1
POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
Niech funkcja
f
posiada skończoną pochodną
'
f na przedziale
( )
b
a,
.
POCHODNĄ II RZĘDU
lub drugą pochodną funkcji
f
nazywamy pochodną funkcji
'
f przy założeniu, że pochodna ta istnieje. Oznaczamy ją symbolem
"
f
.
Ogólnie,
pochodna n-tego rzędu
lub n-tą pochodną, gdzie
{
}
..
4
,
3
,
2
∈
n
funkcji
f
nazywamy pochodną skończonej
(
)
1
−
n
pochodnej funkcji
f
. Przy założeniu że ta
pochodna istnieje.
Kolejne pochodne funkcji
f
oznaczamy
'
f
,
"
f
,
'
"
f
,
)
4
(
f
…
)
1
( −
n
f
,
)
(n
f
WZÓR LEIBNIZA
Jeżeli funkcja
f
,
g
posiadają skończoną pochodną do rzędu
n
włącznie w otoczeniu
0
x
to
(
)
∑
=
−
⋅
=
⋅
n
k
k
k
n
n
x
g
x
f
k
n
x
g
f
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
gdzie
)
(
)
(
)
0
(
x
f
x
f
=
,
)
(
)
(
)
0
(
x
f
x
f
=
dla
x z otoczenia
0
x .
TWIERDZENIE WZÓR TAYLORA
Jeżeli funkcja
f
o wartościach rzeczywistych jest określona w otoczeniu
ℜ
∈
0
x
oraz
posiada w
0
x skończona pochodna n-tego rzędu to dla dostatecznie małych h zachodzi
wzór.
WZÓR TAYLORA Z RESZTĄ W POSTACI PEANA
(
)
)
,
(
!
)
(
!
)
(
!
1
...
)
(
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
0
0
)
(
0
1
1
0
"
2
0
'
0
0
h
x
n
h
x
f
n
h
x
f
n
h
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
n
n
n
n
n
ε
+
+
−
+
+
+
+
=
+
−
−
gdzie
0
)
,
(
0
→
h
x
n
ε
przy
0
→
h
(
)
)
,
(
)
(
!
)
,
(
0
0
)
(
0
h
x
x
f
n
h
h
x
r
n
n
n
n
ε
+
=
Reszta w postaci Peana
EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJ ZMIENNEJ
Dana jest funkcja
( )
ℜ
→
b
a
f
,
:
niech
( )
b
a
x
,
0
∈
Mówimy, że funkcja
f
posiada w
0
x
MAKSIMUM LOKALNE (MINIMUM
LOKALNE)
jeżeli istnieje takie otoczenie
(
) ( )
b
a
h
x
h
x
,
,
0
0
⊂
+
−
)
(
)
(
0
)
,
(
0
0
x
f
x
f
h
x
h
x
x
≤
∀
+
−
∈
(
)
)
(
)
(
0
)
,
(
0
0
x
f
x
f
h
x
h
x
x
≥
∀
+
−
∈
Wspólna nazwa dla maksimum i minimum lokalnego to ekstrema lokalne.
2
WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIE EKSTREMUM
Jeżeli funkcja
f
określona na przedziale
b
a,
, posiada w punkcie
( )
b
a
x
,
0
∈
skończoną
pochodną
)
(
0
'
x
f
oraz posiada w
0
x
ekstremum lokalne to
0
)
(
0
'
=
x
f
Dowód : Niech np. w
0
x
funkcja
f
ma maksimum lokalne.
Ponieważ istnieje skończona pochodna
)
(
0
'
x
f
więc istnieje pochodna jednostronna
h
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
0
0
'
−
+
=
−
+
=
−
+
→
→
,
dla dostatecznie małych
0
>
h
mamy
0
)
(
)
(
0
0
≤
−
+
h
x
f
h
x
f
czyli
0
)
(
)
(
0
'
0
'
≤
=
x
f
x
f
p
, dla dostatecznie małych co do
wielkości bezwzględnych
0
<
h
mamy
0
)
(
)
(
0
0
≥
−
+
h
x
f
h
x
f
czyli
0
)
(
)
(
0
'
0
'
≥
≥
x
f
x
f
l
zatem
0
)
(
0
'
=
x
f
.
Punkt
0
x
, w którym zeruje się pochodna
'
f
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji
f
.
Jeżeli
0
)
(
0
'
=
x
f
to
0
x
nie zawsze istnieje ekstremum.
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO
Jeżeli funkcja
f
posiada w otoczeniu
0
x
skończoną pochodna
'
f
przy czym
0
)
(
0
'
=
x
f
,
oraz istnieje pochodna
)
(
0
"
"
x
f
to:
a) w
0
x
funkcja
f
osiąga maksimum właściwe gdy
0
)
(
0
"
"
<
x
f
b) w
0
x
funkcja
f
osiąga minimum właściwe gdy
0
)
(
0
"
"
>
x
f
Dowód: Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peana dla n=2
)
,
(
!
2
)
(
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
0
2
2
0
'
2
0
'
0
0
h
x
h
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
ε
+
+
+
=
+
dla dostatecznie małych
( )
h gdzie
(
)
0
,
0
2
→
h
x
ε
przy
0
→
h
ponieważ
0
)
(
0
'
=
x
f
więc
(
)
)
,
(
)
(
2
)
(
)
(
0
2
0
"
"
2
0
0
h
x
x
f
h
x
f
h
x
f
ε
+
=
−
+
znak prawej strony powyższej równości jest przy małym
( )
h jest taki sam jak znak pochodnej
)
(
0
"
"
x
f
zatem, jeżeli
0
)
(
0
"
"
>
x
f
, to
)
(
)
(
0
0
x
f
h
x
f
>
+
czyli w
0
x istnieje minimum
właściwe. Analogicznie jeżeli
0
)
(
0
"
"
<
x
f
to w
0
x istnieje maksimum właściwe.
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO
Jeżeli funkcja
f
posiada w otoczeniu
0
x skończoną pochodną do
(
)
go
n
−
−1
rzędu
włącznie, przy czym
0
)
(
...
)
(
0
)
1
(
0
'
=
=
=
−
x
f
x
f
n
oraz istnieje skończona pochodna
0
)
(
0
)
(
≠
x
f
n
to
a) nie występuje ekstremum lokalne funkcji
f
, gdy
n jest liczbą nieparzystą
3
b) występuje maksimum lokalne właściwe, gdy n jest liczba parzystą, oraz gdy
0
)
(
0
)
(
<
x
f
n
c) występuje minimum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą
oraz gdy
0
)
(
0
)
(
>
x
f
n
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
11.Poch.wyższe, ekstrema
Ubytki,niepr,poch poł(16 01 2008)
Zarz[1] finan przeds 11 analiza wskaz
11 Siłowniki
11 BIOCHEMIA horyzontalny transfer genów
PKM NOWY W T II 11
wyklad 11
R1 11
CALC1 L 11 12 Differenial Equations
Prezentacje, Spostrzeganie ludzi 27 11
zaaw wyk ad5a 11 12
budzet ue 11 12
EP(11)
W 11 Leki działające pobudzająco na ośrodkowy układ
Zawal serca 20 11 2011
11 Resusc 2id 12604 ppt
więcej podobnych podstron