dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
1
Dokończenie Wykładu 3. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych (str. 12 – 15)
Dokończenie Wykładu 2. Zmienna losowa i jej charakterystyki (str. 15, zad. 2)
4. Charakterystyka rozkładu normalnego
Rozkład normalny odgrywa bardzo ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień
przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, chemicznych, socjalnych itp.
Przypomnijmy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami 𝜇, 𝜎
(𝜇 ∈ ℝ, 𝜎 > 0), oznaczany przez 𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋𝜎
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
,
𝑥 ∈ ℝ.
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜇, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜎
2
. Ponadto 𝑀𝑒𝑋 = 𝑀𝑜𝑋 = 𝜇.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
2
Można pokazać, że momenty centralne nieparzystego rzędu są równe zero, czyli
𝜇
2𝑘−1
= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)
2𝑘−1
= 0, 𝑘 = 1,2,3, …
Natomiast momenty centralne parzystego rzędu wynoszą:
𝜇
2𝑘
= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)
2𝑘
= 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ (2𝑘 − 1)𝜎
2𝑘
= (2𝑘 − 1)‼ 𝜎
2𝑘
, 𝑘 = 1,2,3, …
W szczególności
𝐷
2
𝑋 = 𝜇
2
= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)
2
= 𝜎
2
𝜇
3
= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)
3
= 0, 𝜇
4
= 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)
4
= 3𝜎
4
Zatem współczynnik asymetrii (skośności) jest równy:
𝐴 =
𝜇
3
(𝜎𝑋)
3
=
𝐸(𝑋−𝐸𝑋)
3
(𝜎𝑋)
3
=
0
𝜎
3
= 0.
Współczynnik skupienia (kurtoza) wynosi:
𝐾 =
𝜇
4
(𝜎𝑋)
4
− 3 =
𝐸(𝑋−𝐸𝑋)
4
(𝜎𝑋)
4
− 3 =
3𝜎
4
𝜎
4
− 3 = 0.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
3
Wykresem gęstości rozkładu normalnego jest tzw. krzywa Gaussa (krzywa w kształcie
dzwonu). Np.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
4
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład 𝑁(𝜇, 𝜎), to zmienna losowa 𝑌 =
𝑋−𝜇
𝜎
ma
standardowy rozkład normalny 𝑁(0,1) o dystrybuancie
Φ(𝑥) =
1
√2𝜋
∫
𝑒
−
𝑡2
2
𝑥
−∞
𝑑𝑡,
której wartości są stablicowane dla 𝑥 ≥ 0.
Dla
𝑥 < 0 korzystamy ze wzoru
Φ(−𝑥) = 1 − Φ(𝑥).
Jeżeli zmienna losowa Y ma rozkład 𝑁(0,1), to zmienna losowa 𝑋 = 𝜎𝑌 + 𝜇 ma
rozkład 𝑁(𝜇, 𝜎).
Jeżeli zmienna losowa 𝑋
1
ma rozkład
𝑁(𝜇
1
, 𝜎
1
), zmienna losowa 𝑋
2
ma rozkład
𝑁(𝜇
2
, 𝜎
2
) oraz zmienne losowe 𝑋
1
i
𝑋
2
są niezależne, to:
zmienna losowa
𝑋
1
+ 𝑋
2
ma rozkład
𝑁 (𝜇
1
+ 𝜇
2
, √𝜎
1
2
+ 𝜎
2
2
),
a zmienna losowa
𝑋
1
− 𝑋
2
ma rozkład
𝑁 (𝜇
1
− 𝜇
2
, √𝜎
1
2
+ 𝜎
2
2
).
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
5
Jeżeli zmienne losowe 𝑋
1
, 𝑋
2
, … , 𝑋
𝑛
, są niezależne oraz zmienna losowa
, 𝑋
𝑘
ma rozkład
𝑁(𝜇
𝑘
, 𝜎
𝑘
), 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, to:
zmienna losowa
𝑆
𝑛
= 𝑋
1
+ 𝑋
2
+. . . +𝑋
𝑛
ma rozkład
𝑁 (𝜇
1
+ 𝜇
2
+. . . +𝜇
𝑛
, √𝜎
1
2
+ 𝜎
2
2
+. . . +𝜎
𝑛
2
),
zmienna losowa
𝑋̅
𝑛
=
𝑆
𝑛
𝑛
=
𝑋
1
+𝑋
2
+...+𝑋
𝑛
𝑛
ma rozkład
𝑁 (
𝜇
1
+𝜇
2
+...+𝜇
𝑛
𝑛
, √
𝜎
1
2
+𝜎
2
2
+...+𝜎
𝑛
2
𝑛
2
).
Jeżeli zmienne losowe 𝑋
1
, 𝑋
2
, … , 𝑋
𝑛
, są niezależne i wszystkie mają jednakowy rozkład
𝑁(𝜇, 𝜎), to:
zmienna losowa
𝑆
𝑛
= 𝑋
1
+ 𝑋
2
+. . . +𝑋
𝑛
ma rozkład
𝑁(𝑛𝜇, 𝜎√𝑛),
zmienna losowa
𝑋̅
𝑛
=
𝑆
𝑛
𝑛
=
𝑋
1
+𝑋
2
+...+𝑋
𝑛
𝑛
ma rozkład
𝑁 (𝜇,
𝜎
√𝑛
).
Zatem zmienna losowa
𝑋̅
𝑛
−𝜇
𝜎
√𝑛
ma standardowy rozkład normalny
𝑁(0,1).
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
6
Tablica dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego
Φ(𝑥) =
1
√2𝜋
∫
𝑒
−
𝑡2
2
𝑥
−∞
𝑑𝑡
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
7
Niech zmienna losowa X ma rozkład
𝑁(𝜇, 𝜎). Wtedy zmienna losowa 𝑌 =
𝑋−𝜇
𝜎
ma
standardowy rozkład normalny 𝑁(0,1) o dystrybuancie Φ(𝑥). Wówczas, dla 𝑘 > 0:
𝑃(𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) = 𝑃 (
𝜇 − 𝑘𝜎 − 𝜇
𝜎
<
𝑋 − 𝜇
𝜎
<
𝜇 + 𝑘𝜎 − 𝜇
𝜎
) =
= 𝑃(−𝑘 < 𝑌 < 𝑘) = Φ(𝑘) − Φ(−𝑘) = Φ(𝑘) − [1 − Φ(𝑘)] = 2Φ(𝑘) − 1.
W szczególności
𝑃(𝜇 − 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎) = 2Φ(1) − 1 = 2 ∙ 0,84134 − 1 = 0,68268
𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) = 2Φ(2) − 1 = 2 ∙ 0,97725 − 1 = 0,9545
𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎) = 2Φ(3) − 1 = 2 ∙ 0,99865 − 1 = 0,9973
W praktyce stosuje się tzw. regułę trzysigmową, w myśl której przyjmuje się, że
praktycznie wszystkie wartości zmiennej losowej o rozkładzie 𝑁(𝜇, 𝜎) są zawarte
w przedziale (
𝜇 − 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎).
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
8
Ponadto dla
𝑘 > 0:
𝑃(𝜇 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) = 𝑃 (
𝜇−𝜇
𝜎
<
𝑋−𝜇
𝜎
<
𝜇+𝑘𝜎−𝜇
𝜎
) = 𝑃 (0 <
𝑋−𝜇
𝜎
< 𝑘) = Φ(𝑘) − Φ(0) = Φ(𝑘) − 0,5
𝑃(𝜇 + (𝑘 − 1)𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) = 𝑃 (𝑘 − 1 <
𝑋 − 𝜇
𝜎
< 𝑘) = Φ(𝑘) − Φ(𝑘 − 1)
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
9
Przykład 4.1.
Niech zmienna losowa X ma rozkład
𝑁(0,1), a zmienna losowa Y ma rozkład 𝑁(1,2).
Obliczyć 𝑃(𝑋 > 2), 𝑃(−1 < 𝑋 < 2), 𝑃(|𝑋| < 0,5), 𝑃(𝑌 > 2), 𝑃(−1 < 𝑌 < 2),
𝑃(|𝑌| < 0,5) oraz wyznaczyć kwantyle rzędu 0,95 i 0,05 zmiennych losowych X i Y.
𝑃(𝑋 > 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,97725 = 0,02275
𝑃(−1 < 𝑋 < 2) = Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) − [1 − Φ(1)] = Φ(2) + Φ(1) − 1 =
= 0,97725 + 0,84134 − 1 = 0,81859
𝑃(|𝑋| < 0,5) = 𝑃(−0,5 < 𝑋 < 0,5) = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 2 Φ(0,5) − 1 =
= 2 ∙ 0,69146 − 1 = 0,38292
Φ(𝑥
0,95
) = 0,95, czyli 𝑥
0,95
= 1,64
Φ(𝑥
0,05
) = 0,05; 1 − Φ(−𝑥
0,05
) = 0,05; Φ(−𝑥
0,05
) = 0,95; −𝑥
0,05
= 𝑥
0,95
;
𝑥
0,05
= −1,64
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.)
10
𝑃(𝑌 > 2) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 2) = 1 − 𝑃 (
𝑌 − 1
2
<
2 − 1
2
) = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,69146 = 0,30854
𝑃(−1 < 𝑌 < 2) = 𝑃 (
−1 − 1
2
<
𝑌 − 1
2
<
2 − 1
2
) = Φ(0,5) − Φ(−1) = Φ(0,5) + Φ(1) − 1
= 0,69146 + 0,84134 − 1 = 0,5328
𝑃(|𝑌| < 0,5) = 𝑃(−0,5 < 𝑌 < 0,5) = 𝑃 (
−0,5 − 1
2
<
𝑌 − 1
2
<
0,5 − 1
2
) =
= Φ(−0,25) − Φ(−0,75) = 1 − Φ(0,25) − 1 + Φ(0,75) =
= Φ(0,75) − Φ(0,25) = 0,77337 − 0,59871 = 0,17466
0,95 = F
𝑌
(𝑦
0,95
) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦
0,95
) = 𝑃 (
𝑌 − 1
2
≤
𝑦
0,95
− 1
2
) = Φ (
𝑦
0,95
− 1
2
)
czyli
𝑦
0,95
−1
2
= 1,64 i 𝑦
0,95
= 4,28.
0,05 = F
𝑌
(𝑦
0,05
) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦
0,05
) = 𝑃 (
𝑌 − 1
2
≤
𝑦
0,05
− 1
2
) = Φ (
𝑦
0,05
− 1
2
)
czyli
𝑦
0,05
−1
2
= −1,64 i 𝑦
0,05
= −2,28.