www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

E

KSTREMA FUNKCJI KWADRATOWEJ

Po wyrzuceniu ze szkoły pochodnych,

funkcja kwadratowa

stała si˛e tematem przewodnim

wszystkich zada ´n na ekstrema. Sytuacja jest w zasadzie do´s´c prosta – zadania tego typu
sprowadzaj ˛

a si˛e do wyznaczenia najmniejszej/najwi˛ekszej warto´sci funkcji kwadratowej na

pewnym przedziale. Mo ˙zliwe konfiguracje s ˛

a nast˛epuj ˛

ace.

a) Je ˙zeli szukamy warto´sci najwi˛ekszej, ramiona paraboli s ˛

a skierowane w dół i wierz-

chołek jest zawarty w rozwa ˙zanym przedziale,

x

y

a

b

x

y

a

b

x

w

y

w

x

w

y

w

to warto´s´c najwi˛eksza jest osi ˛

agana w wierzchołku, to znaczy

f

max

=

f

(

x

w

) =

y

w

dla

(

x

w

, y

w

) =



−

b

2a

,

−

∆

4a



.

b) Je ˙zeli szukamy warto´sci najmniejszej, ramiona paraboli s ˛

a skierowane do góry i wierz-

chołek jest zawarty w rozwa ˙zanym przedziale, to warto´s´c najmniejsza jest osi ˛

agana

w wierzchołku.

c) W ka ˙zdej innej sytuacji, warto´s´c najwi˛eksza/najmniejsza jest osi ˛

agana w jednym z

ko ´nców przedziału. W którym? – trzeba policzy´c warto´sci w obu ko ´ncach i je porów-
na´c.

x

y

a

b

x

y

a

b

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Znajd´zmy najmniejsz ˛

a warto´s´c funkcji

f

(

x

) =

2x

2

−

4x

+

7

na przedziale

h−

1, 0

i

.

Poniewa ˙z x

w

=

1

6∈ h−

1, 0

i

, warto´s´c ta jest przyjmowana w jednym z ko ´nców

przedziału. Mamy

f

(−

1

) =

13

>

f

(

0

) =

7.

Zatem najmniejsza warto´s´c to f

(

0

) =

7.

Wa˙zna jest dziedzina!

W zadaniach na ekstrema bardzo wa ˙zne (i cz˛esto kłopotliwe) jest wyznaczenie przedziału,
na którym szukamy ekstremum. Ogólna zasada jest taka, ˙ze gdy wyznaczymy ju ˙z wzór
funkcji f

(

x

)

, której mamy znale´z´c ekstremum, to musimy ustali´c jakie s ˛

a mo ˙zliwe warto´sci

argumentu x. Jak to zrobi´c? – to zale ˙zy od rodzaju i tre´sci zadania: je ˙zeli x jest długo´sci ˛

a

jakiego´s odcinka to x

>

0, je ˙zeli x

=

sin α to x

∈ h−

1, 1

i

, je ˙zeli x

=

2

t

to x

∈ (

0,

+

∞

)

itd.

Spróbujmy znale´z´c najwi˛eksze mo ˙zliwe pole prostok ˛

ata o obwodzie 4.

Je ˙zeli oznaczymy boki prostok ˛

ata przez a i 2

−

a, to szukamy najwi˛ekszej mo ˙zliwej

warto´sci wyra ˙zenia a

(

2

−

a

)

. Na jakim przedziale? – boki prostok ˛

ata nie mog ˛

a by´c

ujemne, wi˛ec a

∈ (

0, 2

)

. Łatwo policzy´c, ˙ze maksymalne pole mamy dla kwadratu

o boku 1.

Z kraw˛edzi dachu podrzucono kamie ´n, który po 2 sekundach spadł na ziemi˛e. Wy-
soko´s´c, na jakiej znajdował si˛e kamie ´n nad ziemi ˛

a po upływie t sekund od chwili

jego podrzucenia, opisuje funkcja h

(

t

) = −

5t

2

+

5t

+

10. Na jak ˛

a najwi˛eksz ˛

a wyso-

ko´s´c wzniósł si˛e ten kamie ´n?
Na jakim przedziale szukamy maksimum funkcji h

(

t

)

– na takim, jak zmienia si˛e

czas, czyli dla t

∈ h

0, 2

i

.

Zadania

.info

Podoba Ci się ten poradnik?

Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

T

IPS

& T

RICKS

1

Cz˛esto pojawiaj ˛

acy si˛e motyw to zło ˙zenie funkcji kwadratowej z inn ˛

a

funkcj ˛

a

.

Jaka jest najmniejsza mo ˙zliwa warto´s´c wyra ˙zenia sin

2

x

+

4 sin x

−

7?

Podstawiaj ˛

ac t

=

sin x mamy zwykł ˛

a funkcj˛e kwadratow ˛

a t

2

+

4t

−

7. Na jakim

przedziale szukamy jej warto´sci najmniejszej? – na takim, jakie s ˛

a mo ˙zliwe war-

to´sci wyra ˙zenia t

=

sin x, czyli na przedziale

h−

1, 1

i

. W tym przypadku warto´s´c

najmniejsz ˛

a otrzymujemy w ko ´ncu przedziału t

=

sin x

= −

1.

2

Przedział, na którym szukamy warto´sci najmniejszej/najwi˛ekszej mo ˙ze by´c niesko ´nczony
(tzw. niewła´sciwy), to znaczy jeden lub oba jego ko ´nce mog ˛

a by´c równe

±

∞. W takiej sytu-

acji warto´s´c najmniejsza lub najwi˛eksza istnieje tylko dla a

>

0 i a

<

0 odpowiednio.

Jaka jest najmniejsza warto´s´c funkcji

f

(

x

) =

x

4

−

2x

2

+

4?

Podstawiaj ˛

ac t

=

x

2

mamy funkcj˛e kwadratow ˛

a

f

(

t

) =

t

2

−

2t

+

4.

Na jakim przedziale szukamy warto´sci najmniejszej? – na takim, jakie warto´sci
przyjmuje t

=

x

2

, czyli na

h

0,

+

∞

)

. Poniewa ˙z wierzchołek paraboli znajduje si˛e

w tym przedziale, warto´s´c najmniejsz ˛

a otrzymamy dla x

2

=

t

w

=

1.

3

Przypomnijmy, ˙ze wierzchołek paraboli znajduje si˛e dokładnie w połowie mi˛edzy pierwiast-
kami:

x

w

=

x

1

+

x

2

2

,

a warto´s´c funkcji w wierzchołku to po prostu f

(

x

w

)

. Własno´sci te bywaj ˛

a bardzo u ˙zyteczne

w przypadku zada ´n na ekstrema.

Jaki mo ˙ze by´c najwi˛ekszy iloczyn dwóch liczb dodatnich o sumie 4?
Szukamy najwi˛ekszej warto´sci funkcji

f

(

a

) =

a

(

4

−

a

)

na przedziale

(

0, 4

)

(bo a

>

0 i b

=

4

−

a

>

0). Warto´s´c ta to dokładnie warto´s´c w

wierzchołku

0

+

4

2

=

2, czyli 2

·

2

=

4.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

4

Napisali´smy, ˙ze je ˙zeli ekstremum jest w jednym z ko ´nców przedziału to trzeba policzy´c war-
to´sci funkcji w obu ko ´ncach i porówna´c otrzymane warto´sci. Tak naprawd˛e mo ˙zna łatwo
przewidzie´c, w którym ko ´ncu przedziału b˛edzie wi˛eksza/mniejsza warto´s´c. Powiedzmy,

˙ze a

>

0. Funkcja kwadratowa ro´snie gdy argument oddala si˛e od wierzchołka oraz wy-

kres funkcji jest symetryczny wzgl˛edem pionowej prostej przechodz ˛

acej przez wierzchołek

paraboli. Zatem warto´sci funkcji s ˛

a tym wi˛eksze im dalej jeste´smy od wierzchołka.

Wyznaczmy warto´s´c najwi˛eksz ˛

a funkcji f

(

x

) =

√

3

(

x

−

1

)(

x

+

3

)

na przedziale

h−

97, 97

i

.

Jak ju ˙z wiemy wierzchołek paraboli b˛ed ˛

acej wykresem tej funkcji jest w punkcie

x

w

=

1

−

3

2

= −

1.

Poniewa ˙z dalej jest do wierzchołka od prawego ko ´nca przedziału, wła´snie w nim
b˛edzie warto´s´c najwi˛eksza funkcji i jest ona równa

f

max

=

f

(

97

) =

√

3

·

96

·

100

=

9600

√

3.

Dokładnie tak samo jest w przypadku paraboli z ramionami skierowanymi w dół, tylko ˙ze
tym razem mówimy o warto´sci najmniejszej.

5

Bardzo u ˙zyteczn ˛

a obserwacj ˛

a jest fakt, ˙ze ekstrema funkcji f

(

x

)

s ˛

a dokładnie w tych samych

punktach, co ekstrema funkcji a f

(

x

)

, gdzie a

>

0. Je ˙zeli dopu´scimy te ˙z a

<

0, to trzeba

uwa ˙za´c, bo w tej sytuacji minima zamieniaj ˛

a si˛e na maksima i na odwrót.

Jakie jest minimalne ł ˛

aczne pole powierzchni dwóch kul, których promienie r

1

i r

2

spełniaj ˛

a warunek r

1

+

r

2

=

2?

Szukamy warto´sci najmniejszej funkcji

f

(

r

1

) =

4πr

2

1

+

4πr

2

2

=

4π

(

r

2

1

+ (

2

−

r

1

)

2

) =

8π

(

r

2

1

−

2r

1

+

2

)

,

na przedziale

(

0, 2

)

. Zgodnie z poczynion ˛

a uwag ˛

a wystarczy zajmowa´c si˛e wyra-

˙zeniem w nawiasie, a na koniec przemno ˙zy´c otrzymany wynik przez czynnik 8π.

W tym przykładzie najmniejsz ˛

a warto´s´c otrzymamy dla r

1

=

r

2

=

1.

6

Uogólnienie poprzedniej uwagi: je ˙zeli g jest funkcj ˛

a rosn ˛

ac ˛

a (i ci ˛

agł ˛

a – jak kto´s nie wie co

to znaczy, to niech si˛e nie przejmuje, szkolne funkcje takie s ˛

a), to ekstrema funkcji g

(

f

(

x

))

s ˛

a w tych samych punktach co ekstrema funkcji f

(

x

)

. Funkcj˛e a f

(

x

)

z poprzedniej uwagi

dostajemy bior ˛

ac g

(

x

) =

ax dla a

>

0.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

W´sród prostok ˛

atów, których boki spełniaj ˛

a warunek a

+

2b

=

5 znajd´z prostok ˛

at o

najkrótszej przek ˛

atnej.

Ze twierdzenia Pitagorasa, musimy znale´z´c najmniejsz ˛

a warto´s´c funkcji

d

(

b

) =

p

a

2

+

b

2

=

q

(

5

−

2b

)

2

+

b

2

=

p

5b

2

−

20b

+

25.

na przedziale b

∈ (

0,

5

2

)

(bo a

>

0). Poniewa ˙z pierwiastek jest funkcj ˛

a rosn ˛

ac ˛

a, na

mocy poczynionej uwagi, wystarczy patrze´c na parabol˛e pod pierwiastkiem. Ma
ona wierzchołek w punkcie b

=

2 i wła´snie dla takiego prostok ˛

ata otrzymamy

najkrótsz ˛

a przek ˛

atn ˛

a.

a

b

d

7

Jaka jest ró ˙znica mi˛edzy minimum/maksimum, a warto´sci ˛

a najmniejsz ˛

a/najwi˛eksz ˛

a? – ty-

powy dylemat ka ˙zdego, kto rozpoczyna przygod˛e z ekstremami. Minima/maksima s ˛

a lokal-

ne, czyli s ˛

a własno´sci ˛

a funkcji na pewnym małym przedziale – mo ˙zna my´sle´c, ˙ze s ˛

a to dołki

i górki na

wykresie

. Oczywi´scie takich dołków/górek mo ˙ze by´c du ˙zo i nie musz ˛

a one mie´c

nic wspólnego z warto´sci ˛

a najmniejsz ˛

a/najwi˛eksz ˛

a.

Wystarczy wzi ˛

a´c pierwszy z brzegu wykres kawałka wielomianu stopnia 3, ˙zeby

zobaczy´c, ˙ze funkcja mo ˙ze mie´c i maksimum i minimum, ale nie s ˛

a to warto´sci

najwi˛eksza/najmniejsza.

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

Dobrze znane wykresy sinusa/cosinusa pokazuj ˛

a, ˙ze górek/dołków mo ˙ze by´c bar-

dzo du ˙zo.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

8

Wprawdzie wy ˙zej jest przykład, ˙ze minimum/maksimum nie musi dawa´c warto´sci naj-
mniejszej/najwi˛ekszej funkcji, ale jest to prawie prawda; dla porz ˛

adnych funkcji (wszystkich

szkolnych), warto´s´c najmniejsza (je ˙zeli istnieje) jest zawsze jednym z minimów lub warto-

´sci ˛

a funkcji w ko ´ncu przedziału. Podobnie jest z warto´sci ˛

a najwi˛eksz ˛

a – jest to jedno z mak-

simów lub warto´s´c w ko ´ncu przedziału. Tak wła´snie szuka si˛e tych warto´sci przy pomocy
pochodnych.

Wyznaczmy warto´sci najwi˛eksz ˛

a i najmniejsz ˛

a funkcji

f

(

x

) =











−

x

2

−

2x

+

2

dla x

∈ h−

2, 0

)

x

2

−

2x

+

2

dla x

∈ h

0, 3

)

x

2

−

8x

+

20

dla x

∈ h

3, 5

i

.

Mo ˙zemy sobie my´sle´c, ˙ze mamy trzy sklejone ze sob ˛

a kawałki parabol. Parabole

s ˛

a sklejone, bo w obu punktach x

=

0 i x

=

3 wzory z prawej i lewej strony si˛e ze

sob ˛

a zgadzaj ˛

a (funkcja jest ci ˛

agła). Wierzchołki parabol s ˛

a w punktach

−

1, 1, 4, wi˛ec

liczymy warto´sci funkcji w tych punktach oraz w czterech ko ´ncach przedziałów na
których okre´slone s ˛

a parabole.

f

(−

1

) =

3, f

(

1

) =

1, f

(

4

) =

4,

f

(−

2

) =

2, f

(

0

) =

2, f

(

3

) =

5, f

(

5

) =

5.

Warto´s´c najwi˛eksza to najwi˛eksza z tych liczb, czyli f

(

3

) =

f

(

5

) =

5, a warto´s´c

najmniejsza to najmniejsza z nich f

(

1

) =

1.

Terminem ekstrema zwykle okre´sla si˛e zarówno minima/maksima jak i warto´s´c najwi˛ek-
sz ˛

a/najmniejsz ˛

a.

9

W przypadku funkcji kwadratowej u ˙zywanie pochodnych w zasadzie nic nie daje – po pro-
stu na nowo wyprowadzamy wzór na wierzchołek paraboli.

Znajd´zmy (u ˙zywaj ˛

ac pochodnej) ekstremum funkcji kwadratowej f

(

x

) =

ax

2

+

bx

+

c, gdzie a

6=

0.

Liczymy pochodn ˛

a

f

0

(

x

) =

2ax

+

b

=

2a



x

+

b

2a



.

Wida´c teraz, ˙ze pochodna zmienia znak w punkcie x

= −

b

2a

, wi˛ec jest w tym punk-

cie ekstrem. Jego rodzaj zale ˙zy od znaku a.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6