Rozkład normalny

(wykład wykorzystujący materiały dr Izabeli 

Krejtz i dr Krzysztofa Krejtza)

 

Ćwiczenie

• Hrabina Zenobia de’Omlasek w teście 

znajomości zasad savoir-vivre’u 
otrzymała 20 punktów  

–  (średnia w badanej grupie hrabin 

wyniosła 25, odchylenie standardowe 5).

•  Natomiast w teście teoretycznej 

wiedzy o tańcach towarzyskich dostała 
5 punkty (średnia w grupie wyniosła 3, 
odchylenie standardowe 2) 

• Na czym hrabina zna się lepiej? 

odpowiedź

• Widać, że 

hrabinie lepiej 
wychodziło 
tańczenie niż 
dobre obyczaje 

1

2

3

5

...

tan

1

5

25

20

...



















z

z

savoir

SD

X

X

z

Założenia testów 

statystycznych

• Większość testów (testy 

parametryczne) ma założenia 
odnośnie tego, jaki rozkład mają 
nasze dane

• Jednym z najważniejszych rozkładów 

jest 

– Rozkład normalny, krzywa Gaussa

Rozkład nomalny

Na osi odciętych mamy możliwe wartośći zmiennej X

Na osi rzędnych widzimy gęstość – 
częstość występowania danych wartości

Rozkład jednomodalny

Odrobina historii

• Początkowo zajmował się rozkładem normalnym 

DeMoivre (1667-1754) – do celów hazardu

• Zdefiniowany przez Pierra Laplace i 

doprowadzony do dzisiejszej formy przez Carl 

Friedrich Gaussa(1777-1855), 

– matematyk niemiecki, jeden z najwybitniejszych 

matematyków w dziejach świata, zajmował się 

ponadto fizyką teoretyczną, geodezją i astronomią 

sferyczną, od 1807 do śmierci był profesorem 

matematyki w 

Getyndze

 i dyrektorem tamtejszego 

obserwatorium astronomicznego

.

– Współcześni nazywali go “księciem matematyków”

• Obaj panowie interesowali się rozkładem 

błędów w obserwacjach astronomicznych

Rozkład Normalny

• Kształt rozkładu wielu zmiennych, które mierzą 

psychologowie ma kształt mniej więcej symetryczny, 

przypominający dzwon. 

• Popularny w przyrodzie

– Waga, wzrost, rozmiar butów, ......, inteligencja
– Zmienność wyrażana przez odchylenie standardowe 

została wykorzystana przez Karola Darwina w 

"Pochodzeniu gatunków" jako ważny dowód w teorii 

ewolucji. 

• Darwin założył, że średnia i odchylenie standardowe były 

wrodzonymi cechami każdego gatunku. 

– Jeżeli zbadamy bowiem pewną grupę psów - np. labradorów pod 

względem ich wzrostu i wzrost ten naniesiemy na oś poziomą a 

częstość jej występowania na oś pionową to zauważymy, że rozkład 

ten przybierze charakterystyczny kształt dzwonu, zwanego 

rozkładem Gaussa lub rozkładem normalnym. Tak samo się stanie 

jeżeli zbadany inne zwierzęta czy nawet ludzi.

Powinien być symetryczny 

wokół średniej (lepty i plato)

Średnia, 
mediana i 
modalna są 
sobie równe

Wszystkie są 
normalne, 
chociaż, nie są 
takie same, 
różnią się 
rozproszeniem 
wyników, 
spiczastością

Charakterystyki rozkładu 

normalnego

• Krańce rozkładu normalnego stykają 

się z osią x w nieskończoności

• Ma kształt dzwonu
• Jest funkcją średniej i odchylenia 

standardowego

– Znając średnią i odchylenie standardowe 

możemy wyznaczyć krzywą rozkładu 
normalnego

Wzór na rozkład normalny

• X warotść na osi odciętych
• Y wysokość krzywej w zależności od X

=3,1416

 i e=2,7183 to stałe

2

2

2

)

(

2

1

)

(

s

x

x

e

s

X

f









Odchylenie standardowe

średnia

Standaryzowany rozkład 

normalny

• Rozkłady zależą od wartości średniej i 

odchylenia standardowego, wygodnie jest 

więc wystandaryzować nasz rozkład, aby 

móc, np powiedzieć jaki procent obserwacji 

leży poniżej lub powyżej pewnego wyniku 

– Można to odczytać z tabel dla 

wystandaryzowanego rozkładu normalnego

• Zamieniamy wszystkie wartości X na 

watrości standaryzowane z

– tak, aby średnia wynosiła 0, a odchylenie 

standardowe równało się 1 

• Powierzchnia pod krzywą jest równa 1

x

20

30

40

50

60

70

80

x-M -30 -20 -10 0

10

20

30

z=

-3

-2

-1

0

1

2

3

POLITYKA

80,0

70,0

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

POLITYKA

C

zę

st

oś

ć

5

4

3

2

1

0

Średnia M =50
SD=10
Wariancja =100

SD

x

z

M





Dokonując transfomacji na wartości z nie zmieniamy 
Kształtu rozkładu, więc jeśli rozkład  nie był normalny 
wcześniej, nie będzie normalny po przekształceniu

Sposób na rozkład normalny

• Im bardziej zwiększamy naszą 

próbkę, dodajemy obserwacje, tym 
bardziej zbliża się on do normalnego

– http://surfstat.newcastle.edu.au/surfstat

Tabele wartości z

• Korzystamy z tabel, aby znaleźć obszar pod krzywą 

normalną, w tabeli są tylko pozytywne wartości z 

(ale skoro rozkład jest symetryczny to to samo 

odnosi się do wartości ujemnych z)

Tabela wartości z

• Na podstawie tabel można łatwo znaleźć procent 

przypadków odpowiadający danej wartości z, a także 
wartość z odpowiadającą danemu procentowi przypadków.

• Warto zapamiętać, że jeśli rozkład wyników jest zgodny z 

rozkładem normalnym:  

a)

Między wartością z = 0 (środek rozkładu) a wartością z=1  
           (lub z = -1) mieści się ok. 34% przypadków

b)

Między wartością z =1 a wartością z=2 (analogicznie, 
między        z=-1 i z=-2) mieści się ok. 14% przypadków

c)

Z tego wynika, że jest co najwyżej 2 procent przypadków o 
wartości z większej niż 2 i analogicznie jest co najwyżej 
2% przypadków o wartości z mniejszej niż -2

0,0668

Mniejsza 

część

0,4332

od średniej 

do wartości 

z

Większa część 

pod krzywą 

normalną

0,9332

Patrząc na Tabele wartości z

• Możemy obliczyć dokładnie

– Jaki procent obserwacji będzie mieścił się w przedziale 

między dowolnymi dwoma punktami na krzywej 

normalnej wyrażonymi w wartościach z

– Np procent między z= +1,5 a z=-1.0

• Powierzchnia między średnią a z=+1,5 = 0.4332
• Powierzchnia między średnią  a z=-1.0 =  0.3413
• Dodajemy obszary                                    0.7745

– Widzimy, że około 77% obserwacji będzie mieściło się w 

przedziale między z = -1.0 and z = +1.5

Przykład 2, procent 

przypadków 

• Jaki procent obserwacji znajduje się 

między  z = 0,70 i z = -1.70 

– Od M do z=0,70 jest 0,2580 czyli 25,80%
– Od M do z=-1,70 jest 0,4554 czyli 45,54%,

– A ponieważ są po różnych stronach rozkładu 

dodajemy procenty i wychodzi 71,34%

• Dokładnie 71,34% przypadków znajduje 

się między z  = 0,70 i z = -1.70

Wracając do surowych 

wyników x

• Załóżmy że  M= 50 

i SD = 10

• 77% procent 

przypadków znajduje 
się  pomiędzy 
wartościami 40 i 65

65

10

5

,

1

50

40

10

0

,

1

50



























x

x

SD

z

M

x

M

SD

x

z

Przedziały

• W ostatnim przykładzie M=50, SD=10
• Chcemy odciąć skrajne 2,5% 

obserwacji z każdego krańca rozkładu 

– Sprawdzamy w tabeli wartości z 

– z = + 1.96

4

,

30

10

96

.

1

50

6

,

69

10

96

.

1

50

















x

x

SD

z

M

x







Procent wyników w danym 

przedziale

• Szukamy przedziału w którym będzie 

mieściło sie 95% wyników.

• W naszym przykładzie  95% wyników 

będzie się mieścić w przedziale (20,2 
; 39,8)

• Stąd w 95% przypadków wynik 

losowo wybranej z populacji osoby  
będzie się mieścić w tym przedziale

95% wyników 
mieści się w tym 
przedziale

z=1,9

6

z=-

1,96

Jak znaleźć procent 

przypadków znajdujący się 

poniżej lub powyżej  

danego wyniku

W oparciu o wyniki surowe i 

tabelę wartości z

Kolejne kroki – procent osób 

poniżej danego wyniku

• Aby obliczyć procent przypadków 

znajdujących się poniżej danego wyniku: 

– Zamieniamy wynik surowy na wartość z
– w tabeli dla danej wartości z znajdujemy jej 

odległość od średniej 

– Jeśli nasze z jest dodatnie wtedy dodajemy 

odczytany % do 50%

–  jeśli z jest ujemne, odejmujemy odczytany 

% od 50

• Zawsze dobrze jest sobie narysować 

rozkład i umiejscowić naszą watrość z

Kolejne kroki – procent 

powyżej

• Aby obliczyć procent przypadków 

znajdujących się powyżej danego 
wyniku

– Zamieniamy  wyniki surowe na wartości z.
– w tabeli dla danej wartości z znajdujemy jej 

odległość od średniej 

– Jeśli nasze z jest dodatnie wtedy, 

odejmujemy odczytany procent  od 50, 

– a jeśli jest ujemne, dodajemy ten wynik do 

50. 

Test Coopera – test 12 minut

• Jest to test stosowany przez 

amerykańskich kosmonautów dla 

sprawdzenia kondycji fizycznej, 

wydolności

• Opracowany przez Kennetha Coopera, 

polega na przemierzeniu jak 

największego dystansu w ciągu 12 minut

• Zakładamy, że zmienna ta ma rozkład 

normalny

Kondycja Jasia

• W wieku 20-29 

średnia= 2400 metrów, 
SD=300 metrów

• Jaś przebiegł 3000, jaki 

procent panów biega 
szybciej od Jasia

– z=2, w przedziale od 

średniej do z mieści się 
47,72%, 

– Czyli 50 – 47,72=2,28%
– Od Jasia szybciej biega 

jedynie 2,28% 

2

300

2400

3000











z

M

SD

x

z

A wolniej biega 97,72%

50+47,72=97,72

Kondycja Zbyszka

• W wieku 20-29 średnia= 

2400 metrów, SD=300 

metrów

• Zbyszek przebiegł 2100, 

jaki procent panów biega 

szybciej od Zbyszka, jaki 

% jest poniżej wyniku 

Zbyszka

–

z=-1, w przedziale od 

średniej do z=-1 mieści się 

34,13%, 

–

Czyli 50 + 34,13=84,13%

–

84,13% biega szybciej

–

84,13% osób znajduje się 

powyżej wyniku Zbyszka

1

300

2400

2100













z

M

SD

x

z

A wolniej biega 15,87%

50-34,13=15,87%

Ile metrów trzeba przbiec w 

ciągu 12 minut, żeby..

• Znaleźć się w grupie 5% najlepszych 

biegaczy?

– średnia=2400, SD=300
– Odległość między wynikiem odcinającym górne 

5% a średnią wynosi 45%, odczytujemy z tabeli 
wartość z dla odległości najbardziej zbliżonej 
=44,95%, 

• wartość z dla tej odległości wynosi 1,64
•  i podstawiamy dane do wzoru

2892

300

64

,

1

2400















x

SD

z

M

x

Żeby zmieścić się w 5% najlepszych biegaczy 
trzeba przebiec co najmniej 2892

Ile metrów trzeba biegać, 

żeby..

• Znaleźć się w grupie 2% najgorszych 

biegaczy?

– średnia=2400, SD=300
– Odległość między wynikiem odcinającym dolne 

2% a średnią wynosi 48%, odczytujemy z tabeli 
wartość z dla odległości najbardziej zbliżonej 
=47,98%, 

• wartość z dla tej odległości wynosi 2,05, ale wynik jest 

poniżej średniej więc z=-2,05

•  i podstawiamy dane do wzoru

1785

300

05

,

2

2400















x

SD

z

M

x

Żeby zmieścić się w 2% biegaczy z najsłabszą 
kondycją nie można przebiec więcej niż 1785 
metrów

Do zapamiętania

• Przekształcanie wyników surowych na 

wartości z

• Jak korzystać z tabel dla rozkładu 

normalnego?

• Jak określić procent przypadków 

leżących pomiędzy dwiema 
wartościami z?

• Jak określić procent osób leżących 

poniżej lub powyżej danej wartości?