𝑥

0,95

) = 0,95, czyli 𝑥

0,95

= 1,64

Φ(𝑥

0,05

) = 0,05; 1 − Φ(−𝑥

0,05

) = 0,05; Φ(−𝑥

0,05

) = 0,95; −𝑥

0,05

= 𝑥

0,95

;

𝑥

0,05

= −1,64

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)

10

𝑃(𝑌 > 2) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 2) = 1 − 𝑃 (

𝑌 − 1

2

<

2 − 1

2

) = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,69146 = 0,30854

𝑃(−1 < 𝑌 < 2) = 𝑃 (

−1 − 1

2

<

𝑌 − 1

2

<

2 − 1

2

) = Φ(0,5) − Φ(−1) = Φ(0,5) + Φ(1) − 1

= 0,69146 + 0,84134 − 1 = 0,5328

𝑃(|𝑌| < 0,5) = 𝑃(−0,5 < 𝑌 < 0,5) = 𝑃 (

−0,5 − 1

2

<

𝑌 − 1

2

<

0,5 − 1

2

) =

= Φ(−0,25) − Φ(−0,75) = 1 − Φ(0,25) − 1 + Φ(0,75) =

= Φ(0,75) − Φ(0,25) = 0,77337 − 0,59871 = 0,17466

0,95 = F

𝑌

(𝑦

0,95

) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦

0,95

) = 𝑃 (

𝑌 − 1

2

≤

𝑦

0,95

− 1

2

) = Φ (

𝑦

0,95

− 1

2

)

czyli

𝑦

0,95

−1

2

= 1,64 i 𝑦

0,95

= 4,28.

0,05 = F

𝑌

(𝑦

0,05

) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦

0,05

) = 𝑃 (

𝑌 − 1

2

≤

𝑦

0,05

− 1

2

) = Φ (

𝑦

0,05

− 1

2

)

czyli

𝑦

0,05

−1

2

= −1,64 i 𝑦

0,05

= −2,28.