Rozkład normalny

(wykład wykorzystujący materiały dr Izabeli

Krejtz i dr Krzysztofa Krejtza)

Ćwiczenie

• Hrabina Zenobia de’Omlasek w teście

znajomości zasad savoir-vivre’u
otrzymała 20 punktów

– (średnia w badanej grupie hrabin

wyniosła 25, odchylenie standardowe 5).

• Natomiast w teście teoretycznej

wiedzy o tańcach towarzyskich dostała
5 punkty (średnia w grupie wyniosła 3,
odchylenie standardowe 2)

• Na czym hrabina zna się lepiej?

odpowiedź

• Widać, że

hrabinie lepiej
wychodziło
tańczenie niż
dobre obyczaje

1

2

3

5

...

tan

1

5

25

20

...



















z

z

savoir

SD

X

X

z

Założenia testów

statystycznych

• Większość testów (testy

parametryczne) ma założenia
odnośnie tego, jaki rozkład mają
nasze dane

• Jednym z najważniejszych rozkładów

jest

– Rozkład normalny, krzywa Gaussa

Rozkład nomalny

Na osi odciętych mamy możliwe wartośći zmiennej X

Na osi rzędnych widzimy gęstość –
częstość występowania danych wartości

Rozkład jednomodalny

Odrobina historii

• Początkowo zajmował się rozkładem normalnym

DeMoivre (1667-1754) – do celów hazardu

• Zdefiniowany przez Pierra Laplace i

doprowadzony do dzisiejszej formy przez Carl

Friedrich Gaussa(1777-1855),

– matematyk niemiecki, jeden z najwybitniejszych

matematyków w dziejach świata, zajmował się

ponadto fizyką teoretyczną, geodezją i astronomią

sferyczną, od 1807 do śmierci był profesorem

matematyki w 

Getyndze

i dyrektorem tamtejszego

obserwatorium astronomicznego

.

– Współcześni nazywali go “księciem matematyków”

• Obaj panowie interesowali się rozkładem

błędów w obserwacjach astronomicznych

Rozkład Normalny

• Kształt rozkładu wielu zmiennych, które mierzą

psychologowie ma kształt mniej więcej symetryczny,

przypominający dzwon.

• Popularny w przyrodzie

– Waga, wzrost, rozmiar butów, ......, inteligencja
– Zmienność wyrażana przez odchylenie standardowe

została wykorzystana przez Karola Darwina w

"Pochodzeniu gatunków" jako ważny dowód w teorii

ewolucji.

• Darwin założył, że średnia i odchylenie standardowe były

wrodzonymi cechami każdego gatunku.

– Jeżeli zbadamy bowiem pewną grupę psów - np. labradorów pod

względem ich wzrostu i wzrost ten naniesiemy na oś poziomą a

częstość jej występowania na oś pionową to zauważymy, że rozkład

ten przybierze charakterystyczny kształt dzwonu, zwanego

rozkładem Gaussa lub rozkładem normalnym. Tak samo się stanie

jeżeli zbadany inne zwierzęta czy nawet ludzi.

Powinien być symetryczny

wokół średniej (lepty i plato)

Średnia,
mediana i
modalna są
sobie równe

Wszystkie są
normalne,
chociaż, nie są
takie same,
różnią się
rozproszeniem
wyników,
spiczastością

Charakterystyki rozkładu

normalnego

• Krańce rozkładu normalnego stykają

się z osią x w nieskończoności

• Ma kształt dzwonu
• Jest funkcją średniej i odchylenia

standardowego

– Znając średnią i odchylenie standardowe

możemy wyznaczyć krzywą rozkładu
normalnego

Wzór na rozkład normalny

• X warotść na osi odciętych
• Y wysokość krzywej w zależności od X

=3,1416

i e=2,7183 to stałe

2

2

2

)

(

2

1

)

(

s

x

x

e

s

X

f









Odchylenie standardowe

średnia

Standaryzowany rozkład

normalny

• Rozkłady zależą od wartości średniej i

odchylenia standardowego, wygodnie jest

więc wystandaryzować nasz rozkład, aby

móc, np powiedzieć jaki procent obserwacji

leży poniżej lub powyżej pewnego wyniku

– Można to odczytać z tabel dla

wystandaryzowanego rozkładu normalnego

• Zamieniamy wszystkie wartości X na

watrości standaryzowane z

– tak, aby średnia wynosiła 0, a odchylenie

standardowe równało się 1

• Powierzchnia pod krzywą jest równa 1

x

20

30

40

50

60

70

80

x-M -30 -20 -10 0

10

20

30

z=

-3

-2

-1

0

1

2

3

POLITYKA

80,0

70,0

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

POLITYKA

C

zę

st

oś

ć

5

4

3

2

1

0

Średnia M =50
SD=10
Wariancja =100

SD

x

z

M





Dokonując transfomacji na wartości z nie zmieniamy
Kształtu rozkładu, więc jeśli rozkład nie był normalny
wcześniej, nie będzie normalny po przekształceniu

Sposób na rozkład normalny

• Im bardziej zwiększamy naszą

próbkę, dodajemy obserwacje, tym
bardziej zbliża się on do normalnego

– http://surfstat.newcastle.edu.au/surfstat

Tabele wartości z

• Korzystamy z tabel, aby znaleźć obszar pod krzywą

normalną, w tabeli są tylko pozytywne wartości z

(ale skoro rozkład jest symetryczny to to samo

odnosi się do wartości ujemnych z)

Tabela wartości z

• Na podstawie tabel można łatwo znaleźć procent

przypadków odpowiadający danej wartości z, a także
wartość z odpowiadającą danemu procentowi przypadków.

• Warto zapamiętać, że jeśli rozkład wyników jest zgodny z

rozkładem normalnym:

a)

Między wartością z = 0 (środek rozkładu) a wartością z=1
(lub z = -1) mieści się ok. 34% przypadków

b)

Między wartością z =1 a wartością z=2 (analogicznie,
między z=-1 i z=-2) mieści się ok. 14% przypadków

c)

Z tego wynika, że jest co najwyżej 2 procent przypadków o
wartości z większej niż 2 i analogicznie jest co najwyżej
2% przypadków o wartości z mniejszej niż -2

0,0668

Mniejsza

część

0,4332

od średniej

do wartości

z

Większa część

pod krzywą

normalną

0,9332

Patrząc na Tabele wartości z

• Możemy obliczyć dokładnie

– Jaki procent obserwacji będzie mieścił się w przedziale

między dowolnymi dwoma punktami na krzywej

normalnej wyrażonymi w wartościach z

– Np procent między z= +1,5 a z=-1.0

• Powierzchnia między średnią a z=+1,5 = 0.4332
• Powierzchnia między średnią a z=-1.0 = 0.3413
• Dodajemy obszary 0.7745

– Widzimy, że około 77% obserwacji będzie mieściło się w

przedziale między z = -1.0 and z = +1.5

Przykład 2, procent

przypadków

• Jaki procent obserwacji znajduje się

między z = 0,70 i z = -1.70

– Od M do z=0,70 jest 0,2580 czyli 25,80%
– Od M do z=-1,70 jest 0,4554 czyli 45,54%,

– A ponieważ są po różnych stronach rozkładu

dodajemy procenty i wychodzi 71,34%

• Dokładnie 71,34% przypadków znajduje

się między z = 0,70 i z = -1.70

Wracając do surowych

wyników x

• Załóżmy że M= 50

i SD = 10

• 77% procent

przypadków znajduje
się pomiędzy
wartościami 40 i 65

65

10

5

,

1

50

40

10

0

,

1

50



























x

x

SD

z

M

x

M

SD

x

z

Przedziały

• W ostatnim przykładzie M=50, SD=10
• Chcemy odciąć skrajne 2,5%

obserwacji z każdego krańca rozkładu

– Sprawdzamy w tabeli wartości z

– z = + 1.96

4

,

30

10

96

.

1

50

6

,

69

10

96

.

1

50

















x

x

SD

z

M

x







Procent wyników w danym

przedziale

• Szukamy przedziału w którym będzie

mieściło sie 95% wyników.

• W naszym przykładzie 95% wyników

będzie się mieścić w przedziale (20,2
; 39,8)

• Stąd w 95% przypadków wynik

losowo wybranej z populacji osoby
będzie się mieścić w tym przedziale

95% wyników
mieści się w tym
przedziale

z=1,9

6

z=-

1,96

Jak znaleźć procent

przypadków znajdujący się

poniżej lub powyżej

danego wyniku

W oparciu o wyniki surowe i

tabelę wartości z

Kolejne kroki – procent osób

poniżej danego wyniku

• Aby obliczyć procent przypadków

znajdujących się poniżej danego wyniku:

– Zamieniamy wynik surowy na wartość z
– w tabeli dla danej wartości z znajdujemy jej

odległość od średniej

– Jeśli nasze z jest dodatnie wtedy dodajemy

odczytany % do 50%

– jeśli z jest ujemne, odejmujemy odczytany

% od 50

• Zawsze dobrze jest sobie narysować

rozkład i umiejscowić naszą watrość z

Kolejne kroki – procent

powyżej

• Aby obliczyć procent przypadków

znajdujących się powyżej danego
wyniku

– Zamieniamy wyniki surowe na wartości z.
– w tabeli dla danej wartości z znajdujemy jej

odległość od średniej

– Jeśli nasze z jest dodatnie wtedy,

odejmujemy odczytany procent od 50,

– a jeśli jest ujemne, dodajemy ten wynik do

50.

Test Coopera – test 12 minut

• Jest to test stosowany przez

amerykańskich kosmonautów dla

sprawdzenia kondycji fizycznej,

wydolności

• Opracowany przez Kennetha Coopera,

polega na przemierzeniu jak

największego dystansu w ciągu 12 minut

• Zakładamy, że zmienna ta ma rozkład

normalny

Kondycja Jasia

• W wieku 20-29

średnia= 2400 metrów,
SD=300 metrów

• Jaś przebiegł 3000, jaki

procent panów biega
szybciej od Jasia

– z=2, w przedziale od

średniej do z mieści się
47,72%,

– Czyli 50 – 47,72=2,28%
– Od Jasia szybciej biega

jedynie 2,28%

2

300

2400

3000











z

M

SD

x

z

A wolniej biega 97,72%

50+47,72=97,72

Kondycja Zbyszka

• W wieku 20-29 średnia=

2400 metrów, SD=300

metrów

• Zbyszek przebiegł 2100,

jaki procent panów biega

szybciej od Zbyszka, jaki

% jest poniżej wyniku

Zbyszka

–

z=-1, w przedziale od

średniej do z=-1 mieści się

34,13%,

–

Czyli 50 + 34,13=84,13%

–

84,13% biega szybciej

–

84,13% osób znajduje się

powyżej wyniku Zbyszka

1

300

2400

2100













z

M

SD

x

z

A wolniej biega 15,87%

50-34,13=15,87%

Ile metrów trzeba przbiec w

ciągu 12 minut, żeby..

• Znaleźć się w grupie 5% najlepszych

biegaczy?

– średnia=2400, SD=300
– Odległość między wynikiem odcinającym górne

5% a średnią wynosi 45%, odczytujemy z tabeli
wartość z dla odległości najbardziej zbliżonej
=44,95%,

• wartość z dla tej odległości wynosi 1,64
• i podstawiamy dane do wzoru

2892

300

64

,

1

2400















x

SD

z

M

x

Żeby zmieścić się w 5% najlepszych biegaczy
trzeba przebiec co najmniej 2892

Ile metrów trzeba biegać,

żeby..

• Znaleźć się w grupie 2% najgorszych

biegaczy?

– średnia=2400, SD=300
– Odległość między wynikiem odcinającym dolne

2% a średnią wynosi 48%, odczytujemy z tabeli
wartość z dla odległości najbardziej zbliżonej
=47,98%,

• wartość z dla tej odległości wynosi 2,05, ale wynik jest

poniżej średniej więc z=-2,05

• i podstawiamy dane do wzoru

1785

300

05

,

2

2400















x

SD

z

M

x

Żeby zmieścić się w 2% biegaczy z najsłabszą
kondycją nie można przebiec więcej niż 1785
metrów

Do zapamiętania

• Przekształcanie wyników surowych na

wartości z

• Jak korzystać z tabel dla rozkładu

normalnego?

• Jak określić procent przypadków

leżących pomiędzy dwiema
wartościami z?

• Jak określić procent osób leżących

poniżej lub powyżej danej wartości?