Szkice do wykładu z Teorii miary i całki dla III roku matematyki
(wykład monograficzny)
1
dr Jarosław Kotowicz
23 czerwca 2003 roku
1
c
Copyright J.Kotowicz
Spis treści
1
2003.10.01 / 2h
7
1.1
Przestrzeń topologiczna i metryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Klasy podzbiorów danego zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2
2003.10.08 / 2h
11
2.1
Klasy podzbiorów generowane przez rodziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Funkcje zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3
2003.10.15 / 2h
14
3.1
Uzupełnienie poprzedniego wykłady
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2
Funkcje zbiorów – miary dodatnie i znakowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.4
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4
2003.10.22 / 2h
16
4.1
Przedłużanie miar dodatniej z półpierścienia na pierścień
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Miara zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5
2003.10.29 / 2h
18
5.1
Miara zewnętrzna c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.2
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6
2003.11.05 / 2h
20
6.1
Przedłużanie miary na σ - pierścień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
6.2
Miara Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
6.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
7
2003.11.12 / 2h
22
7.1
Miara Lebesgue’a c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
7.2
Miara Lebesgue’a - Stieltjesa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
7.3
Odwzorowania mierzalne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.4
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8
2003.11.19 / 2h
26
8.1
Działania na funkcjach mierzalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
8.2
Pojęcie funkcji prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
8.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2
9
2003.11.26 / 2h
28
9.1
Funkcje proste – twierdzenie o aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
9.2
Funkcje równoważne. Zbieżność prawie wszędzie (względem miary) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
9.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
10 2003.12.03 / 2h
30
10.1 Zbieżność prawie wszędzie (względem miary) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
10.2 Zbieżność względem miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
10.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
11 2003.12.10 / 2h
32
11.1 Zbieżność względem miary c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
11.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
12 2003.12.17 / 2h
33
12.1 Zbieżność względem miary c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
12.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
13 2003.01.14 / 2h
34
13.1 Całka Lebesgue’a – definicja i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
13.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
14 2003.01.21 / 2h
36
14.1 Całka Lebesgue’a – własności c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
14.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
15 Egzamin
37
15.1 Zagadnienia na egzamin – część teoretyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
15.2 Zadania z egzaminu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
15.3 Zadania z egzaminu poprawkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1
2003.02.18 /2h
40
1.1
Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.2
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2
2003.02.25 /2h
41
2.1
Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.2
Całka Lebesgue’a zależna od parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3
2003.03.04 /2h
43
3.1
Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.2
Przestrzenie produktowe i miary produktowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4
2003.03.11 /2h
45
4.1
Twierdzenie Fubiniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5
2003.03.18 /2h
46
5.1
Funkcje wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.2
Nierówności H¨
oldera, Minkowskiego, Markowa, Jensena
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3
6
2003.03.25 /2h
48
6.1
Przestrzenie L
p
(X, H, µ) dla p ∈ (0, +∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
7
2003.04.01 /2h
50
7.1
Zbieżność w przestrzeniach L
p
(X, H, µ)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.2
Zbiory gęste w przestrzeniach L
p
(X, H, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
8
2003.04.08 /2h
51
8.1
Przestrzenie Banacha, Hilberta i Fr´
echeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
8.2
Przestrzenie L
p
(X, H, µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
8.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
9
2003.04.15 /2h
54
9.1
Przestrzenie L
p
(X, H, µ) c.d.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
9.2
Funkcje zbioru. Rozkład Hahna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
9.3
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
10 2003.05.06 /2h
56
10.1 Rozkład Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
10.2 Absolutna ciągłość miar. Miary i funkcje zbioru wzajemnie osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
10.3 Twierdzenie Radona - Nikodyma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
10.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
11 2003.05.12 /2h (za 20.05.2003)
58
11.1 Wnioski z twierdzenia Radona - Nikodyma. Pochodna Radona - Nikodyma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
11.2 Twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie kanonicznym
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
11.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
12 2003.05.13 /2h
59
12.1 Topologia raz jeszcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
12.2 Twierdzenie Riesza o reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
12.3 Schemat dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
12.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
13 2003.05.27 /2h
62
13.1 Dowód twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
13.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
14 2003.06.03 /2h
63
14.1 Dokończenie dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
14.2 Miary borelowskie. Regularność miar borelowskich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
14.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
15 2003.06.10 /2h
64
15.1 Regularność miar borelowskich c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
15.2 Twierdzenie Łuzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
15.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
16 Egzamin – semestr letni
65
16.1 Lista zagadnień na egzamin ustny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
16.2 Zadania z egzaminu pisemnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4
Program wykładu
Plan wykładu monograficznego Teoria miary i całki w roku akademickim 2002/2003
III rok matematyka ogólna - studia dzienne
60 godzin wykładów prowadzący dr J. Kotowicz
Zagadnienia wykładu
1
1. Przypomnienie wiadomości z topologii i teorii przestrzeni metrycznych.
1 godz.
2. Klasy pozbiorów danego niepustego zbioru: półpierścienie, pierścienie, σ - pierścienie, ciała i σ - ciała zbiorów oraz
rodziny monotoniczne.
1 godz.
3. Klasy generowane przez rodziny zbiorów.
1 godz.
4. Funkcje zbiorów i ich własności
2 godz.
5. Miary dodatnie i znakowe – własności. Przykłady miar.
1 godz.
6. Miara zewnętrzna.
2 godz.
7. Twierdzenie o rozszerzaniu miary z pierścienia. Zbiory mierzalne względem miary.
4 godz.
8. Miara zewnętrzna. Twierdzenie Caratheodory’ego.
3 godz.
9. Funkcje mierzalne i działania na nich. Przestrzenie mierzalne i przestrzenie z miarą.
4 godz.
10. Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.
2 godz.
11. Zbieżność prawie wszędzie i zbieżności według miary i ich analiza. Twierdzenie Riesza, Jegorowa, Łuzina itp. 3 godz.
12. Konstrukcja całki i jej własności.
6 godz.
13. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue’a zbieżności monotonicznej i zbieżności ograniczonej.
3 godz.
14. Całka Lebesgue’a w R
n
.
1 godz.
15. Nierówności typu H¨
oldera, Minkowskiego itp. Nierówności spotykane w rachunku prawdopodobieństwa.
3 godz.
16. Miary produktowe. Twierdzenie Fubiniego.
4 godz.
17. Podstawowe wiadomości o przestrzeniach Banacha, Hilberta i Fr´
echeta.
2 godz.
18. Przestrzenie L
p
, p 1 Lebesgue’a jako przestrzenie Banacha. Przestrzeń L
p
, 0 < p < 1 Lebesgue’a jako przestrzenie
Fr´
echeta. Przestrzeń L
2
jako przestrzeń Hilberta.
3 godz.
19. Zbiory gęste w przestrzeniach L
p
.
2 godz.
20. Funkcjonały i twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału liniowego ciągłego.
2 godz.
21. Różniczkowanie (prawie wszędzie). Twierdzenia Lebesgue’a o różniczkowaniu całki i Rademachera itp.
4 godz.
1
Mogą ulec zmianie
5
22. Analiza miar.
(a) Twierdzenia Hahna o rozbiciu σ - addytywnej funkcji zbioru.
4 godz.
(b) Twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie miary.
3 godz.
(c) Twierdzenie Radona - Nikodyma.
3 godz.
23. Miary borelowskie.
24. Miary zespolone.
Literatura podstawowa:
1. A. Dorogowcew, Elementy teorii miary i całki, Państwowe Wyd. Wyż. Szk., Kijów 1989 (ros.)
2. S. Hartman, J. Mikusiński, Teoria miary i całki Lebesgue’a, PWN, Warszawa 1957
3. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973
4. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976
5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982
6. K. Yosida, Functional analysis, Springer, Berlin 1965
Literatura uzupełniająca:
1. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987
2. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, PWN, Warszawa 1987
3. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszaw 1986
6
Wykład 1
2003.10.01 / 2h
1.1
Przestrzeń topologiczna i metryczna
Definicja 1.1 Niepusty zbiór X wraz z niepustą rodziną τ jego podzbiorów nazywamy przestrzenią topologiczną wtedy i tylko
wtedy, gdy
∅, X
∈
τ
(1.1)
∀
A,B∈τ
A ∩ B
∈
τ
(1.2)
∀
{A
α
:α∈I}⊂τ
[
α∈I
A
α
∈ τ
(1.3)
Definicja 1.2 Parę (X, d), gdzie X 6= ∅ i d : X × X → X nazywamy przestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy d
spełnia następujące warunki
∀
x,y∈X
d(x, y) = 0
⇔
x = y
(1.4)
∀
x,y∈X
d(x, y)
=
d(y, x)
(1.5)
∀
x,y,z∈X
d(x, z)
¬
d(x, y) + d(y, z)
(1.6)
d nazywamy wówczas metryką.
Twierdzenie 1.1 Jeżeli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to istnieje topologia zgodna z metryką.
1.2
R
Definicja 1.3
R
def
= R ∪ {−∞} ∪ {+∞}
(1.7)
Uwaga 1.1 Zauważmy,że gdy pominiemy założenie w definicji kresu o niepustości zbioru i będziemy rozważać zbiory w
rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, to inf ∅ = +∞ oraz sup ∅ = −∞.
Uwaga 1.2 Przyjmujemy konwencję
∀
a∈R
− ∞ < a ∧ a < +∞
(1.8)
oraz dla obu symboli nieskończonych i dowolnej liczby rzeczywistej a określone są następujące działania
a + (+∞)
def
= +∞
(1.9)
a − (−∞)
def
= +∞
(1.10)
1
±∞
def
= 0
(1.11)
a · (+∞)
def
=
+∞
dla a > 0
0
dla a = 0
−∞
dla a < 0
(1.12)
7
a · (−∞)
def
=
−∞
dla a > 0
0
dla a = 0
+∞
dla a < 0
(1.13)
Twierdzenie 1.2 Niech d : R × R → R określoną wzorem
∀
x,y∈R
d(x, y) = |arctg x − arctg y| .
(1.14)
Wówczas (R, d) jest przestrzenią metryczną zupełną zwartą.
1.3
Klasy podzbiorów danego zbioru
Niech X 6= ∅.
Definicja 1.4
2
X def
= {Y : Y ⊆ X}.
(1.15)
Niech ponadto H ⊂ 2
X
.
Definicja 1.5 Rodzinę zbiorów H nazywamy półpierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
H
6=
∅
(1.16)
∀
A,B∈H
A ∩ B
∈
H
(1.17)
∀
A,B∈H
∃
n
∃
C
1
,...,C
n
⊂H
(∀
1¬i<j¬n
C
i
∩ C
j
= ∅)
⇒
A \ B =
n
[
i=1
C
i
(1.18)
Przykład 1.1 Jeżeli w R określimy rodzinę następująco
H
def
= {[a, b[: a ¬ b ∧ a, b ∈ R},
to jest ona półpierścieniem.
Fakt 1.1 Jeżeli H półpierścieniem, to ∅ ∈ H.
Definicja 1.6 Rodzinę zbiorów H nazywamy pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
H
6=
∅
(1.19)
∀
A,B∈H
A ∪ B
∈
H
(1.20)
∀
A,B∈H
A \ B
∈
H
(1.21)
Definicja 1.7 Rodzinę zbiorów H nazywamy ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona pierścieniem oraz X ∈ H.
Fakt 1.2 Jeżeli H jest pierścieniem, to H jest półpierścieniem.
Fakt 1.3 Niech H będzie pierścieniem. Wtedy
∅
∈
H
(1.22)
∀
A,B∈H
A ∩ B
∈
H
(1.23)
∀
{A
1
,...,A
n
}⊂H
⇒
n
[
i=1
A
i
∈ H ∧
n
\
i=1
A
i
∈ H
(1.24)
Fakt 1.4 Niech H będzie ciałem, wtedy dla dowolnego A ∈ H zachodzi A
0
∈ H.
Lemat 1.1 H jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy
H
6=
∅
(1.25)
∀
A,B∈H
A ∪ B
∈
H
(1.26)
∀
A∈H
A
0
∈
H
(1.27)
8
Uwaga 1.3 Warunek (1.26) można zastąpić przez
∀
A,B∈H
A ∩ B ∈ H.
Definicja 1.8 Rodzinę zbiorów H nazywamy σ - pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
∅
∈
H
(1.28)
∀
{A
n
:n∈N}⊂H
∞
[
i=1
A
i
∈
H
(1.29)
∀
A,B∈H
A \ B
∈
H
(1.30)
Definicja 1.9 Rodzinę zbiorów H nazywamy σ - ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest σ - pierścieniem i X ∈ H.
Fakt 1.5 Każdy σ - pierścieniem jest pierścieniem
Udowodnić następujący lemat:
Lemat 1.2 Jeżeli H jest σ - pierścieniem, to dla dowolnego {A
n
: n ∈ N} ⊂ H zachodzi
∞
T
i=1
A
i
∈ H.
Definicja 1.10 Ciąg {A
n
: n 1} nazywamy wstępującym ciągiem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n ∈ N
zachodzi A
n
⊆ A
n+1
. Oznaczamy przy tym lim
n→∞
A
n
=
∞
S
n=1
A
n
Ciąg {A
n
: n 1} nazywamy zstępującym ciągiem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n ∈ N zachodzi
A
n
⊇ A
n+1
. Oznaczamy przy tym lim
n→∞
A
n
=
∞
T
n=1
A
n
Ciąg {A
n
: n 1} zbiorów nazywamy monotonicznym ciągiem zbiorów jest on ciągiem zbiorów wstępującym lub zstępu-
jącym.
Definicja 1.11 Rodzinę H nazywa my rodziną monotoniczną wtedy i tylko wtedy, gdy
H
6=
∅
(1.31)
∀
{A
n
:n1}⊂H
{A
n
: n 1} - monotoniczny
⇒
lim
n→∞
A
n
∈ H
(1.32)
Twierdzenie 1.3 Monotoniczny pierścień jest σ - pierścieniem.
Twierdzenie 1.4 Każdy σ - pierścień jest rodziną monotoniczną.
Wniosek 1.1 Rodzina H jest σ - pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest pierścień monotoniczny.
1.4
Zadania
Zadanie 1.1 Udowodnić własności 1.24.
Zadanie 1.2 Udowodnić, że H jest pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest półpierścieniem i ∀
A,B∈H
A ∪ B ∈ H
Zadanie 1.3 Niech X zbiór nieskończony, M rodzina zbiorów złożona ze wszystkich skończonych podzbiorów X oraz ich
dopełnień. Pokazać, że jest ona ciałem zbiorów, ale nie jest σ - ciałem.
Zadanie 1.4 Niech X zbiór nieprzeliczalny, M rodzina zbiorów złożona ze wszystkich przeliczalnych podzbiorów X oraz ich
dopełnień. Pokazać, że jest on σ - ciałem podzbiorów.
Zadanie 1.5 Udowodnić, że jeśli X jest skończony i H ⊆ 2
X
, to
(i) H - ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest σ - ciałem
(ii) H - pierścień wtedy i tylko wtedy, gdy H jest σ - pierścień
Zadanie 1.6 Niech S będzie σ - ciałem podzbiorów X, E ⊆ X. Pokazać, że rodzina S
E
= {A ∩ E : A ∈ S} jest σ - ciałem
podzbiorów E.
9
Zadanie 1.7 Niech S będzie σ - ciałem podzbiorów X oraz E ∈ S. Pokazać, że rodzina S
E
= {A ∈ S : A ⊆ E} jest σ - ciałem
podzbiorów E.
Zadanie 1.8 Zbiór A ⊆ R
2
nazywamy symetrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(x,y)
(x, y) ∈ A ⇒ (−x, −y) ∈ A.
(1.33)
Pokazać, że rodzina H podzbiorów symetrycznych jest σ - ciałem podzbiorów R
2
.
Zadanie 1.9 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Określmy
H
def
= {A ⊆ X : card(A) ¬ ℵ
0
∨ ∃
B⊆X
card(B) ¬ ℵ
0
∧ A = X \ B}.
(1.34)
Udowodnić, że H jest σ - ciałem podzbiorów X.
Zadanie 1.10 Niech X będzie zbiorem nieskończonym
H
def
= {A ⊆ X : ∃
n∈N
card(A) = n ∨ ∃
n∈N
∃
B⊆X
card(B) = n ∧ A = X \ B}.
(1.35)
Sprawdzić czy H jest σ - ciałem podzbiorów X.
Zadanie 1.11 Niech
H
def
= {A ⊆ X : card A < ℵ
0
∨ card(X \ A) < ℵ
0
}.
(1.36)
Udowodnić, że H jest σ - ciałem podzbiorów X wtedy i tylko wtedy, gdy X skończony.
Zadanie 1.12 Niech H będzie rodziną podzbiorów R określoną następująco
H
def
= {A : A = ∅ ∧ ∃
r∈Q
r ∈ A}.
(1.37)
Czy rodzina H jest σ - ciałem podzbiorów R?
Zadanie 1.13 Niech H będzie rodziną wszystkich otwartych podzbiorów R. Czy rodzina H jest σ - ciałem podzbiorów R?
10
Wykład 2
2003.10.08 / 2h
2.1
Klasy podzbiorów generowane przez rodziny
Niech X 6= ∅ oraz H ⊂ 2
X
.
Twierdzenie 2.1 Przekrój dowolnej ilości pierścieni (odpowiednio ciał, σ - pierścieni, σ - ciał, rodzin monotonicznych) jest
pierścieniem (odpowiednio ciałem, σ - pierścieniem, σ - ciałem, rodziną monotoniczną)
Definicja 2.1 Pierścieniem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich pierścieni zawierających H i ozna-
czamy p(H) tzn.
p(H)
def
=
\
P
α
−pierścień
P
α
⊃H
P
α
(2.1)
Definicja 2.2 σ - pierścieniem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich σ - pierścieni zawierających
H i oznaczamy σp(H) tzn.
σp(H)
def
=
\
P
α
− σ−pierścień
P
α
⊃H
P
α
(2.2)
Definicja 2.3 Ciałem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich ciał zawierających H i oznaczamy a(H)
tzn.
a(H)
def
=
\
P
α
−ciało
P
α
⊃H
P
α
(2.3)
Definicja 2.4 σ - ciałem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich σ - ciał zawierających H i oznaczamy
σa(H) tzn.
σa(H)
def
=
\
P
α
−σ−ciało
P
α
⊃H
P
α
(2.4)
Definicja 2.5 Rodziną monotoniczną generowaną przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich rodzin monotonicznych
zawierających H i oznaczamy m(H) tzn.
m(H)
def
=
\
P
α
−σ−rodzina monotoniczna
P
α
⊃H
P
α
(2.5)
Uwaga 2.1 Zauważmy, że jeżeli H jest rodziną pustą tzn. H = ∅, to p(H) = σp(H) = m(H) = {∅} oraz a(H) = σa(H) =
{∅, X}
11
Twierdzenie 2.2 Niech H
1
⊂ H
2
będą dowolnymi rodzinami, wówczas zachodzą następujące inkluzje
p(H
1
) ⊂ p(H
2
) ∧ σp(H
1
) ⊂ σp(H
2
) ∧ a(H
1
) ⊂ a(H
2
) ∧ σa(H
1
) ⊂ σa(H
2
) ∧ m(H
1
) ⊂ m(H
2
)
(2.6)
Twierdzenie 2.3 Niech H będzie dowlną rodziną, wówczas zachodzą następujące równości
p(p(H)) = p(H) ∧ σp(σp(H)) = σp(H) ∧ a(a(H)) = a(H) ∧ σa(σa(H)) = σa(H) ∧ m(m(H)) = m(H)
(2.7)
Twierdzenie 2.4 Jeżeli H
1
⊂ H
2
⊂ p(H
1
), to p(H
1
) = p(H
2
).
Twierdzenie 2.5 Niech H będzie półpierścieniem. Wtedy
p(H) =
(
n
[
i=1
A
i
: n ∈ N ∧ {A
1
, . . . , A
n
} ⊂ H
)
.
(2.8)
Twierdzenie 2.6 Jeżeli H jest pierścieniem podzbiorów zbioru X, to
σp(H) = m(H).
(2.9)
2.2
Funkcje zbiorów
Niech ∅ 6= H ⊂ 2
X
.
Definicja 2.6 Każdą funkcję µ: H → R będziemy nazywać funkcją zbioru określoną na H wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony
jest warunek card (µ(H) ∩ {−∞, +∞}) ¬ 1.
Uwaga 2.2 Dość często rozważa się wyłącznie funkcje postaci µ : H → R ∪ {+∞}.
Definicja 2.7 Mówimy, że funkcja µ jest
nieujemna
⇔
∀
A∈H
µ(A) 0
(2.10)
póładdytywna
⇔
∀
n∈N
∀
{A
1
,...,A
n
}⊂H
n
[
k=1
A
k
∈ H ⇒ µ(
n
[
k=1
A
k
) ¬
n
X
k=1
µ(A
k
)
(2.11)
addytywna
⇔
∀
n∈N
∀
{A
1
,...,A
n
}⊂H
n
[
k=1
A
k
∈ H ∧ (∀
1¬i<j¬n
A
i
∩ A
j
= ∅) ⇒ µ(
n
[
k=1
A
k
) =
n
X
k=1
µ(A
k
)
(2.12)
σ − póładdytywna
⇔
∀
{A
n
:n1}⊂H
∞
[
n=1
A
n
∈ H ⇒ µ(
∞
[
n=1
A
n
) ¬
∞
X
n=1
µ(A
n
)
(2.13)
σ − addytywna
⇔
∀
{A
n
:n1}⊂H
∞
[
n=1
A
n
∈ H ∧ (∀
i,j∈N∧i6=j
A
i
∩ A
j
= ∅) ⇒ µ(
∞
[
n=1
A
n
) =
∞
X
n=1
µ(A
n
)
(2.14)
monotoniczna
⇔
∀
{A,B}⊂H
A ⊂ B ⇒ µ(A) ¬ µ(B)
(2.15)
skończona
⇔
∀
A∈H
|µ(A)| < +∞
(2.16)
σ − skończona
⇔
∃
{A
1
,...,A
n
}⊂H
∞
[
n=1
A
n
= X ∧ ∀
n∈N
|µ(A
n
)| < +∞.
(2.17)
Twierdzenie 2.7 Jeżeli ∅ ∈ H oraz µ jest addytywna i ∃
A∈H
|µ(A)| < +∞, to µ(∅) = 0.
2.3
Zadania
Zadanie 2.1 Rodzinę H nazywamy π - układem wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
A,B∈H
A ∩ B ∈ H
(2.18)
12
Rodzinę H nazywamy λ - układem wtedy i tylko wtedy, gdy
Ω ∈ H
(2.19)
∀
A,B∈H
A ⊂ B ⇒ B \ A ∈ H
(2.20)
∀
{A
n
:n1}⊂H
{A
n
: n 1}- wstępujący ⇒
∞
[
n=1
A
n
∈ H
(2.21)
Udowodnić, że rodzina H będąca jednocześnie π - układem i λ - układem jest σ - ciałem.
Zadanie 2.2 (Lemat o λ - i π - układach)
Jeżeli rodzina H będąca λ - układem zawiera π - układ F , to zawiera σa(F ) (σ - ciało generowane przez F ).
Zadanie 2.3 Udowodnić twierdzenie 2.1 dla ciał, σ - pierścieni, σ - ciał, rodzin monotonicznych.
Zadanie 2.4 Dowieść pozostałe inkluzje z twierdzenia 2.2.
Zadanie 2.5 Dowieść pozostałe równości z twierdzenia 2.3.
Zadanie 2.6 Jeżeli H
1
⊂ H
2
⊂ a(H
1
), to a(H
1
) = a(H
2
).
Jeżeli H
1
⊂ H
2
⊂ σp(H
1
), to σp(H
1
) = σp(H
2
).
Jeżeli H
1
⊂ H
2
⊂ σa(H
1
), to σa(H
1
) = σa(H
2
).
Jeżeli H
1
⊂ H
2
⊂ m(H
1
), to m(H
1
) = m(H
2
).
Zadanie 2.7 Udowodnić, że jeżeli H jest ciałem podzbiorów zbioru X, to σa(H) = m(H).
Zadanie 2.8 Niech H = {A
1
, . . . , A
n
} ⊂ 2
X
. Udowodnić, że a(H) = σa(H)
Zadanie 2.9 Niech X = {1, 2}. Znaleźć σ - ciała podzbiorów X generowana przez następujące rodziny zbiorów
(i) {X, {1}}.
(ii) {X, ∅, {2}}.
(iii) {{1}, {2}}.
13
Wykład 3
2003.10.15 / 2h
3.1
Uzupełnienie poprzedniego wykłady
Definicja 3.1 Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Rodziną zbiorów borelowskich tej przestrzeni nazywamy σ - ciało
generowane przez topologię τ . Oznaczamy ją B(X).
3.2
Funkcje zbiorów – miary dodatnie i znakowe
Twierdzenie 3.1 Jeżeli ∅ ∈ H oraz µ jest σ - addytywna i µ(∅) = 0, to µ jest addytywna.
Uwaga 3.1 Od tego momentu rozważać będziemy i formułować twierdzenia wyłącznie dla funkcji zbioru takich, że µ 6≡ +∞.
Twierdzenie 3.2 Niech H będzie pierścieniem, a µ nieujemną i addytywna funkcją zbioru na H. Wówczas
µ jest monotoniczna na H
(3.1)
∀
{A,B}⊂H
A ⊂ B ∧ µ(A) < +∞ ⇒ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B)
(3.2)
∀
{A,B}⊂H
(µ(A) < +∞ ∨ µ(B) < +∞) ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B)
(3.3)
∀
{B,A
1
,...,A
n
}⊂H
B ⊂
n
[
k=1
A
k
⇒ µ(B) ¬
n
X
k=1
µ(A
k
).
(3.4)
Definicja 3.2 Miarą dodatnią nazywamy nieujemną i σ - addytywną funkcję zbioru określona na półpierścieniu.
Definicja 3.3 Miarą znakową nazywamy σ - addytywną funkcję zbioru o przeciwdziedzinie w R∪{+∞} określoną na σ - ciele
taką, że jej wartość na zbiorze pustym jest zerowa.
Twierdzenie 3.3 Dla dowolnej miary dodatniej µ zachodzi µ(∅) = 0.
Twierdzenie 3.4 Miara dodatnia jest funkcją addytywną.
Wniosek 3.1 Miara dodatnia spełnia warunki (3.1) – (3.4) twierdzenia 3.2.
Twierdzenie 3.5 Nieujemna, addytywna i σ - póładdytywna funkcja zbioru na pierścieniu jest miarą dodatnią.
Definicja 3.4 Niech µ będzie funkcją zbioru na rodzinie H.
Mówimy, że µ jest ciągła z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wstępującego ciągu {A
n
: n 1} ⊂ H takiego, że
∞
S
n=1
A
n
∈ H zachodzi µ(
∞
S
n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n
).
Mówimy, że µ jest ciągła z góry wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zstępującego ciągu {A
n
: n 1} ⊂ H takiego, że
|µ(A
1
)| < +∞ i
∞
T
n=1
A
n
∈ H zachodzi µ(
∞
T
n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n
).
Uwaga 3.2 W definicji ciągłości miary z góry można założyć, że istnieje liczba naturalna n
0
taka, że µ(A
n
0
) jest skończona.
Wtedy również będzie prawdziwe twierdzenie o ciągłości miary dodatniej z góry.
14
Twierdzenie 3.6 (Ciągłość miary dodatniej.)
Niech µ będzie miarą dodatnią na pierścieniu H. Wówczas µ jest ciągła z dołu.
Niech µ będzie miarą dodatnią na pierścieniu H. Wówczas µ jest ciągła z góry.
Twierdzenie 3.7 (Ciągłość miary znakowej.)
Niech µ będzie miarą znakową na σ - ciele H. Wówczas µ jest ciągła z dołu.
Niech µ będzie miarą znakową na σ - ciele H. Wówczas µ jest ciągła z góry.
3.3
Przykłady
Przykład 3.1 Niech X = R. Określmy rodzinę
H
L
def
= {]a, b] : −∞ < a < b < +∞} ∪ {∅}
(3.5)
Stwierdzenie 3.1 Rodzina H
L
określona równaniem (3.5) jest półpierścieniem.
Przykład 3.2 Niech dany będzie półpierścień H
L
z przykładu (3.1). Określmy funkcję zbiorów na H
L
następująco
µ(∅)
def
= 0 i µ(]a, b])
def
= b − a dla ]a, b] ∈ H
(3.6)
Stwierdzenie 3.2 Funkcja zbiorów µ zdefiniowana równaniem (3.6) na półpierścieniu H
L
jest miara.
Przykład 3.3 Niech dany będzie półpierścień H
L
z przykładu (3.1). Niech ponadto F : R → R będzie funkcja niemalejącą i
prawostronnie ciągłą. Określmy funkcję zbiorów na H
L
następująco
µ
F
(∅)
def
= 0 i µ
F
(]a, b])
def
= F (b) − F (a) dla ]a, b] ∈ H
(3.7)
Stwierdzenie 3.3 Funkcja zbiorów µ
F
zdefiniowana równaniem (3.7) na półpierścieniu H
L
jest miara.
3.4
Zadania
Zadanie 3.1 Udowodnić warunek (3.4) twierdzenia 3.2.
Zadanie 3.2 Niech µ będzie miara dodatnią na σ - pierścieniu H. Niech ponadto {A
n
: n 1} ⊂ H oraz µ(A
n
) = 0 dla
dowolnego n ∈ N. Udowodnić, że µ(
∞
S
n=1
A
n
) = 0
Zadanie 3.3 Niech µ będzie miara dodatnią na σ - ciele H. Niech ponadto µ(X) = 1 i {A
n
: n 1} ⊂ H oraz µ(A
n
) = 1
dla dowolnego n ∈ N. Udowodnić, że µ(
∞
T
n=1
A
n
) = 1.
Zadanie 3.4 Niech µ będzie addytywna i skończoną funkcją zbioru na pierścieniu H. Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów
A
1
, A
2
, A
3
∈ H zachodzi
µ(A
1
∪ A
2
∪ A
3
) = µ(A
1
) + µ(A
2
) + µ(A
3
) − µ(A
1
∩ A
2
) − µ(A
1
∩ A
3
) − µ(A
1
∩ A
3
) + µ(A
1
∩ A
2
∩ A
3
).
(3.8)
Zadanie 3.5 Udowodnić ciągłość maiary dodatniej z góry.
Wsk. Wykorzystać ciągłość z dołu i prawa de Morgana.
Zadanie 3.6 Udowodnić twierdzenie 3.7.
Zadanie 3.7 Udowodnić, że każda nieujemna, addytywna i ciągła z dołu funkcja zbioru na pierścieniu H jest miarą.
Zadanie 3.8 Udowodnić, że każda nieujemna, addytywna, skończona i ciągła z góry funkcja zbioru na pierścieniu H jest
miarą.
Zadanie 3.9 Udowodnić stwierdzenie 3.3.
15
Wykład 4
2003.10.22 / 2h
4.1
Przedłużanie miar dodatniej z półpierścienia na pierścień
Niech X 6= ∅ oraz H
1
, H
2
⊂ 2
X
i µ
1
, µ
2
będą funkcjami zbiorów określonymi odpowiednio na rodzinach H
1
, H
2
.
Definicja 4.1 Mówimy, że funkcja zbioru µ
2
jest przedłużeniem funkcji zbioru µ
1
(µ
1
jest zawężeniem µ
2
)wtedy i tylko
wtedy, gdy
H
1
⊂ H
2
(4.1)
∀
A∈H
1
µ
1
(A) = µ
2
(A)
(4.2)
Twierdzenie 4.1 Niech µ będzie miarą dodatnią na półpierścieniu H. Wówczas µ jednoznacznie przedłuża się do miary
dodatniej na p(H). Ponadto otrzymana miara dodtania jest skończona (σ - skończona), jeśli µ była skończona (σ - skończona).
4.2
Miara zewnętrzna
Definicja 4.2 Funkcję λ
?
: 2
X
→ R ∪ {+∞} nazywamy miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy
λ
?
− nieujemna ∧ λ
?
(∅) = 0
(4.3)
∀
{A
n
:n1}⊂2
X
∀
A⊂2
X
A ⊂
∞
[
n=1
A
n
⇒ λ
?
(A) ¬
∞
X
n=1
λ
?
(A
n
)
(4.4)
Wniosek 4.1 Miara zewnetrzna jest σ - subaddytytwna.
Twierdzenie 4.2 Miara zewnętrzna jest monotoniczna i póładdytywna na 2
X
.
Definicja 4.3 Niech µ będzie miarą na pierścieniu H podzbiorów X. Określamy funkcję µ
?
: 2
X
→ R ∪ {+∞}
µ
?
(A)
def
=
0
dla A = ∅
inf
∞
P
n=1
µ(a
n
) : ∀
{A
n
:n1}⊂H
,
∞
S
n=1
A
n
⊃ A
jeżeli {A
n
: n 1} istnieje
+∞
jeżeli ciąg zbiorów nie istnieje
(4.5)
Funkcję µ
?
nazywamy miarą zewnętrzną
1
generowaną przez miarę µ.
Twierdzenie 4.3 Funkcja określono wzorem (4.5) jest miarą zewnętrzną.
4.3
Zadania
Zadanie 4.1 Podać przykład miary zewnętrznej na 2
X
dla której klasa wszystkich zbiorów µ
?
mierzalnych składa się z całej
przestrzeni i zbioru pustego.
1
Tak możemy mówić, gdy udowodnimy twierdzenie poniższe
16
Zadanie 4.2 Znaleźć miarę zewnętrzną i określić σ - ciało zbiorów mierzalnych względem tej miary jeśli X = {a, b, c}, H =
{∅, {a}}, µ(∅) = 0, µ({a}) = 1.
Zadanie 4.3 Niech X = R, H = {(k, k + 1] : k ∈ Z} ∪ {∅}, µ(∅) = 0, µ((k, k + 1]) = 1, k ∈ Z, gdzie H półpierścień. Skonstru-
ować przedłużenie miary na pierścień, a następnie miarę zewnętrzną indukowaną przez przedłużenie miary z półpierścienia.
Policzyć
(i) µ
?
({
1
2
})
(ii) µ
?
((
1
2
,
3
2
))
(iii) µ
?
(N)
Zadanie 4.4 Dany jest ciąg miar µ
n
, n 1 określony na σ - ciele H podzbiorów X. Określmy funkcję µ następująco µ(A) =
∞
P
i=1
µ
i
(A) dla A ∈ H. Czy µ jest miarą ? Odpowiedź uzasadnij.
17
Wykład 5
2003.10.29 / 2h
5.1
Miara zewnętrzna c.d.
Definicja 5.1 Niech λ
?
będzie miarą zewnętrzną i niech A ⊂ X. Mówimy, że A jest zbiorem λ
?
- mierzalnym wtedy i tylko
wtedy, gdy
∀
B⊂X
λ
?
(B) = λ
?
(B ∩ A) + λ
?
(B \ A)
(5.1)
Uwaga 5.1 Ponieważ miara jest póładdytywna, więc warunek definicji zbioru mierzalnego może być zapisany następująco
∀
B⊂X
λ
?
(B) λ
?
(B ∩ A) + λ
?
(B \ A)
(5.2)
Uwaga 5.2 Jeżeli miara zewnętrzna bedzie ustalaona to zbiór µ
?
- mierzalny będziemy nazywali zbiórem miarzalny.
Lemat 5.1 Jeżeli A jest mierzalny, to A
0
jest również mierzalny.
Lemat 5.2 Dla dowolnej miary zewnetrznej mierzalne są zbiory ∅ oraz X
Twierdzenie 5.1 (Caratheodory’ego.) Niech λ
?
będzie miarą zewnętrzną na 2
X
i nich S będzie rodziną zbirów λ
?
-
mierzalnych. Wówczas rodzina S jest σ - ciałem oraz λ
?
obcięta do S jest miarą.
Definicja 5.2 Mówimy, że miara µ na σ - ciele F jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
A∈F
∀
B⊂A
µ(A) = 0 ⇒ B ∈ F
(5.3)
Twierdzenie 5.2 Miara z twierdzenia (5.1) jest zupełna.
Uwaga 5.3 Oznaczmy miarę na σ - ciele S przez µ.
Definicja 5.3 Mówimy, że miara µ na σ - ciele S jest przedłużeniem miar z pierścienia H wtedy i tylko wtedy, gdy
H ⊂ S
(5.4)
Twierdzenie 5.3 Jeżeli S jest σ - ciałem podzbiorów mierzalnych generowanym przez miarę z pierścienia H, to H ⊂ S
Lemat 5.3 Niech µ będzie miarą σ - skończoną na pierścieniu H. Wtedy miara zewnętrzna µ
?
generowana przez miarę µ
jest na 2
X
jest σ - skończona oraz miara µ na S jest również σ - skończona.
Uwaga 5.4 Od tej pory uważamy, że miara zewnętrzna była generowana z miary na pierścieniu.
18
5.2
Zadania
Zadanie 5.1 Udowodnić, że zbiór A jest λ
?
mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
U ⊂A
∀
V ⊂A
0
λ
?
(U ∪ V ) = λ
?
(U ) + λ
?
(V )
(5.5)
Zadanie 5.2 Udowodnić, że jeżeli S jest σ - ciałem podzbiorów mierzalnych generowanym przez miarę z pierścienia H, to
σp(H) ⊂ σa(H) ⊂ S
(5.6)
Zadanie 5.3 Dla A ∈ 2
X
określamy
µ
?? def
= inf
(
∞
X
n=1
µ(A
n
) : {A
n
: n 1} ⊂ S ∧
∞
[
n=1
A
n
⊃ A
)
.
(5.7)
Udowodnić, że µ
??
= µ
?
.
Zadanie 5.4 Wyznaczyć σ - ciało zbiorów mierzalnych względem miar zewnętrznych:
(i) µ
?
(A) =
0
A = ∅
1
A = {a}
+∞
A 6= ∅ ∧ A 6= {a}
(ii) µ
?
(A) =
0
A = ∅
n
card A = n
+∞
card A ℵ
0
(iii)] µ
?
(A) =
0
A = ∅
1
A 6= ∅
Zadanie 5.5 Dana jest przestrzeń z miarą σ - skończoną (X, H, µ). Udowodnić, że istnieje przeliczalna rodzina podzbiorów
rozłącznych X taka, że każdy z nich ma miarę skończoną oraz w sumie dają całą przestrzeń X.
19
Wykład 6
2003.11.05 / 2h
6.1
Przedłużanie miary na σ - pierścień
Twierdzenie 6.1 Przedłużenie σ - skończonej miary µ z pierścienia H na σp(H) jest jednoznaczne i σ - skończone.
Twierdzenie 6.2 Niech µ będzie σ - skończoną miara na pierścieniu H, µ jej przedłużenie na σp(H). Wtedy
∀
A∈σp(H)
∀
ε>0
∃
C∈H
µ(A) < +∞ ⇒ µ((A \ C) ∪ (C \ A)) < ε
(6.1)
6.2
Miara Lebesgue’a
Rozważmy półpierścień H z przykładu (3.1) określony wzorem (3.5). Niech µ ≡ µ
L
będzie miara z przykładu (3.2). Wówczas
mamy
Lemat 6.1 µ
L
jest σ - skończoną miara.
Na podstawie twierdzenia o przedłużaniu miary z półpierścienia na pierścień (twierdzenie 4.1) miara indukowana µ na
pierścieniu p(H) jest wyznaczona jednoznacznie i jest σ - skończona.
Niech µ
?
L
będzie miarą zewnętrzną generowana przez miarę µ
L
z pierścienia p(H) oraz niech S
L
będzie rodziną podzbiorów
mierzalnych. Wówczas zgodnie z twierdzeniem Caratheodorego (twierdzenie 5.1) S
L
jest σ - ciałem oraz µ
?
L
jest miarą na
S
L
.
Definicja 6.1 Zbiory z σ - ciała S
L
nazywamy zbiorami mierzalnymi Lebesgue’a, natomiast miarę µ
?
L
na S
L
nazywamy
jednowymiarową miara Lebesgue’a i oznaczamy m
1
≡ m.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
H ⊂ p(H) ⊂ B(R) ⊂ S
L
(6.2)
Uwaga 6.1 Wykorzystaliśmy następujące twierdzenie
σa({] − ∞, a] : a ∈ R}) = B(R)
(6.3)
Uwaga 6.2 Oznaczamy jednowymiarową miarę Lebesgue’a przez m ≡ m
1
≡ µ
L
Miara Lebesgue’a w R
d
(d ∈ N).
Przykład 6.1 Niech X = R
d
. Określmy rodzinę
H
d
def
=
(
d
Y
n=1
]a
n
, b
n
] : −∞ < a
n
< b
n
< +∞ ∧ 1 ¬ n ¬ d
)
∪ {∅}
(6.4)
Stwierdzenie 6.1 Rodzina H
d
określona równaniem (6.4) jest półpierścieniem.
20
Przykład 6.2 Niech dany będzie półpierścień H
d
z przykładu (6.1). Określmy funkcję zbiorów na H
d
następująco
µ
L,d
(∅)
def
= 0 i µ
L,d
(
d
Y
n=1
]a
n
, b
n
])
def
=
d
Y
n=1
(b
n
− a
n
) dla ]a, b] ∈ H
d
(6.5)
Stwierdzenie 6.2 Funkcja zbiorów µ
L,d
zdefiniowana równaniem (6.5) na półpierścieniu H
d
jest miara.
Lemat 6.2 µ
L,d
jest σ - skończoną miarą.
Powtarzają cały ciąg rozumowania, jak dla jednowymiarowej miary Lebesgue’a otrzymujemy następującą definicję:
Definicja 6.2 Zbiory z σ - ciała S
L,d
nazywamy zbiorami mierzalnymi Lebesgue’a, natomiast miarę µ
?
L,d
na S
L,d
nazywamy
d - wymiarową miara Lebesgue’a i oznaczamy m
d
.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
H
d
⊂ p(H
d
) ⊂ B(R
d
) ⊂ S
L,d
(6.6)
Twierdzenie 6.3
∀
x∈R
µ({x}) = 0
(6.7)
µ(Q) = 0
(6.8)
∀
A⊂R
card(A) ¬ ℵ
0
⇒ µ(A) = 0
(6.9)
∀
a,b∈
a < b ⇒ µ([a, b]) = b − a
(6.10)
Przykład 6.3 (Konstrukcja zbioru Cantora.)
Niech I
0
= [0, 1]. Określamy indukcyjnie dla n ∈ N zbiory I
n
następująco
I
n
=
1
3
I
n−1
+
2
3
+
1
3
I
n−1
.
(6.11)
Niech
C
def
=
∞
\
n=0
I
n
(6.12)
Zbiór C nazywamy zbiorem Cantora. Jest on nieprzeliczalny
1
. Ponadto m(C) = 0.
6.3
Zadania
Zadanie 6.1 Niech µ miara σ - skończona na σ - ciele podzbiorów borelowskich R
n
spełnia warunki:
µ({x : 0 < x
i
¬ 1, i = 1, . . . , n}) = 1,
(6.13)
∀
E∈B(R
n
)
∀
a∈R
n
µ(E) = µ(E + a),
(6.14)
Udowodnić, że µ pokrywa się z miarą Lebesgue’a na R
n
.
Zadanie 6.2 Policzyć miarę Lebesgue’a w R
2
następujących zbiorów:
• prosta;
• odcinek.
1
Porównaj wykłady ze Wstepu do matematyki i/lub Topologii
21
Wykład 7
2003.11.12 / 2h
7.1
Miara Lebesgue’a c.d.
Przykład 7.1 (Konstrukcja zbioru niemierzalnego Lebesgue’a.)
Niech I = [0, 1[.Rozważmy relację R ⊂ I × I określoną nastepująco
∀
x,y∈I
xRy ⇔ x − y ∈ Q.
(7.1)
Wtedy R jest relacją równoważności. Niech A
def
= I/R będzie przestrzenia ilorazową. Niech B będzie zbiorem reprezentantów
klas abstrakcji tej relacji (istnieje na mocy pewnika wyboru). B jest ustalone. definiujemy zbiory A
r
dla r ∈ Q∩I nastepująco:
A
r
def
= {x + r(mod1) : x ∈ B} ≡ {x + r : x ∈ B ∧ x + r ∈ I} ∪ {x + r − 1 : x ∈ B ∧ x + r > 1} .
(7.2)
Wówczas
I =
[
r∈∈Q∩I
A
r
(7.3)
∀
r,q∈Q∩I
r 6= q ⇒ A
r
∩ A
q
= ∅
(7.4)
m(A
r
) = m(I) = 1
(7.5)
7.2
Miara Lebesgue’a - Stieltjesa
Rozumowanie dla jednowymiarowej miary Lebesgue’a można powtórzyć dla miary z przykłady (3.3). Otrzymamy wtedy
Definicja 7.1 Zbiory z σ - ciała S
F
nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a - Stieltjesa, natomiast miarę µ
?
F
na S
F
nazywamy jednowymiarową miarą Lebesgue’a - Stieltjesa i oznaczamy µ
F
.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
H
L
⊂ p(H
L
) ⊂ B(R) ⊂ S
F
(7.6)
Definicja 7.2
F (x
−
0
)
def
= lim
x→x
−
0
F (x)
(7.7)
Twierdzenie 7.1
∀
x∈R
µ
F
({x}) = F (x) − F (x
−
)
(7.8)
Twierdzenie 7.2 Jeżeli F ≡ Id, to miara Lebesgue’a - Stieltjesa pokrywa się z miarą Lebesgue’a.
Lemat 7.1 Funkcja rzeczywista niemalejąca na co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości.
Twierdzenie 7.3 Istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór F ⊂ R taki, że
∀
x∈F
µ
F
({x}) > 0
(7.9)
22
7.3
Odwzorowania mierzalne
Definicja 7.3 Niech X 6= ∅, a H i σ - ciało jego podzbiorów. Parę (X, H) nazywamy przestrzenią mierzalną, zaś zbiory z H
nazywamy mierzalnymi.
Jeżeli dodatkowo określona jest miara µ na H to trójkę (X, H, µ) nazywamy przestrzenią z miarą.
Jeżeli w przestrzeni z miarą mamy µ(X) = 1, to taką przestrzeń nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Definicja 7.4 Niech dane będą dwie przestrzenie mierzalne (X
1
, H
1
) i (X
2
, H
2
) oraz odwzorowanie T : X
1
→ X
2
. Mówimy,
że jest ono H
1
- H
2
mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
B∈H
2
T
−1
(B) ∈ H
1
.
(7.10)
Jeżeli X
2
= R, zaś H
2
= B(R) i T jest H
1
- H
2
, to mówimy, że T jest H
1
- mierzalne.
Rozważamy dwie przestrzenie mierzalne (X, H
1
) i (Y, H
2
) oraz odwzorowanie T : X
1
→ X
2
.
Stwierdzenie 7.1 Jeżeli H
1
= 2
X
, to dowolne odwzorowanie jest H
1
- H
2
mierzalne.
Twierdzenie 7.4 Niech H
2
= σa(F ), gdzie F ⊆ 2
Y
. Wówczas odwzorowanie T jest H
1
- H
2
mierzalne wtedy i tylko wtedy,
gdy
∀
B∈F
T
−1
(B) ∈ H
1
.
(7.11)
Twierdzenie 7.5 Niech (X, H) będzie przestrzenią mierzalną oraz f : X → R następujące warunki są równoważne
f jest H - mierzalna
(7.12)
∀
a∈R
f
−1
(] − ∞, a[) = {x ∈ X : f (x) < a} ∈ H
(7.13)
∀
a∈R
f
−1
(] − ∞, a]) = {x ∈ X : f (x) ¬ a} ∈ H
(7.14)
∀
a∈R
f
−1
(]a, −∞, [) = {x ∈ X : f (x) > a} ∈ H
(7.15)
∀
a∈R
f
−1
([a, −∞, [) = {x ∈ X : f (x) a} ∈ H
(7.16)
Stwierdzenie 7.2 Niech f będzie H - mierzalna. Wówczas
∀
a∈R
f
−1
({a}) ∈ H
(7.17)
Uwaga 7.1 Jeżeli rozważamy funkcje ze zbioru mierzalnego X w rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych tzn. f : X → R.
Wówczas rodzina
H
def
=
]a
1
, b
1
[, ]a
2
, b
2
], [a
3
, b
3
[, [a
4
, b
4
] : a
i
, b
i
∈ R ∧ a
i
¬ b
i
∧ i = 1, 2, 3, 4
(7.18)
jest półalgebrą (półciałem), zaś rodzina zbiorów borelowskich określona jest następująco
B(R)
def
= {A, A ∪ {+∞} , A ∪ {−∞} , A ∪ {+∞, −∞} : A ∈ B(R)}
(7.19)
Wtedy funkcja f jest H−B(R) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków (7.13–7.16) twierdzenia
7.5 dla dowolnej liczby a ∈ R
Uwaga 7.2 Często będziemy mówili zamiast funkcja H − B(R) - mierzalna, funkcja H - mierzalna.
Definicja 7.5 Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś H = B(X). B(X) - mierzalną funkcję f : Y → R nazywamy
borelowską.
Definicja 7.6 Niech d ∈ N. Niech S
L,d
będzie σ - ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a w R
d
. Niech ponadto
X ∈ S
L,d
. S
L,d
- mierzalną funkcję f : X → R nazywamy funkcją mierzalną w sensie Lebesgue’a.
Twierdzenie 7.6 Niech d ∈ N. Wówczas C(R
d
) jest podzbiorem funkcji borelowskich.
Twierdzenie 7.7 Niech d ∈ N. Niech X ∈ B(R
d
) oraz f : X → R będzie funkcją borelowską. Wówczas mierzalna w sensie
Lebesgue’a.
23
Twierdzenie 7.8 Dane są przestrzenie mierzalne (X
i
, H
i
) dla i = 1, 2, 3 oraz odwzorowanie H
1
–H
2
mierzalne T : X
1
→ X
2
i H
2
–H
3
mierzalne S : X
2
→ X
3
. Wówczas s odwzorowanie S ◦ T : X
1
→ X
3
jest H
1
–H
3
mierzalne.
Wniosek 7.1 Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H) oraz funkcje f
i
: X → R H - mierzalne dla i = 1, . . . , d, zbiór
A ∈ B(R
d
) będzie taki, że
∀
x∈X
(f
1
(x), . . . , f
d
(x)) ∈ A,
(7.20)
a funkcja F : A → R będzie borelowską. Wtedy złożenie odwzorowań F ◦ (f
1
, . . . , f
d
) jest odwzorowaniem H–B(R) - mierzalną
Wniosek 7.2 Niech f, g : R → R będą funkcjami borelowskimi. Wówczas g ◦ f jest funkcją borelowską.
7.4
Zadania
Zadanie 7.1 Udowodnić, że miara Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia tzn. jeżeli A ∈ S
L
, to dla dowolnego r ∈ R
zachodzi r + A ∈ S
L
oraz m(r + A) = m(A).
Zadanie 7.2 Niech H
Y
będzie σ - ciałem podzbiorów Y. Udowodnić, że
T
−1
(H
Y
)
def
=
T
−1
(B) : B ∈ H
Y
(7.21)
jest σ - ciałem podzbiorów X.
Przyjmijmy następujące definicje
Definicja 7.7 Niech X, Y będą zbiorami, zaś T : X → Y . Niech A ⊆ X. Wówczas
T (A)
def
=
{T (x) : x ∈ A}
dla A 6= ∅
∅
dla A = ∅
,
(7.22)
nazywamy obrazem zbioru A przy odwzorowaniu T .
Niech B ⊆ Y . Wówczas
T
−1
(B)
def
=
{x : T (x) ∈ B}
dla B 6= ∅
∅
dla B = ∅
,
(7.23)
nazywamy przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu T .
Zadanie 7.3 Niech T : X → Y . Udowodnić, że dla dowolnych {A
1
, A
2
, A
ı
: ı ∈ I} ⊆ 2
X
oraz {B
1
, B
2
, B
ı
: ı ∈ I} ⊆ 2
Y
zachodzi
T (A
1
) \ T (A
2
) ⊆ T (A
1
\ A
2
)
(7.24)
T (
[
ı∈I
A
ı
) =
[
ı∈I
T (A
ı
)
(7.25)
T (
\
ı∈I
A
ı
) ⊆
\
ı∈I
T (A
ı
)
(7.26)
T
−1
(B
1
\ B
2
) = T
−1
(B
1
) \ T
−1
(B
2
)
(7.27)
T
−1
(
[
ı∈I
B
ı
) =
[
ı∈I
T
−1
(B
ı
)
(7.28)
T
−1
(
\
ı∈I
B
ı
) =
\
ı∈I
T
−1
(B
ı
)
(7.29)
Zadanie 7.4 Niech H
1
= {∅, X}. Wyznaczyć wszystkie odwzorowania H
1
- H
2
mierzalne.
Zadanie 7.5 X 6= ∅, H = {∅, X}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.6 X = {a, b, c, d}, H = {∅, {a}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.7 X 6= ∅, H = {∅, A, A
0
, X}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.8 X = R, H = {A ∪ (−A)}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
24
Zadanie 7.9 Niech a, b ∈ R oraz a < b. Pokazać, że H - mierzalną jest funkcja
f
a,b
(x) =
b
gdy f (x) > b
f (x)
gdy a ¬ f (x) ¬ b
a
gdy f (x) < a
,
(7.30)
o ile H - mierzalną była funkcja f.
Zadanie 7.10 Pokazać, że istnieje nieprzeliczalna rodzina funkcji mierzalnych taka, że g(x) = sup
α∈I
f
α
(x) jest funkcją nie-
mierzalną.
Zadanie 7.11 Niech X = {1, 2, 3} oraz niech H = {X, ∅, {1}, {2, 3}} będzie σ - ciałem. Zdefiniujmy funkcję f następująco
f (1) = 1, f (2) =
1
2
, f (3) =
3
2
. Czy jest ona H - mierzalna?
Zadanie 7.12 Niech X 6= ∅ oraz H = 2
X
. Opisać klasę wszystkich funkcji H - mierzalnych.
Zadanie 7.13 Opisać klasę funkcji H - mierzalnych dla σ - ciała H = {A ⊆ R : A ± 1 = A}, gdzie, X = R.
25
Wykład 8
2003.11.19 / 2h
8.1
Działania na funkcjach mierzalnych
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Twierdzenie 8.1 Niech dane będą H - mierzalne odwzorowania f
i
: X → R dla i = 1, 2 oraz liczba rzeczywista c. Wówczas
H - mierzalne są następujące odwzorowania:
(i) c · f
1
(ii) f
1
+ f
2
;
(iii) f
1
− f
2
;
(iv) f
1
· f
2
;
(v) min(f
1
, f
2
);
(vi) max(f
1
, f
2
);
(vii) |f
1
|;
(viii)
1
f
1
o ile 0 /
∈ f
1
(X).
Wniosek 8.1 Niech dane będzie H - mierzalne odwzorowanie f : X → R. Wówczas H - mierzalne są następujące odwzoro-
wania:
(i) f
+ def
= max(f, 0);
(ii) f
− def
= max(−f, 0).
Uwaga 8.1 f
+
i f
−
nazywamy częścią nieujemną i niedodatnią funkcji f. Zachodzą pondato wzór
f
−
= − min(f, 0) ∧ |f | = f
+
+ f
−
(8.1)
Wniosek 8.2 Każda H - mierzalna funkcja może być przedstawiona jednoznacznie w postaci różnicy dwóch nieujemnych i
H - mierzalnych funkcji.
Twierdzenie 8.2 Niech dany będzie ciąg
f
i
: X → R : i ∈ N
odwzorowań H - mierzalnych. Wówczas H - mierzalne są
następujące funkcje:
(i) sup
n∈N
f
n
(x)
(ii) inf
n∈N
f
n
(x)
(iii) lim sup
n→∞
f
n
(x)
(iv) lim inf
n→∞
f
n
(x).
W szczególności funkcja f (x) = lim
n→∞
f
n
(x) jest H - mierzalna o ile istnieje granica. A ponadto zbiór
{x ∈ X: ciąg {f
n
: n 1} jest zbieżny w R}
(8.2)
jest elementem H.
Uwaga 8.2 W twierdzeniu mowa jest dokładnie o funkcjach H - B(R) - mierzalnych
26
Zadanie 8.1 Istnieje rodzina funckji {f
α
: X → R : α ∈ I} H - mierzalnych, taka że sup
α∈I
f
α
(x) nie jest H - mierzalna.
Stwierdzenie 8.1 Niech dany będzie ciąg {f
n
: X → R : n ∈ N} odwzorowań H - mierzalnych i przyjmujących wartości
rzeczywiste takich, że szereg
∞
P
n=1
f
n
(x) jest zbieżny punktowo. Wtedy jest on H - mierzalny i przyjmuje wartości rzeczywiste.
Stwierdzenie 8.2 Niech dany będzie ciąg {f
n
: X → R : n ∈ N} odwzorowań H - mierzalnych i nieujemnych. Wtedy szereg
∞
P
n=1
f
n
(x) jest H - mierzalny (dokładniej H - B(R) - mierzalny) i przyjmuje wartości z R.
8.2
Pojęcie funkcji prostej
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Definicja 8.1 Funkcję f : X → R nazywamy prostą wtedy i tylko wtedy, gdy
card f (X) < ℵ
0
.
(8.3)
Inaczej to można zapisać
∃
n∈N
∃
{A
1
,...,A
n
}⊂2
X
∃
{a
1
,...,a
n
}⊂R
(∀
1¬i<j¬n
A
i
∩ A
j
= ∅) ∧ (∀
1¬i<j¬n
a
i
6= a
j
) ∧
n
[
k=1
A
k
= X ⇒ f (x) =
n
X
k=1
a
k
χ
A
k
(x)
(8.4)
Stwierdzenie 8.3 Jeżeli {A
n
: n 1} ⊂ H, to funkcja f występująca w definicji 8.1 jest H - mierzalna.
8.3
Zadania
Zadanie 8.2 Niech dany będzie ciąg odwzorowań {f
n
: R → R : n ∈ N} borelowskich oraz funkcja f będąca granicą punktową
tego ciągu. Wtedy f jest borelowska.
Zadanie 8.3 Niech f = χ
A
. Udowodnić, że f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy A ∈ H
27
Wykład 9
2003.11.26 / 2h
9.1
Funkcje proste – twierdzenie o aproksymacji
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.) Jeżeli f jest nieujemną funkcją o wartościach
w R określoną na X. Wówczas istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych zbieżnych punktowo do f .
Wniosek 9.1 Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą określoną na X. Wówczas istnieje ciąg funkcji prostych zbieżnych punktowo
do f .
Wniosek 9.2 (Charakteryzacja nieujemnych funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.)
Niech f : X → R nieujemna funkcja. Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niemalejący ciąg
nieujemnych funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do funkcji f .
Stwierdzenie 9.1 Załóżmy, że dla funkcja f z wniosku 9.2 zachodzi sup
x∈X
f (x) < +∞. Wówczas
sup
x∈X
|f (x) − f
n
(x)| → 0 dla n → ∞,
(9.1)
gdzie f
n
jest ciągiem występującym we wniosku 9.2.
Wniosek 9.3 (Charakteryzacja funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.) Niech f : X → R funkcja.
Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do
funkcji f .
9.2
Funkcje równoważne. Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią. Niech P będzie pewną własnością określoną dla elementów zbioru
X.
Definicja 9.1 Mówimy, że własność P zachodzi prawie wszędzie względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
{x ∈ X : P(x) nie zachodzi} ∈ H
(9.2)
µ({x ∈ X : P(x) nie zachodzi}) = 0.
(9.3)
Zapisujemy P(x) p.w. (modµ) na X.
Uwaga 9.1 Jeżeli przestrzeń z miarą jest określona jednoznacznie, to będziemy zapisywać P(x) p.w.
28
Definicja 9.2 Niech A ∈ H oraz f, g: A → R mówimy, że funkcje f i g są równoważne względem miary µ na zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, gdy
{x ∈ A : f (x) 6= g(x)} ∈ H
(9.4)
µ({x ∈ A : f (x) 6= g(x)}) = 0.
(9.5)
Oznaczamy f = g p.w. względem µ na A lub f = g(modµ) albo f ∼ g.
Uwaga 9.2 Jeżeli przestrzeń z miarą jest określona jednoznacznie, to będziemy zapisywać f = g p.w.
Twierdzenie 9.2 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą zupełną. Niech A ∈ H. Załóżmy, że funkcja f : A → R jest
H - mierzalna oraz niech funkcja g : A → R będzie taka, że f = g p.w. Wówczas funkcja g jest H - mierzalna
Stwierdzenie 9.2 Niech {f, g} ⊂ C(R) oraz f = g p.w. względem miary Lebesgue’a. Wtedy f = g wszędzie na R.
Definicja 9.3 Niech
f, f
n
: X → R : n ∈ N
. Mówimy, że ciąg funkcji {f
n
: n ∈ N} jest zbieżny prawie wszędzie względem
miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
∃
A∈H
µ(A) = 0 ∧ ∀
x∈X\A
lim
n→∞
f
n
(x) = f (x)
(9.6)
Oznaczamy f
n
→ f p.w. względem µ na X lub f
n
→ f (modµ).
Stwierdzenie 9.3 Jeżeli f
n
→ f (modµ) i f
n
→ g(modµ), to f = g(modµ).
Twierdzenie 9.3 Niech (X, H, µ) będzie przestrzeń z miarą zupełną. Niech ponadto
f
n
: X → R : n ∈ N
dany będzie ciąg
funkcji H - mierzalnych oraz funkcja f : X → R taki, że f
n
→ f (modµ). Wtedy funkcja f jest H - mierzalna.
9.3
Zadania
Zadanie 9.1 Udowodnić stwierdzenie 9.1.
Zadanie 9.2 Niech (R, S
L
, m). Udowodnić, że ciąg {f
n
: n 1} funkcji mierzalnych określonych wzorem
• f
n
(x)
def
= sin
n
(x
3
− nx),
• f
n
(x)
def
= = exp(−n sin
2
πx)
jest p.w. zbieżny. Policzyć granicę punktową.
Zadanie 9.3 Niech (R, S
L
, m). Udowodnić, że jeśli ciąg {f
n
, f : n 1} funkcji mierzalnych spełnia warunek f
n
→ f (mod
m), to
∀
ε>0
∀
a>0
lim
n→∞
m({x ∈ [−a, a] : |f
n
(x) − f (x)| ε}) 0.
(9.7)
29
Wykład 10
2003.12.03 / 2h
10.1
Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.
Definicja 10.1 Mówimy, że ciąg {f
n
: X → R : n ∈ N} jest prawie wszędzie względem µ ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko
wtedy, gdy
∃
A∈H
µ(A) = 0 ⇒ ∀
x∈A
0
∀
ε>0
∃
n
0
∈N
∀
N3m,nn
0
|f
m
(x) − f
n
(x)| < ε
(10.1)
Twierdzenie 10.1 Niech
f
n
: X → R : n ∈ N
oraz f : X → R. Wówczas f
n
→ f (modµ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
{f
n
: n ∈ N} jest prawie wszędzie ciągiem Cauchy’ego
Twierdzenie 10.2 (Twierdzenie Jegorowa.) Niech (X, H, µ) będzie przestrzeń z miarą skończoną. Niech będzie dany ciąg
{f, f
n
: X → R : n ∈ N} funkcji H - mierzalnych taki, że f
n
→ f (modµ). Wtedy
∀
ε>0
∃
A
ε
∈H
µ(A
ε
) < ε ∧ lim
n→∞
sup
x∈A
0
ε
|f
n
(x) − f (x)| = 0
(10.2)
Stwierdzenie 10.1 Jeżeli f jest H - mierzalna funkcją taką, że ∀
a>0
µ({x ∈ X : |f (x)| a}) = 0, to f = 0(modµ)
Lemat 10.1 Niech µ(X) < +∞ oraz {f, f
n
: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas
f
n
→ f (modµ) ⇔ ∀
ε>0
lim
n→∞
µ(
∞
[
k=n
{x ∈ X : |f
k
(x) − f (x)| ε}) = 0
(10.3)
Lemat 10.2 Niech µ(X) < +∞ oraz {f, f
n
: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas
∀
ε>0
∞
X
n=1
µ({x ∈ X : |f
k
(x) − f (x)| ε}) < +∞ ⇒ f
n
→ f (modµ)
(10.4)
10.2
Zbieżność względem miary
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.
Definicja 10.2 Niech {f, f
n
: X → R : n ∈ N}. Mówimy, że ciąg {f
n
: n ∈ N} funkcji H - mierzalnych jest zbieżny według
miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
ε>0
lim
n→∞
µ({x ∈ X : |f
n
(x) − f (x)| ε}) = 0
(10.5)
Oznaczamy f
n
µ
→ f lub µ− lim
n→∞
f
n
= f .
Twierdzenie 10.3 Jeżeli f
n
µ
→ f i f
n
µ
→ g, to f = g(modµ).
30
Przykład 10.1 Niech X = [0, 1], H - σ - ciało podzbiorów [0, 1] mierzalnych w sensie Lebesgue’a, µ miara Lebesgue’a na
X. Określamy ciąg funkcji:
f
1
= χ
[0,1]
,
f
2
= χ
[0,2
−1
]
, f
3
= χ
[2
−1
,1]
,
. . . . . .
f
2
k
= χ
[0,2
−k
]
, f
2
k
+1
= χ
[2
−k
,2·2
−k
]
, . . ., f
2
k+1
−1
= χ
[(2
k
−1)2
−k
,1]
,
f (x) = 0 dla x ∈ [0, 1].
Wówczas f
n
µ
→ f , ale ciąg f
n
nie ma granicy w żadnym punkcie.
10.3
Zadania
Zadanie 10.1 Udowodnić lemat 10.1. Skorzystać z zależności
∞
S
k=1
∞
T
n=1
∞
S
j=n
x ∈ X: |f
j
(x) − f (x)|
1
k
.
Zadanie 10.2 Udowodnić lemat 10.2.
Zadanie 10.3 Udowodnić, że twierdzenie Jegorowa (twierdzenie 10.2) jest prawdziwe, dla funkcji p.w. skończonych.
Zadanie 10.4 Udowodnić, że nie istnieje granica punktowa ciągu funkcji z przykładu 10.1.
31
Wykład 11
2003.12.10 / 2h
11.1
Zbieżność względem miary c.d.
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.
Wniosek 11.1 Ze zbieżności według miary nie wynika zbieżność prawie wszędzie. Co więcej nie wynika zbieżność choćby w
jednym punkcie.
Przykład 11.1 Niech X = R, H - σ - ciało podzbiorów R mierzalnych w sensie Lebesgue’a, µ miara Lebesgue’a na X.
Określamy ciąg funkcji f
n
= χ
[n,+∞
[ oraz f = 0. Wtedy dla dowolnego x ∈ R mamy lim
n→∞
f
n
(x) = 0 oraz dla dowolnego
1 > ε > 0 i n ∈ N jest µ({x ∈ R : |f
n
(x) − f (x)| ε}) = +∞.
Wniosek 11.2 Ze zbieżności prawie wszędzie nie wynika zbieżność według miary.
Twierdzenie 11.1 (Lebesgue’a.) Niech {f, f
n
: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych oraz µ(X) < +∞.
Wtedy
f
n
→ f (modµ) ⇒ f
n
µ
→ f.
(11.1)
Definicja 11.1 H - mierzalny ciąg funkcji {f
n
: X → R : n ∈ N} nazywamy ciągiem Cauchy’ego (fundamentalnym) wzglę-
dem miary wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
ε>0
∀
δ>0
∃
n
0
∈N
∀
m,nn
0
µ({x ∈ X|f
m
(x) − f
n
(x)| ε}) < δ
(11.2)
Twierdzenie 11.2 Jeżeli f
n
µ
→ f , to ciąg {f
n
: n ∈ N} jest ciągiem Cauchy’ego względem miary.
Uwaga 11.1 We wszystkich twierdzeniach będziemy rozważać funkcje H - mierzalne.
Twierdzenie 11.3 Niech {f
n
: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem Cauchy’ego względem miary. Istnieje wówczas H - mierzalna
funkcja f : X → R oraz podciąg {f
n
k
: k ∈ N} takie, że f
n
k
→ f (modµ) oraz f
n
k
µ
→ f .
11.2
Zadania
Zadanie 11.1 Udowodnić twierdzenie 11.1 dla ciągu funkcji f
n
: X ⇒ R, które są prawie wszędzie skończone.
Zadanie 11.2 Niech f
n
µ
→ f oraz g
n
µ
→ g. Udowodnić, że wtedy
|f
n
|
µ
→ |f |
(11.3)
f
n
± g
n
µ
→ f ± g
(11.4)
(f
n
)
+ µ
→ f
+
(11.5)
32
Wykład 12
2003.12.17 / 2h
12.1
Zbieżność względem miary c.d.
Wniosek 12.1 (Twierzenie Riesza.) Niech f
n
µ
→ f . Wtedy istnieje podciąg {f
n
k
: k ∈ N} taki, że f
n
k
→ f (modµ)
Stwierdzenie 12.1 Jeżeli f
n
µ
→ f oraz f
n
→ g(modµ), to f = g(modµ).
Stwierdzenie 12.2 Niech miara µ będzie skończona oraz f
n
µ
→ f . Jeżeli g : X → R jest H - mierzalna, to gf
n
µ
→ gf
Stwierdzenie 12.3 Niech miara µ będzie skończona oraz f
n
µ
→ f i g
n
µ
→ g. Wtedy f
2
n
µ
→ f
2
oraz g
n
f
n
µ
→ gf
Twierdzenie 12.1 (Warunek konieczny i dostateczny zbieżności według miary.) Niech {f
n
: X → R : n ∈ N} będzie
ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas ciąg {f
n
: n ∈ N} jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem
Cauchy’ego względem miary.
12.2
Zadania
Zadanie 12.1 Niech dana będzie przestrzeń z miarą skończona (X, H, µ). Udowodnić, analogicznie jak to było robione na
wykładzie z Rachunku prawdopodobieństwa, że ciąg funkcji jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego
podciąg zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie.
Zadanie 12.2 Powtórzyć lub ewentualnie nauczyć się materiału z topologii, o którym mówiłem na wykładzie.
Zadanie 12.3 Udowodnić stwierdzenie 12.1.
Zadanie 12.4 Udowodnić stwierdzenie 12.2.
Zadanie 12.5 Udowodnić stwierdzenie 12.3.
33
Wykład 13
2003.01.14 / 2h
13.1
Całka Lebesgue’a – definicja i własności
Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z dodatnią miarą.
Uwaga 13.1 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji prostych będziemy oznaczać SF, natomiast zbiór wszystkich nieujem-
nych i H - mierzalnych funkcji prostych symbolem SF
+
Definicja 13.1 (Część I) Niech f : X → R będzie nieujemna, H - mierzalną funkcją prostą tj. f spełnia warunek (8.4)
definicji 8.1 tzn.
∃
{A
1
,...,A
n
}⊂2
X
∃
{a
1
,...,a
n
}⊂R
+
∪{0}
(∀
1¬i<j¬n
A
i
∩ A
j
= ∅ ∧ a
i
6= a
j
) ∧
n
[
k=1
A
k
= X ⇒ f (x) =
n
X
k=1
a
k
χ
A
k
(x).
Niech A ∈ H. Całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość
Z
A
f dµ ≡
Z
A
f (x)dµ(x)
def
=
n
X
k=1
a
k
µ(A
k
∩ A)
(13.1)
Definicja 13.2 (Część II) Niech f : X → R będzie nieujemną funkcją H - mierzalną. Niech A ∈ H. Całką Lebesgue’a z
funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość
Z
A
f dµ ≡
Z
A
f (x)dµ(x)
def
=
sup
p∈SF
+
:p¬f
Z
A
f (x)dµ(x)
(13.2)
Uwaga 13.2 Bedziemu oznaczać dla nieujemnej i H - mierzalnej funkcji f K(f )
ozn
= {p ∈ SF
+
: p ¬ f }.
Definicja 13.3 (Część III) Niech f : X → R będzie funkcją H - mierzalną. Niech A ∈ H. Jeżeli przynajmniej jedna z całek
Z
A
f
−
dµ
Z
A
f
+
dµ
(13.3)
jest skończona, to całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość
Z
A
f dµ ≡
Z
A
f (x)dµ(x)
def
=
Z
A
f
+
dµ −
Z
A
f
−
dµ.
(13.4)
Jeżeli obie całki w (13.3) są skończone, to funkcje f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue’a po zbiorze A względem miar
µ.
Uwaga 13.3 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a po zbiorze A (A ∈ H) wzglę-
dem miary µ oznaczamy przez L(A, H, µ) bądź L(A, µ). W przypadku, gdy zarówno σ - ciało zbiorów H jest wyznaczone
jednoznacznie, jak i miara µ wtedy oznaczamy przez L(A).
34
Lemat 13.1
R
∅
f dµ = 0.
Lemat 13.2 Jeżeli µ(A) = 0, to
R
A
f dµ = 0
Lemat 13.3 Jeżeli µ(A) < +∞ oraz f (x) = c dla wszystkich x ∈ A i pewnego c ∈ R, to
R
A
f dµ = cµ(A).
Lemat 13.4 Jeżeli 0 ¬ f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ A i g ∈ L(A, µ), to f ∈ L(A, µ) oraz
R
A
f dµ ¬
R
A
gdµ.
Lemat 13.5 Jeżeli A 6= ∅ i µ(A) < +∞ oraz f : A → R jest ograniczona na A, to f ∈ L(A, µ) oraz µ(A) inf
x∈A
{f (x)} ¬
R
A
f dµ ¬ µ(A) sup
x∈A
{f (x)}.
13.2
Zadania
Zadanie 13.1 Udowodnić następujące własności cłki Lebesgue’a
∀
f ∈SF
+
0 ¬
Z
A
f dµ ¬ +∞
(13.5)
Z
A
dµ = µ(A)
(13.6)
Z
A
χ
A
dµ = µ(A)
(13.7)
Z
A
χ
B
dµ = µ(A ∩ B)
(13.8)
∀
f
1
,f
2
SF
+
∀
A∈H
∀
x∈X
f
1
(x) ¬ f
2
(x) ⇒
Z
A
f
1
dµ ¬
Z
A
f
2
dµ
(13.9)
f 0 ⇒ 0 ¬
Z
A
f dµ ¬ +∞
(13.10)
35
Wykład 14
2003.01.21 / 2h
14.1
Całka Lebesgue’a – własności c.d.
Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą dodatnią. Niech A ∈ H oraz f, g: A → R będą funkcjami H -
mierzalnymi.
Lemat 14.1 Jeżeli f ∈ L(A, µ) i c ∈ R, to c · f ∈ L(A, µ) oraz
R
A
(c · f )dµ = c
R
A
f dµ.
Lemat 14.2 Jeżeli H 3 B ⊂ A i f nieujemna na A, to
R
B
f dµ ¬
R
A
f dµ.
Lemat 14.3 Jeżeli f ∈ L(A, µ) i H 3 B ⊂ A, to f ∈ L(B, µ).
Twierdzenie 14.1 Niech f : X → R będzie funkcją nieujemną i mierzalną. Wówczas funkcja ˆ
µ
f
(A)
def
=
R
A
f dµ jest miarą.
Wniosek 14.1 Niech f ∈ L(X, µ) wtedy funkcja ˆ
µ
f
(A)
def
=
R
A
f dµ jest σ - addytywną funkcją zbioru.
Wniosek 14.2 Niech f ∈ L(X, µ) oraz {A, B} ⊂ H będą takie, że A ∩ B = ∅. Wtedy
R
A∪B
f dµ =
R
A
f dµ +
R
B
f dµ.
Lemat 14.4 Niech f ∈ L(X, µ) oraz {A
n
: n ∈ N} ⊂ H będzie rodziną monotoniczną, zaś A jego granicą. Wtedy
R
A
f dµ =
lim
n→∞
R
A
n
f dµ.
Lemat 14.5 Całka Lebesgue’a nie zależy od wartości całkowanej funkcji na zbiorze miary zero tzn.
∀
f :A→R
∀
B∈H
f ∈ L(A, µ) ∧ µ(B) = 0 ⇒
Z
A
f dµ =
Z
A\B
f dµ.
14.2
Zadania
36
Wykład 15
Egzamin
15.1
Zagadnienia na egzamin – część teoretyczna
1. Klasy zbiorów.
(a) Półpierścień, pierścień zbiorów i ich własności.
(b) Półciało, ciało zbiorów i ich własności.
(c) σ - pierścień, σ - ciało, rodzina monotoniczna i ich własności.
(d) Klasy zbiorów generowane przez rodziny zbiorów i ich własności.
2. Funkcje zbiorów. Miary.
(a) Typy funkcji zbiorów i ich własności.
(b) Miara i jej własności na pewnych klasach zbiorów.
(c) Ciągłość miary.
(d) Przedłużanie miar z półpierścienia na pierścień.
(e) Miara zewnętrzna. Konstrukcja.
(f) Zbiory mierzalne względem miary zewnętrznej. Twierdzenie Caratheodory’ego.
(g) Zupełność miary generowanej przez miarę zewnętrzną na σ - ciele zbiorów mierzalnych.
(h) Miara Lebesgue’a na prostej i jej własności.
(i) Miara Lebesgue’a - Stieltjesa na prostej i jej własności.
(j) Zbiór Cantora i jego własności dla miary Lebesgue’a.
(k) Konstrukcja zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue’a.
(l) Niezmiennniczość miary Lebesgue’a na przesunięcia.
3. Odwzorowania mierzalne.
(a) Własności obrazu i przeciwobrazu.
(b) Pojęcie odwzorowania H
1
-H
2
- mierzalnego. Warunki równoważne H - mierzalności odwzorowania.
(c) Funkcje borelowskie. Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a. Własności.
(d) Działania na funkcjach H - mierzalnych.
4. Funkcje proste.
(a) Pojęcie funkcji prostej.
(b) Funkcje proste i ich H - mierzalność.
(c) Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.
37
5. Zbieżność ciągów funkcyjnych.
(a) Funkcje równoważne.
(b) Zbieżność prawie wszędzie.
(c) p.w. ciąg Cauchy’ego, a zbieżność prawie wszędzie.
(d) Działania na ciągach zbieżnych prawie wszędzie.
(e) Twierdzenie Jegorowa.
(f) Zbieżność względem miary, a zbieżność prawie wszędzie.
(g) Ciąg Cauchy’ego względem miary, a zbieżność względem miary.
(h) Działania na ciągach zbieżnych względem miary.
(i) Twierdzenie Riesza.
6. Abstrakcyjna całka Lebesgue’a.
(a) Definicja całki Lebesgue’a.
(b) Własności całki Lebesgue’a I (Lematy 1 – 3).
(c) Własności całki Lebesgue’a II (Lematy 4 – 6).
(d) Własności całki Lebesgue’a II (Lematy 7 – 9).
(e) Twierdzenie of ˆ
µ
f
i wnioski z niego.
38
15.2
Zadania z egzaminu
1. Zbiór A ⊆ R
2
nazywamy symetrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy z (x, y) ∈ A, wynika (−x, −y) ∈ A. Udowodnić, że
klasa wszystkich podzbiorów symetrycznych w R
2
jest σ - ciałem. Wyznaczyć rodzinę funkcji mierzalnych względem
tego σ - ciała.
5pkt/25pkt
2. Udowodnić, że funkcja µ
?
: 2
X
→ [0, +∞] zadana wzorem
X ⊇ A 7→ µ
?
(A) =
0
dla A = ∅
n
dla n = card A
+∞
dla card A ℵ
0
definiuje miarę zewnętrzną na X. Wyznaczyć σ - ciało H zbiorów µ
?
- mierzalnych. Jakie są funkcje H - mierzalne ?
5pkt/25pkt
3. Niech H = 2
R
. Udowodnić, że funkcja R ⊇ A 7→ µ(A) =
P
n∈A
1
2
n
(sumowanie po liczbach naturalnych ze zbioru A).
Wyznaczyć µ(R). Jakie zbiory są zbiorami miary zero ? Czy istnieją dwa różne podzbiory R o równej niezerowej mierze ?
5pkt/25pkt
4. Udowodnić, że ciąg funkcji (f
n
) zadany wzorem f
n
(x) = exp(cos
n
(πx)) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni
(R, S
L
, m). Wyznaczyć jego granicę punktową.
5pkt/25pkt
5. Udowodnić, że jeżeli f
n
µ
→ f , to |f
n
|
µ
→ |f |.
5pkt/25pkt
15.3
Zadania z egzaminu poprawkowego
1. Udowodnić, że jeżeli f
n
µ
→ f oraz g
n
µ
→ g, to f
n
− g
n
µ
→ f − g.
5pkt/25pkt
2. Udowodnić, że ciąg funkcji (f
n
) zadany wzorem f
n
(x) = sin
n
(x
3
− nx) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni
(R, S
L
, m). Wyznaczyć jego granicę punktową.
5pkt/25pkt
3. Czy istnieje σ - ciało złożone dokładnie z 5 elementów ? Odpowidź uzasadnij.
5pkt/25pkt
4. Niech X będzie zbiorem nieskończonym oraz
H = {A ⊆ X : card A < ℵ
0
∧ card(X \ A) < ℵ
0
} .
Czy H jest σ - ciałem ?
5pkt/25pkt
5. Niech X = {1, 2, 3} oraz H = {X, ∅, {1}, {2, 3}} będzie σ - ciałem oraz
f (x) =
1
dla x = 1
1
2
dla x = 2
3
2
dla x = 3
.
Czy funkja f jest H - mierzalna ?
5pkt/25pkt
39
Wykład 1
2003.02.18 /2h
1.1
Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d.
Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą dodatnią. Niech A ∈ H oraz f, g: A → R będą funkcjami H -
mierzalnymi.
Wniosek 1.1 Niech f ∈ L(A, µ) oraz f = g(modµ) na A. Wtedy g ∈ L(A, µ) oraz
R
A
f dµ =
R
A
gdµ.
Lemat 1.1
f ∈ L(A, µ) ⇔ |f | ∈ L(A, µ)
(1.1)
Lemat 1.2 Niech f ∈ L(A, µ) oraz dla dowolnego x ∈ A zachodzi |g(x)| ¬ f (x). Wtedy g ∈ L(A, µ).
Lemat 1.3 Jeżeli f ∈ L(A, µ), to f jest prawie wszędzie skończona na A.
Lemat 1.4 Niech f ∈ L(A, µ) oraz f jest nieujemna na A i
R
A
f dµ = 0. Wtedy f = 0 prawie wszędzie na A.
Twierdzenie 1.1 (Lebesgue’a - Beppo Leviego/Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech A ∈ H oraz niech
f
n
: X → R : n 1
będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych taki, że
∀
n1
∀
x∈X
0 ¬ f
n
(x) ¬ f
n+1
(x).
Wówczas
lim
n→∞
Z
A
f
n
dµ =
Z
A
( lim
n→∞
f
n
)dµ
(1.2)
Twierdzenie 1.2 Jeżeli {f, g} ⊂ L(A, µ), to f + g ∈ L(A, µ) oraz
Z
A
(f + g)dµ =
Z
A
f dµ +
Z
A
gdµ
(1.3)
1.2
Zadania
Zadanie 1.1 Niech f ∈ L(X, µ) i niech
R
A
f dµ = 0 dla dowolnego A ⊆ X. Udowodnić, że wtedy f = 0 prawie wszędzie na A.
Zadanie 1.2 Dokończyć dowód twierdzenia 1.2.
40
Wykład 2
2003.02.25 /2h
2.1
Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d.
Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą dodatnią. Niech A ∈ H oraz f, g: A → R będą funkcjami H -
mierzalnymi.
Twierdzenie 2.1 Niech ciąg
f
n
: A → R : n ∈ N
funkcji H - mierzalnych spełnia warunki
(i) f
n
∈ L(A, µ) dla dowolnego n 1
(ii) f
n
(x) ¬ f
n+1
(x) dla dowolnych n ∈ N i x ∈ A
(iii) sup
n1
R
A
f
n
dµ < +∞
Wtedy lim
n→∞
f
n
∈ L(A, µ) oraz
lim
n→∞
Z
A
f
n
dµ =
Z
A
( lim
n→∞
f
n
)dµ
(2.1)
Twierdzenie 2.2 (Lemat Fatou) Niech ciąg
f
n
: A → R : n ∈ N
będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych i nieujemnych
na zbiorze A ∈ H. Wówczas
Z
A
lim inf
n→∞
f
n
dµ ¬ lim inf
n→∞
Z
A
f
n
dµ
(2.2)
Wniosek 2.1 Niech ciąg
f
n
: A → R : n ∈ N
spełnia warunki
(i) f
n
jest H - mierzalna i nieujemna na A dla dowolnego n 1
(ii) f
n
→ f (modµ) na A
(iii) sup
n1
R
A
f
n
dµ < +∞
Wtedy f ∈ L(A, µ).
Twierdzenie 2.3 (Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Niech A ∈ H oraz niech
f
n
: X → R : n 1
będzie
ciągiem funkcji H - mierzalnych taki, że
(i) f
n
→ f (modµ) na A
(ii) istnieje g ∈ L(A, µ) taka, że |f
n
(x)| ¬ g(x) dla dowolnych n ∈ N oraz x ∈ A.
Wówczas f jest funkcją H - mierzalną i {f, f
n
: n ∈ N} ⊂ L(A, µ) oraz
lim
n→∞
Z
A
f
n
dµ =
Z
A
f dµ
(2.3)
2.2
Całka Lebesgue’a zależna od parametru
Niech X 6= ∅ i (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą i A ∈ H. Niech (Y, d) będzie przestrzenią metryczną, zaś G zbiorem
otwartym w tej przestrzeni. Niech f : A × G → R.
41
Twierdzenie 2.4 Jeżeli funkcja f spełnia warunki
(i) ∀
t∈G
f (·, t) ∈ L(A, µ)
(ii) ∃
Φ
1
∈H
µ(Φ
1
) = 0 ∧ ∀
x∈A\Φ
1
f (x, ·) ∈ C(G)
(iii) ∃
Φ
2
∈H
∃
g∈L(A,µ)
g jest H - mierzalna µ(Φ
2
) = 0 ∧ ∀
(x,t)∈(A\Φ
2
)×G
|f (x, t)| ¬ g(x).
Wtedy funkcja G 3 t 7→ F (t)
def
=
R
A
f (x, t)dµ(x) jest ciągła na G.
Twierdzenie 2.5 (Różniczkowanie względem parametru) Niech przy przyjętych oznaczeniach (Y, d) będzie jednowy-
miarową przestrzenią euklidesową. Jeżeli funkcja f spełnia warunki
(i) ∀
t∈G
f (·, t) ∈ L(A, µ)
(ii) ∃
Φ∈H
µ(Φ) = 0 ∧ ∀
x∈A\Φ
istnieje na G
∂f (x,·)
∂t
∧ ∃
g∈L(A,µ)
g jest H - mierzalna ∀
(x,t)∈(A\Φ)×G
∂f (x,t)
∂t
¬ g(x).
Wtedy funkcja G 3 t 7→ F (t)
def
=
R
A
f (x, t)dµ(x) jest różniczkowalna na G oraz
F
0
(t) =
Z
A
∂f (x, t)
∂t
dµ(x).
(2.4)
2.3
Zadania
42
Wykład 3
2003.03.04 /2h
3.1
Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue’a
Niech (X
1
, H
1
, µ
1
) i (X
2
, H
2
) będą odpowiednia przestrzenią z miarą i przestrzenią mierzalna, zaś T : X
1
→ X
2
będzie
odwzorowaniem H
1
− H
2
- mierzalnym.
Definicja 3.1 Miarą na H
2
generowaną przez miarę µ
1
i odwzorowanie T nazywamy miarę µ
µ
1
,T
określoną wzorem
∀
A∈H
2
µ
µ
1
,T
(A) = µ
1
(T
−1
(A)).
(3.1)
Twierdzenie 3.1 Jeżeli funkcja f : X
2
→ R jest H
2
- mierzalna, to o ile chociaż jedna z poniższych całek jest skończona, to
zachodzi równość
Z
X
2
f (x
2
)dµ
µ
1
,T
(x
2
) =
Z
X
1
f (T (x))dµ
1
(x)
(3.2)
3.2
Przestrzenie produktowe i miary produktowe
Niech (X
1
, H
1
) i (X
2
, H
2
) będą przestrzeniami mierzalnymi.
Przyjmijmy następujące oznaczenia
X
ozn
=
X
1
× X
2
H
ozn
=
H
1
× H
2
≡ {A
1
× A
2
: A
i
∈ H
i
∧ i = 1, 2}
H
ozn
=
σa(H)
Uwaga 3.1 Para (X, H) jest przestrzenią mierzalną.
Definicja 3.2 Niech A ⊂ X.
Dla dowolnego x
1
∈ X
1
x
1
- przekrojem zbioru E nazywamy podzbiór X
2
zdefiniowany następująco
E
x
1
def
= {x
2
∈ X
2
: (x
1
, x
2
) ∈ E} .
(3.3)
Dla dowolnego x
2
∈ X
2
x
2
- przekrojem zbioru E nazywamy podzbiór X
1
zdefiniowany następująco
E
x
2
def
= {x
1
∈ X
1
: (x
1
, x
2
) ∈ E} .
(3.4)
Lemat 3.1 Dla dowolnych x
1
∈ X
1
oraz x
2
∈ X
2
mamy ∅
x
1
= ∅ oraz ∅
x
2
= ∅.
Twierdzenie 3.2 Niech A ∈ H. Wtedy
(i) ∀
x
1
∈X
1
A
x
1
∈ H
2
(ii) ∀
x
2
∈X
2
A
x
2
∈ H
1
.
Niech f : X → R.
43
Definicja 3.3 Dla dowolnego x
1
∈ X
1
x
1
- przekrojem funkcji f nazywamy funkcję f
x
1
: X
2
→ R określoną wzorem
∀
x
2
∈X
2
f
x
1
(x
2
) = f (x
1
, x
2
)
(3.5)
Dla dowolnego x
2
∈ X
2
x
2
- przekrojem funkcji f nazywamy funkcję f
x
2
: X
1
→ R określoną wzorem
∀
x
1
∈X
1
f
x
2
(x
1
) = f (x
1
, x
2
)
(3.6)
Twierdzenie 3.3 Jeżeli funkcja f jest H - mierzalna, to dla dowolnego x
1
∈ X
1
x
1
- przekrój funkcji f jest funkcją H
2
-
mierzalną oraz dla dowolnego x
2
∈ X
2
x
2
- przekrój funkcji f jest funkcją H
1
- mierzalną.
Niech (X
i
, H
i
, µ
i
) dla i = 1, 2 będą przestrzeniami z miarami.
Lemat 3.2 Niech (X
i
, H
i
, µ
i
) dla i = 1, 2 będą przestrzeniami z miarami σ - skończonymi. Istnieje wtedy dokładnie jedna
σ - skończona miara µ na H taka, że
∀
A∈H
µ(A) =
Z
X
1
µ
2
(E
x
1
)dµ
1
(x
1
) = µ(A) =
Z
X
2
µ
1
(E
x
2
)dµ
2
(x
2
).
(3.7)
W szczególności dla A = A
1
× A
2
, gdzie A
i
∈ H
i
, µ
i
(A
i
) < +∞ dla i = 1, 2 mamy
µ(A
1
× A
2
) = µ
1
(A
1
)µ
2
(A
2
).
(3.8)
Miarę µ nazywamy miarą produktową miar µ
1
i µ
2
i oznaczamy µ
ozn
= µ
1
× µ
2
≡ µ
1
⊗ µ
2
.
3.3
Zadania
44
Wykład 4
2003.03.11 /2h
4.1
Twierdzenie Fubiniego
Niech (X
i
, H
i
, µ
i
) dla i = 1, 2 będą przestrzeniami z miarami σ - skończonymi, a (X, H, µ) będzie przestrzenią produktową
z miarą produktową. Niech f : X → R będzie funkcją H - mierzalną.
Całki postaci
Z
X
1
Z
X
2
f
x
1
dµ
2
dµ
1
(4.1)
Z
X
2
Z
X
1
f
x
2
dµ
1
dµ
2
(4.2)
nazywamy całkami iterowanymi funkcji f , a całkę
Z
X
f dµ
(4.3)
całka podwójną.
Twierdzenie 4.1 (Fubiniego I) Niech f będzie funkcją nieujemną. Wówczas
(i) X
1
3 x
1
7→
R
X
2
f
x
1
dµ
2
jest H
1
- mierzalne,
(ii) X
2
3 x
2
7→
R
X
1
f
x
2
dµ
1
jest H
2
- mierzalne oraz
Z
X
1
Z
X
2
f
x
1
dµ
2
dµ
1
=
Z
X
f dµ =
Z
X
2
Z
X
1
f
x
2
dµ
1
dµ
2
(4.4)
Twierdzenie 4.2 (Fubiniego II) Niech f ∈ L(X, µ). Wówczas
(i) dla prawie wszystkich x
1
względem miary µ
1
na X
1
f
x
1
jest H
2
- mierzalna oraz f
x
1
∈ L(X
2
, µ
2
) odwzorowanie X
1
3
x
1
7→
R
X
2
f
x
1
dµ
2
jest klasy L(X
1
, µ
1
),
(ii) dla prawie wszystkich x
2
względem miary µ
2
na X
2
f
x
2
jest H
1
- mierzalna oraz f
x
2
∈ L(X
1
, µ
1
) odwzorowanie X
2
3
x
2
7→
R
X
1
f
x
2
dµ
1
jest klasy L(X
2
, µ
2
)
oraz
Z
X
1
Z
X
2
f
x
1
dµ
2
dµ
1
=
Z
X
f dµ =
Z
X
2
Z
X
1
f
x
2
dµ
1
dµ
2
(4.5)
Wniosek 4.1 Jeżeli jedna z całek iterowanych dla funkcji |f | jest skończona, to funkcja f ∈ L(X, µ), a więc można zmieniać
kolejność całkowania w całkach iterowanych i są one równe całce podwójnej.
4.2
Zadania
45
Wykład 5
2003.03.18 /2h
5.1
Funkcje wypukłe
Materiał w paragrafie obejmuje wiadomości, które powinny być znane z Analizy Matematycznej I i II – materiał I roku. Dla
przypomnienia zebrano w paragrafie definicje i twierdzenia.
1
Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem, f : P → R.
Definicja 5.1 Funkcję f nazywamy wypukłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
x,y∈P
∀
α,β∈R
+
∪{0}
α + β = 1 ⇒ f (αx + βy) ¬ αf (x) + βf (y)
(5.1)
Funkcję f nazywamy wklęsłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy −f jest wypukła.
Twierdzenie 5.1 Następujące warunki są równoważne
f jest wypukła na P
(5.2)
∀
n∈N
∀
x
1
,...,x
n
∈P
∀
α
1
,...,α
n
∈R
+
∪{0}
n
X
k=1
α
k
= 1 ⇒ f (
n
X
k=1
α
k
x
k
) ¬
n
X
k=1
α
k
f (x
k
)
(5.3)
∀
x
1
,x
2
,x∈P
x
1
< x < x
2
⇒ f (x) ¬
x
2
− x
x
2
− x
1
f (x
1
) +
x − x
1
x
2
− x
1
f (x
2
)
(5.4)
∀
x
1
,x
2
,x∈P
x
1
< x < x
2
⇒
f (x) − f (x
1
)
x
2
− x
¬
f (x
2
) − f (x)
x − x
1
(5.5)
Twierdzenie 5.2 Jeżeli f jest wypukła na przedziale P, to jest ciągła na przedziale P.
Twierdzenie 5.3 Niech f ∈ D
1
(P ).
2
Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f
0
jest niemalejąca na
przedziale P.
Wniosek 5.1 Niech f ∈ D
2
(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f
(2)
(x) 0 dla dowolnego
punktu x z przedziału P.
Twierdzenie 5.4 Niech f ∈ D
1
(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
x
0
,x∈P
f (x) f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
).
(5.6)
Twierdzenie 5.5 Niech f będzie wypukła na przedziale P, to
∀
x
0
∈P
∃
λ(x
0
)∈R
∀
x∈P
f (x) λ(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
).
(5.7)
1
Dla zainteresowanych przypomnieniem tych wiadomości polecam podręczniki:
1. W. Rudnin Analiza rzeczywista i zespolona, PWN Warszawa
2. A. Birkholc Analiza matematyczna dla nauczycieli PWN Warszawa
2
Przez D
k
(P ), gdzie k ∈ N oznaczamy zbiór funkcji k - krotnie różniczkowalnych
46
5.2
Nierówności H¨
oldera, Minkowskiego, Markowa, Jensena
Niech p, q ∈ R
+
.
Lemat 5.1 (Nierówność Younga) Niech p, q będą takie, że p > 1 oraz p
−1
+ q
−1
= 1. Wtedy dla dowolnych nieujemnych
liczb a i b zachodzi nierówność
ab ¬
a
p
p
+
b
q
q
(5.8)
Uwaga 5.1 Liczby p i q nazywamy wykładnikami sprzężonymi.
Uwaga 5.2 Dla p = 1 przyjmujemy, że wykładnik q = +∞.
Lemat 5.2 Niech p ∈ R
+
∪ {0} i {a, b} ⊂ R. Wtedy
|a + b|
p
¬ 2
p
(|a|
p
+ |b|
p
)
(5.9)
Jeżeli ponadto p 1, to
|a + b|
p
¬ 2
p−1
(|a|
p
+ |b|
p
)
(5.10)
Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą, f, g: X → R będą funkcjami H - mierzalnymi.
Twierdzenie 5.6 (Nierówność H¨
oldera)
3
Niech p i q będą takie, że p > 1 oraz p
−1
+ q
−1
= 1, a funkcje f i g takie, że
|f |
p
, |g|
q
∈ L(X, µ). Wtedy f g ∈ L(X, µ) oraz
Z
X
|f g|dµ ¬
Z
X
|f |
p
dµ
1
p
Z
X
|g|
q
dµ
1
q
(5.11)
Uwaga 5.3 Jeżeli p = 2 = q, to nierówność H¨
oldera nazywamy nierównością Cauchy’ego - Schwarza - Bunikowskiego.
4
Twierdzenie 5.7 (Nierówność Minkowskiego) Niech p będzie takie, że p 1, a funkcje f i g takie, że |f |
p
, |g|
p
∈
L(X, µ). Wtedy |f + g|
p
∈ L(X, µ) oraz
Z
X
|f + g|
p
dµ
1
p
¬
Z
X
|f |
p
dµ
1
p
+
Z
X
|g|
p
dµ
1
p
(5.12)
Twierdzenie 5.8 (Nierówność Markowa)
5
Niech p będzie takie, że p ∈ R
+
∪ {0}, a funkcja f taka, że |f |
p
∈ L(X, µ).
Wtedy
∀
R3a>0
µ({x ∈ X : |f (x)| a}) ¬
1
a
p
Z
X
|f |
p
dµ.
(5.13)
Twierdzenie 5.9 (Nierówność Jensena) Niech µ będzie miarą unormowaną – probabilistyczną. Niech f ∈ L(X, µ) oraz
dla dowolnego x ∈ X zachodzi f (x) ∈]a, b[, (a, b ∈ R). Jeżeli funkcja ϕ jest funkcją wypukła na przedziale ]a, b[, to
ϕ
Z
X
f dµ
¬
Z
X
ϕ ◦ f dµ
(5.14)
Wniosek 5.2 Niech µ będzie miarą skończoną. Niech f ∈ L(X, µ) oraz dla dowolnego x ∈ X zachodzi f (x) ∈]a, b[, (a, b ∈ R).
Jeżeli funkcja ϕ jest funkcją wypukła na przedziale ] min{a,
a
µ(X)
}, max{b,
b
µ(X)
}[, to
ϕ
1
µ(X)
Z
X
f dµ
¬
1
µ(X)
Z
X
ϕ ◦ f dµ
(5.15)
5.3
Zadania
3
Pokażemy później, że nierówność H¨
oldera jest słuszna również dla p = 1 i q = +∞ modyfikując założenia i samą nierówność.
4
W literaturze angielskiej nazywana jest nierównością Schwarza.
5
W Rachunku prawdopodobieństwa był to wniosek z nierówność Czebyszewa.
47
Wykład 6
2003.03.25 /2h
6.1
Przestrzenie L
p
(X, H, µ) dla p ∈ (0, +∞]
Niech p ∈ R
+
∪ {+∞}. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą, f, g: X → R będą funkcjami H - mierzalnymi.
Uwaga 6.1 Mamy
1
inf ∅ = +∞
∧
sup ∅ = −∞
(6.1)
Definicja 6.1 Niech f : X → [0, +∞]. Kresem istotnym H - mierzalnej funkcji f oznaczanym esssup f nazywamy liczbę
zdefiniowaną wzorem
esssup f
def
= inf
a ∈ R
+
: µ(f
−1
(]a, +∞]) = 0
(6.2)
Definicja 6.2
L
∞
(X, H, µ)
def
=
f : X → R : f jest H - mierzalna ∧ esssup |f| < +∞
(6.3)
L
p
(X, H, µ)
def
=
f : X → R : f jest H - mierzalna ∧ |f|
p
∈ L(X, µ)
(p > 0)
(6.4)
Definicja 6.3
kf k
p
def
=
R
X
|f |
p
dµ
1
p
dla p ∈]0, +∞[
esssup |f |
dla p = +∞
(6.5)
Twierdzenie 6.1 (Nierówność H¨
oldera II) Niech p, q ∈ [1, +∞] będą takie, że p
−1
+ q
−1
= 1, a funkcje f i g takie, że
f ∈ L
p
(X, H, µ) i g ∈ L
q
(X, H, µ). Wtedy f g ∈ L
1
(X, H, µ) oraz
kf gk
1
¬ kf k
p
kgk
q
(6.6)
Uwaga 6.2 Jeżeli nie będzie to wyraźnie zaznaczone, to pisząc L
p
(X, H, µ) będziemy od tej pory mieli na myśli, iż p ∈
[0, +∞].
Uwaga 6.3 Zauważmy, że L(X, µ) ≡ L
1
(X, H, µ).
Twierdzenie 6.2 Zachodzą następujące własności
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
∀
a∈R
a · f ∈ L
p
(X, H, µ)
(6.7)
∀
{f,g}⊂L
p
(X,H,µ)
f + g ∈ L
p
(X, H, µ)
(6.8)
f ≡ 0 ⇒ kf k
p
= 0
(6.9)
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
kf k
p
0
(6.10)
∀
p∈[1,+∞]
∀
{f,g}⊂L
p
(X,H,µ)
kf + gk
p
¬ kf k
p
+ kgk
p
(6.11)
∀
p∈]0,1[
∀
{f,g}⊂L
p
(X,H,µ)
kf + gk
p
p
¬ kf k
p
p
+ kgk
p
p
(6.12)
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
∀
a∈R
ka · f k
p
= |a|kf k
p
(6.13)
1
Jeżeli kres dolny (górny) jest to największe (najmniejsze) ograniczenie dolne (górne) zbioru to powyższe stwierdzenie mają sens.
48
Uwaga 6.4 Jeżeli dla p ∈]0, 1[ funkcję k · k
p
określimy wzorem
kf k
p
def
=
Z
X
|f |
p
dµ,
(6.14)
wówczas będą spełnione następujące nierówności (odpowiedniki nierówności 6.12, 6.13)
∀
{f,g}⊂L
p
(X,H,µ)
kf + gk
p
¬ kf k
p
+ kgk
p
(6.15)
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
∀
a∈R
|a| = 1 ⇒ ka · f k
p
= kf k
p
(6.16)
Twierdzenie 6.3 Niech µ będzie miarą skończoną. Niech 1 ¬ p < r < +∞. Wtedy
L
r
(X, H, µ) ⊂ L
p
(X, H, µ)
(6.17)
6.2
Zadania
Zadanie 6.1 Udowodnić nierówność (6.12).
Zadanie 6.2 Sprawdzić, czy prawdziwe jest następujące twierdzenie będące modyfikacją nierówności H¨
oldera
Niech p, q, r ∈ [1, +∞] będą takie, że p
−1
+ q
−1
= r
−1
, a funkcje f i g takie, że f ∈ L
p
(X, H, µ) i g ∈ L
q
(X, H, µ). Wtedy
f g ∈ L
r
(X, H, µ) oraz
kf gk
r
¬ kf k
p
kgk
q
(6.18)
Zadanie 6.3 Niech 1 ¬ p < r < +∞ oraz s ∈ [p, r]. Udowodnić, że kf k
s
¬ max{kf k
p
, kf k
r
}.
Zadanie 6.4 Niech 1 ¬ p < r < +∞ oraz s ∈ [p, r]. Udowodnić, że
L
r
(X, H, µ) ∩ L
p
(X, H, µ) ⊂ L
s
(X, H, µ)
(6.19)
49
Wykład 7
2003.04.01 /2h
7.1
Zbieżność w przestrzeniach L
p
(X, H, µ)
Niech p ∈ R
+
∪ {+∞}. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą, f, g: X → R będą funkcjami H - mierzalnymi.
Definicja 7.1 Ciąg {f
n
: X → R : n 1} ⊂ L
p
(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych jest zbieżny w L
p
(X, H, µ) (według p - tej
potęgi) do funkcji f ∈ L
p
(X, H, µ) wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
n→∞
kf
n
− f k
p
= 0
(7.1)
Definicja 7.2 Ciąg {f
n
: X → R : n 1} ⊂ L
p
(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko
wtedy, gdy
∀
ε>0
∃
n
0
∈N
∀
N3n,mn
0
kf
n
− f
m
k
p
< ε.
(7.2)
Twierdzenie 7.1 Niech p ∈ [1, +∞]. Każdy ciąg Cauchy’ego {f
n
: X → R : n 1} ⊂ L
p
(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych
jest zbieżny w L
p
(X, H, µ) do pewnej funkcji f ∈ L
p
(X, H, µ).
W dowodzie twierdzenia 7.1 otrzymaliśmy następujący wynik
Twierdzenie 7.2 Niech p ∈ [1, +∞] oraz dany będzie ciąg Cauchy’ego {f
n
: X → R : n 1} ⊂ L
p
(X, H, µ) funkcji H -
mierzalnych zbieżny do funkcji f H - mierzalnej z L
p
(X, H, µ). Wtedy zawiera on podciąg zbieżny prawie wszędzie do funkcji
f .
7.2
Zbiory gęste w przestrzeniach L
p
(X, H, µ)
Uwaga 7.1 Przez SP (SP
+
) będziemy oznaczać funkcje proste (nieujemne) H - mierzalne.
Twierdzenie 7.3 Niech p ∈ [1, +∞[. Wówczas
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
∀
ε>0
∃
h∈SP
h ∈ L
p
(X, H, µ) ∧ kf − hk
p
< ε
(7.3)
Uwaga 7.2 Funkcja prosta występując w twierdzeniu 7.3 może być tak wybrana, aby
µ({x ∈ X : h(x) 6= 0}) < +∞.
(7.4)
Twierdzenie 7.4 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą σ - skończoną, H półpierścieniem generującym σ - ciało H.
(tzn. σa(H) = H). Wtedy
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
∀
ε>0
∃
h∈SP(H)
h ∈ L
p
(X, H, µ) ∧ kf − hk
p
< ε,
(7.5)
gdzie SP(H) jest przestrzenią liniową funkcji prostych na rodzinie H (tzn. każda funkcja z tego zbioru jest skończoną kom-
binacją liniową funkcji charakterystycznych zbiorów z H).
7.3
Zadania
Zadanie 7.1 Udowodnić twierdzenie 7.1 dla p = +∞.
50
Wykład 8
2003.04.08 /2h
8.1
Przestrzenie Banacha, Hilberta i Fr´
echeta
Niech X 6= ∅, K będzie ciałem liczbowym
1
. Niech ponadto (X, K) będzie przestrzenia wektorową nad ciałem K.
Definicja 8.1 Odwzorowanie k · k: X → R
+
∪ {0} nazywamy pseudonormą (quasi - normą) wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
x,y∈X
kx + yk ¬ kxk + kyk
(8.1)
∀
x∈X
∀
a∈K
kaxk = |a|kxk.
(8.2)
Jeżeli ponadto zachodzi
∀
x∈X
kxk = 0 ⇒ x = 0,
(8.3)
to takie odwzorowanie nazywamy normą, a parę (X, k · k) przestrzenią unormowaną.
Wniosek 8.1 Jeżeli x = 0, to kxk = 0.
Twierdzenie 8.1 Niech (X, k · k) będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas odwzorowanie
∀
x,y∈X
d(x, y)
def
= kx − yk
(8.4)
jest metryką w X. Nazywamy ją metryką generowaną (indukowaną) przez normę.
Definicja 8.2 Przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń metryczną z
metryką generowaną przez normę jest przestrzenią metryczną zupełną.
Przypomnijmy definicje przestrzeni metrycznej zupełnej
Definicja 8.3 Przestrzeń metryczną nazywamy zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg Cauchy’ego elementów tej prze-
strzeni jest zbieżny do elementu w tej przestrzeni.
Definicja 8.4 Odwzorowanie | · |
F
: X → R
+
∪ {0} nazywamy F - normą wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
x∈X
|x|
F
= 0 ⇔ x = 0
(8.5)
∀
x,y∈X
|x + y|
F
¬ |x|
F
+ |y|
F
(8.6)
∀
x∈X
∀
a∈K
|a| = 1 ⇒ |ax|
F
= |x|
F
(8.7)
∀
(a
n
)⊂K
∀
a∈K
∀
(x
n
)⊂X
∀
x∈X
lim
n→∞
a
n
= a ∧ lim
n→∞
|x
n
− x|
F
= 0 ⇒ lim
n→∞
|a
n
x
n
− ax|
F
= 0,
(8.8)
a parę (X, | · |
F
) F
?
- przestrzenią.
1
K = R lub K = C
51
Twierdzenie 8.2 Niech (X, | · |
F
) będzie F
?
- przestrzenią. Wówczas odwzorowanie
∀
x,y∈X
d(x, y)
def
= |x − y|
F
(8.9)
jest metryką. Nazywamy ją metryką generowaną (indukowaną) przez F - normę.
Definicja 8.5 F
?
- przestrzeń nazywamy przestrzenią Fr´
echeta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń metryczną z metryką
generowaną przez F - normę jest przestrzenią metryczną zupełną.
Definicja 8.6 Odwzorowanie
2
(·|·): X × X → K nazywamy iloczynem skalarnym wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
x,y,z∈X
(x + y|z) = (x|z) + (y|z)
(8.10)
∀
x,y∈X
∀
a∈K
(ax|y) = a(x|y)
(8.11)
∀
x,y∈X
(x|y) = (y|x)
(8.12)
∀
x∈X
x 6= 0 ⇒ (x|x) > 0
(8.13)
a parę (X, (·|·)) nazywamy przestrzenią unitarną.
Twierdzenie 8.3 Niech (X, (·|·)) będzie przestrzenią unitarną. Wówczas odwzorowanie
∀
x∈X
kxk
def
=
p
(x|x)
(8.14)
jest normą (generowaną przez iloczyn skalarny), natomiast
∀
x,y∈X
d(x, y) ≡ kx − yk
def
=
p
(x − y|x − y)
(8.15)
jest metryką. Nazywamy ją metryką generowaną (indukowaną) przez iloczyn skalarny.
Definicja 8.7 Przestrzeń unitarną nazywamy przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń metryczną z metryką
generowaną przez iloczyn skalarny jest przestrzenią metryczną zupełną.
Przykład 8.1 Niech X = R
2
. Określmy
∀
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
((x
1
, y
1
)|(x
2
, y
2
))
def
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
.
(8.16)
Wówczas jest to iloczyn skalarny, generujący metrykę euklidesową. Nie indukuje on jednak metryki miasto
3
, chociaż obie
metryki są równoważne.
Twierdzenie 8.4 Przestrzeń Banacha (unormowana) jest przestrzenią Fr´
echeta (F
?
- przestrzenią)
Twierdzenie 8.5 Przestrzeń Hilberta (unitarna) jest przestrzenią Banacha (unormowaną).
8.2
Przestrzenie L
p
(X, H, µ)
Niech p ∈ R
+
∪ {+∞}. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą, f, g: X → R będą funkcjami H - mierzalnymi.
Uwaga 8.1 Przyjmujemy następującą zmodyfikowaną definicję k · k
p
kf k
p
def
=
R
X
|f |
p
dµ
dla p ∈]0, 1[
R
X
|f |
p
dµ
1
p
dla p ∈ [1, +∞[
esssup |f |
dla p = +∞
(8.17)
H
def
=
f : X → R : f jest H - mierzalna
(8.18)
2
W tym przypadku milcząco zakładamy, że K = C. Można jednak mówić o iloczynie skalarnym jako o odwzorowaniu wyłącznie w R.
3
Metryka miasto określona jest następująco d
m
((x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
)
def
= |x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
|.
52
Definicja 8.8 Określamy relację w H × H wzorem
∀
f,g∈H
f ∼ g ⇔ f = g(modµ).
(8.19)
Lemat 8.1 Relacja ∼⊂ H × H jest relacją równoważności.
Lemat 8.2 Niech f, f
1
, g, g
1
∈ H oraz a ∈ R. Wtedy
(i) f ∼ f
1
∧ g ∼ g
1
⇒ f + g ∼ f
1
+ g
1
;
(ii) f ∼ f
1
⇒ a · f ∼ a · f
1
;
(iii) f ∼ f
1
⇒ kf k
p
= kf
1
k
p
.
8.3
Zadania
Zadanie 8.1 Udowodnić twierdzenie 8.1.
Zadanie 8.2 Udowodnić twierdzenie 8.2.
Zadanie 8.3 Udowodnić twierdzenie 8.3.
Zadanie 8.4 Udowodnić twierdzenie 8.4.
Zadanie 8.5 Udowodnić twierdzenie 8.5.
Zadanie 8.6 Dokończyć dowód lematu 8.2.
53
Wykład 9
2003.04.15 /2h
9.1
Przestrzenie L
p
(X, H, µ) c.d.
Definicja 9.1
L
p
(X, H, µ)
def
= L
p
(X, H, µ)/ ∼
(9.1)
Uwaga 9.1 Zauważmy, że f ∈ L
p
(X, H, µ) jest klasą abstrakcji wyznaczoną przez relację ∼. W związku z tym nie można
dla ustalonego x ∈ X przypisać konkretnej wartości temu elementowi. Tak więc elementy z przestrzeni L
p
(X, H, µ) nie są
funkcjami.
W tradycji analizy przyjęło się jednak pisać f (x) i mówić jak o funkcji, a o samej przestrzeni mówić jako o przestrzeni
funkcji.
Uwaga 9.2 Działania – dodawanie, odejmowanie, mnożenie, mnożenie przez stałą itd. – oraz k·k
p
określamy przez działania
na reprezentantach klas abstrakcji.
Uwaga 9.3 Na wykładzie została przyjęta odwrotna konwencja na zapis przestrzeni wektorowej i jej prze-
strzeni ilorazowej.
Twierdzenie 9.1 Działania oraz k · k
p
są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentanta.
Twierdzenie 9.2
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
∀
a∈R
a · f ∈ L
p
(X, H, µ)
(9.2)
∀
{f,g}⊂L
p
(X,H,µ)
f + g ∈ L
p
(X, H, µ)
(9.3)
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
f = 0 ⇔ kf k
p
= 0
(9.4)
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
kf k
p
0
(9.5)
∀
{f,g}⊂L
p
(X,H,µ)
kf + gk
p
¬ kf k
p
+ kgk
p
(9.6)
∀
p∈[1,+∞]
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
∀
a∈R
ka · f k
p
= |a|kf k
p
(9.7)
∀
(a
n
)⊂R
∀
a∈R
∀
(f
n
)⊂L
p
(X,H,µ)
∀
f ∈L
p
(X,H,µ)
lim
n→∞
a
n
= a ∧ lim
n→∞
kf
n
− f k
p
= 0
⇒ lim
n→∞
ka
n
f
n
− af k
p
= 0.
(9.8)
Wniosek 9.1 L
p
(X, H, µ) jest przestrzenią wektorową.
Wniosek 9.2 (i) Dla p ∈]0, 1[ przestrzeń (L
p
(X, H, µ), k · k
p
) jest przestrzenią Fr´
echeta.
(ii) Dla p ∈ [1, +∞] przestrzeń (L
p
(X, H, µ), k · k
p
) jest przestrzenią Banacha.
Definicja 9.2
1
Niech f, g ∈ L
2
(X, H, µ).
(f |g)
def
=
Z
X
f gdµ.
(9.9)
Wniosek 9.3 (L
2
(X, H, µ), (·|·)) jest przestrzenią Hilberta.
1
Używamy tutaj sprzężenia zespolonego, chociaż funkcje są rzeczywiste. W późniejszej części wykładu zostanie omówione mierzalność i całko-
wanie funkcji o wartościach zespolonych oraz ich własności.
54
9.2
Funkcje zbioru. Rozkład Hahna
Niech X 6= ∅, zaś (X, H) będzie przestrzenią mierzalną.
Uwaga 9.4 Ta część wykłady jest przypomnieniem jednego z pierwszych wykładów. Zebrano w niej fakty już
dowodzone – wniosek 9.4 oraz twierdzenie 9.4.
Definicja 9.3 Funkcję ν: H → R ∪ {+∞} nazywamy funkcją zbioru (rzeczywistą miarą uogólnioną) wtedy i tylko wtedy, gdy
(i) ν(∅) = 0,
(ii) ν jest funkcją σ - addytywną na H.
Niech ν będzie funkcją zbioru na H.
Wniosek 9.4 ν jest addytywny na H.
Twierdzenie 9.3 Funkcja zbioru ν spełnia warunek
∀
A∈H
ν(A) < +∞ ⇒ ∀
H3B⊂A
ν(B) < +∞
(9.10)
Twierdzenie 9.4 Funkcja zbioru ν jest ciągła z dołu i góry.
Definicja 9.4 Zbiór D ∈ H nazywamy nieujemnym wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
H3A⊂D
ν(A) 0.
(9.11)
Definicja 9.5 Zbiór U ∈ H nazywamy niedodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
H3A⊂U
ν(A) ¬ 0.
(9.12)
Lemat 9.1
∀
A∈H
ν(A) < +∞ ⇒ ∀
ε>0
∃
H3A
ε
⊂A
ν(A
ε
) ¬ ν(A) ∧ ∀
H3B⊂A
ε
ν(B) ¬ ε
(9.13)
Wniosek 9.5
∀
A∈H
ν(A) < +∞ ⇒ ∃
H3U ⊂A
U - niedodatni ∧ ν(U ) ¬ ν(A)
(9.14)
Twierdzenie 9.5 (Rozkład Hahna) Niech (X, H) będzie przestrzenią mierzalną, zaś ν będzie funkcją zbioru na H. Wów-
czas
∃
X
+
∈H
∀
A∈H
ν(X
+
∩ A) 0 ∧ ν(X
−
∩ A) ¬ 0,
(9.15)
gdzie X
−
= X \ X
+
.
Definicja 9.6 Rozkładem Hahna przestrzeni X względem funkcji zbioru ν nazywamy przedstawienie zbioru X = X
+
∪ X
−
z twierdzenia 9.5
9.3
Zadania
Zadanie 9.1 Udowodnić twierdzenie 9.1.
Zadanie 9.2 Opirając się na faktach udowodninych dla przestrzeni wektorowej L
p
udowodnić twierdzenie 9.2.
Zadanie 9.3 Doprecyzować dowód wniosku 9.2.
Zadanie 9.4 Niech dane będą miary µ i λ na przestrzeni mierzalnej (X, H), przy czym miara λ jest skończona. Udowodnić,
że ν = µ − λ jest funkcją zbioru na (X, H).
Zadanie 9.5 Niech dane będą dwa rozkłady Hahna X = X
1
+
∪ X
1
−
i X = X
2
+
∪ X
2
−
przestrzeni X względem funkcji zbioru
ν. Udowodnić, że
∀
A∈H
ν(X
1
+
∩ A) = ν(X
2
+
∩ A) ∧ ν(X
1
−
∩ A) = ν(X
2
−
∩ A).
(9.16)
55
Wykład 10
2003.05.06 /2h
10.1
Rozkład Jordana
Twierdzenie 10.1 (Rozkład Jordana) Niech (X, H) będzie przestrzenią mierzalną, zaś ν będzie funkcją zbioru na H.
Wówczas istnieją skończone miara ν
−
, nazywamy wariancją ujemną funkcji zbiory ν, i miara ν
+
, nazywamy wariancją
dodatnią funkcji zbiory ν, na H takie, że
∀
A∈H
ν(A) = ν
+
(A) − ν
−
(A).
(10.1)
Ponadto ν
+
jest skończona (σ - skończona) wtedy i tylko wtedy, gdy ν jest skończony (σ - skończony).
Rozkład taki nazywamy rozkładem Jordana funkcji zbioru ν.
Definicja 10.1 Niech dla funkcji zbioru ν będą dane miary z ν
+
, ν
−
z rozkładu Jordana. Wariancją całkowitą funkcji zbioru
ν, oznaczaną |ν|, nazywamy miarę zdefiniowaną równością
|ν|
def
= ν
+
+ ν
−
(10.2)
10.2
Absolutna ciągłość miar. Miary i funkcje zbioru wzajemnie osobliwe
Niech X 6= ∅, zaś (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miara nieujemną µ, zaś ν funkcją zbioru na H.
Definicja 10.2 Funkcja zbioru ν jest absolutnie ciągła względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
A∈H
µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0.
(10.3)
Oznaczamy wtedy, ν µ.
Uwaga 10.1 Można zdefiniować aboslutną ciągłość dwóch funkcji zbioru. Mówimy, że funkcja zbioru ν
1
jest absolutnie ciągła
wzgledem funkcji zbioru ν
2
wtedy i tylko wtedy, gdy ν
1
|ν
2
|.
Lemat 10.1 Niech f ∈ L
1
(X, H, µ). Definiujemy funkcję zbiory
∀
A∈H
ν(A) =
Z
A
f dµ.
(10.4)
Wówczas ν µ.
Definicja 10.3 Funkcję zbioru ν nazywamy osobliwą (singularą) względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
∃
A∈H
µ(A) = 0 ∧ ∀
H3B⊂X\A
ν(B) = 0.
(10.5)
Miary λ i µ nazywamy wzajemnie osobliwe (singulare)wtedy i tylko wtedy, gdy
∃
A∈H
µ(A) = 0 ∧ λ(X \ A) = 0.
(10.6)
W obu wypadkach piszemy ν ⊥ µ (µ ⊥ λ).
56
10.3
Twierdzenie Radona - Nikodyma
Niech X 6= ∅, zaś (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miara nieujemną µ, zaś ν funkcją zbioru na H.
Definicja 10.4 Mówimy, że funkcja zbioru ν jest skupiona na zbiorze A ∈ H wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
B∈H
B ∩ A = ∅ ⇒ ν(B) = 0.
(10.7)
Wniosek 10.1 Funkcja zbioru ν jest skupiona na zbiorze A ∈ H wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
B∈H
ν(B) = ν(B ∩ A).
(10.8)
Twierdzenie 10.2 Niech dla funkcji zbioru ν będzie dany rozkład Jordana ν = ν
+
−ν
−
. Następujące warunki są równoważne.
ν µ
(10.9)
ν
+
µ ∧ ν
−
µ
(10.10)
|ν| µ.
(10.11)
Twierdzenie 10.3 (Radona - Nikodyma) Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z σ - skończoną miarą µ, zaś ν
σ - skończoną funkcją zbioru na H takie, że ν µ. Wówczas istnieje H - mierzalna funkcja f : X → R taka, że
∀
A∈H
ν(A) =
Z
A
f dµ.
(10.12)
Ponadto, jeżeli funkcje f
1
i f
2
spełniają warunek (10.12) to f
1
= f
2
(modµ).
10.4
Zadania
Zadanie 10.1 Niech dla funkcji zbioru ν będzie dany rozkład Jordana ν = ν
+
− ν
−
. Udowodnić, że
ν
−
(A) = − inf{ν(B) : B ∈ H ∧ B ⊂ A}
(10.13)
ν
+
(A) = sup{ν(B) : B ∈ H ∧ B ⊂ A}
(10.14)
Zadanie 10.2 Niech będą dane miary µ i λ na przestrzeni mierzalnej (X, H) przy czym µ jest miarą skończoną. Udowodnić,
że
µ λ ⇔ ∀
ε>0
∃
δ>0
∀
A∈H
λ(A) < δ ⇒ µ(A) < ε.
(10.15)
Zadanie 10.3 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miara µ, zaś ν, ν
1
, ν
2
funkcjami zbioru na H. Udowodnić, że
(i) Jeżeli ν jest skupiona na zbiorze A, to |ν| jest także skupiona na A.
(ii) Jeżeli ν ⊥ µ, to |ν
1
| ⊥ µ.
(iii) Jeżeli ν
1
⊥ µ i ν
2
⊥ µ, to ν
1
+ ν
2
⊥ µ.
(iii) Jeżeli ν
1
µ i ν
2
µ, to ν
1
+ ν
2
µ.
(iv) Jeżeli ν µ, to |ν| µ.
(v) Jeżeli ν
1
µ i ν
2
⊥ µ, to ν
1
⊥ |ν
2
|.
(vi) Jeżeli ν µ i ν ⊥ µ, to ν = 0.
Zadanie 10.4 Niech dla funkcji zbioru ν będzie dany rozkład Jordana ν = ν
+
− ν
−
. Udowodnić, że ν
+
⊥ ν
−
.
57
Wykład 11
2003.05.12 /2h (za 20.05.2003)
11.1
Wnioski z twierdzenia Radona - Nikodyma. Pochodna Radona - Niko-
dyma
Wniosek 11.1 Niech będą spełniona założenia twierdzenia Radona - Nikodyma. Jeżeli ν jest skończoną funkcją zbioru, to
funkcja f z twierdzenia Radona - Nikodyma (twierdzenie 10.3) jest całkowalna względem miary µ.
Definicja 11.1 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miara µ, zaś ν funkcją zbioru na H. Pochodną Radona -
Nikodyma funkcji zbioru ν względem miary µ, oznaczaną
dν
dµ
nazywamy H - mierzalną funkcję f : X → R taką, że
∀
A∈H
ν(A) =
Z
A
f dµ,
(11.1)
o ile taka funkcja istnieje.
11.2
Twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie kanonicznym
Twierdzenie 11.1 (Lebesgue’a o rozkładzie kanonicznym) Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z σ - skoń-
czoną miarą µ, zaś ν σ - skończoną funkcją zbioru na H. Istnieje wtedy dokładnie jedna para funkcji zbioru (ν
a
, ν
o
) na H
taka, że
ν = ν
a
+ ν
o
∧ ν
a
µ ∧ ν
o
⊥ µ.
(11.2)
11.3
Zadania
Zadanie 11.1 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miara µ, a f : X → R funkcją H - mierzalną. Udowodnić, że
jeżeli dla dowolnego A ∈ H zachodzi
R
A
f dµ 0, to f 0(modµ).
Zadanie 11.2 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miara skończoną µ, a f : X → R funkcją H - mierzalną.
Udowodnić opierając się na poprzednim zadaniu, że dla dowolnego A ∈ H zachodzi
R
A
f dµ ¬ µ(A), to f ¬ 1(modµ).
58
Wykład 12
2003.05.13 /2h
12.1
Topologia raz jeszcze
Rozdział ten poświęcony jest pewnym elementom topologii, a dokładniej lematowi Urysohna i rozkładowi jedności w lokalnie
zwartej przestrzeni Hausdorffa. Stanowi przypomnienie wiadomości z przedmiotu Topologia. Dla porządku umieszczono w
nim definicje pojęć, chociaż nie wszystkich, później używanych.
Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Niech f : X → C.
Definicja 12.1 K ⊂ X nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie
skończone.
X
c
def
= {K ⊂ X : K - zwarty }
(12.1)
Definicja 12.2 Nośnikiem funkcji f nazywamy domknięcie zbioru tych argumentów, dla których f ma niezerowe wartości
tzn.
supp f
def
= Cl {x ∈ X : f (x) 6= 0} .
(12.2)
C
c
(X)
def
= {f : X → C : supp f ∈ X
c
}
(12.3)
Wniosek 12.1 C
c
(X) jest przestrzenią wektorową.
Definicja 12.3 Przestrzeń topologiczną (X, τ ) nazywamy przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
x,y∈X
x 6= y ⇒ ∃
{O
x
,O
y
}⊂τ
x ∈ O
x
∧ y ∈ O
y
∧ O
x
∩ O
y
= ∅.
(12.4)
Definicja 12.4 Przestrzeń topologiczną (X, τ ) nazywamy przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt
ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte.
Definicja 12.5 Niech K ∈ X
c
oraz f : X → [0, 1]. Piszemy, że K ≺ f wtedy i tylko wtedy, gdy
f ∈ C
c
(X) ∧ ∀
x∈K
f (x) = 1.
(12.5)
Definicja 12.6 Niech O ∈ τ oraz f : X → [0, 1]. Piszemy, że f ≺ O wtedy i tylko wtedy, gdy
f ∈ C
c
(X) ∧ supp f ⊂ O.
(12.6)
Twierdzenie 12.1 (Lemat Urysohna. Dowód na ocenę bardzo dobrą)
1
Niech (X, τ ) będzie lokalnie zwarta prze-
strzenią Hausdorffa. Wówczas
∀
O∈τ
∀
K∈X
c
K ⊂ O ⇒ ∃
f ∈C
c
(X)
K ≺ f ≺ O
(12.7)
Twierdzenie 12.2 (Rozkład jedności. Dowód na ocenę bardzo dobrą łącznie z Lematem Urysohna )
2
Niech (X, τ )
będzie lokalnie zwarta przestrzenią Hausdorffa. Wówczas
∀
{O
1
,...,O
n
}⊂τ
∀
K∈X
c
K ⊂ O
1
∪ . . . ∪ O
n
⇒ ∃
{h
1
,...,h
n
}⊂C
c
(X)
∀
1¬i¬n
h
i
≺ O
i
∧ ∀
x∈K
n
X
i=1
h
i
(x) = 1
(12.8)
1
Można go znaleźć w podręczniku W. Rudina, Analiza rzeczywista i zespolona
2
Można go znaleźć w podręczniku W. Rudina, Analiza rzeczywista i zespolona
59
12.2
Twierdzenie Riesza o reprezentacji
Definicja 12.7 Funkcjonał liniowy Λ: C
c
(X) → C nazywamy dodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
f ∈C
c
(X)
f 0 ⇒ Λf 0.
(12.9)
Uwaga 12.1 W definicji funkcjonału dodatniego zakładamy, że spełnione jest to dla funkcji o wartościach rzeczywistych.
Twierdzenie 12.3 (Riesza o reprezentacji) Niech (X, τ ) będzie lokalnie zwarta przestrzenią Hausdorffa, Λ dodatnim
funkcjonałem liniowym określonym na C
c
(X). Istnieje wówczas σ - ciało H w zbiorze X takie, że B(X) ⊂ H oraz istnieje
dokładnie jedna miara µ na H (reprezentująca funkcjonał Λ) taka, że
∀
f ∈C
c
(X)
Λf =
Z
X
f dµ.
(12.10)
Miara µ ma ponadto następujące własności
∀
K∈X
c
µ(K) < +∞
(12.11)
∀
A∈H
µ(A) = inf {µ(O) : A ⊂ O ∧ O ∈ τ }
(12.12)
∀
A∈{E∈H:µ(E)<+∞}∪τ
µ(A) = sup {µ(K) : K ⊂ A ∧ K ∈ X
c
}
(12.13)
∀
A∈H
∀
B⊂X
B ⊂ A ∧ µ(A) = 0 ⇒ B ∈ H.
(12.14)
12.3
Schemat dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji
Określamy funkcje zbiorów na zbiorach otwartych następująco
∀
O∈τ
µ(O)
def
=
sup
f ∈C
c
(X)
{Λf : f ≺ O}
(12.15)
następnie dla dowolnego zbiór E ⊂ X
µ(E)
def
= inf {µ(O) : E ⊂ O ∈ τ } .
(12.16)
Następnie definiujemy rodziny podzbiorów zbioru X
H
F
def
=
E ⊂ X : µ(E) < +∞ ∧ µ(E) = sup
K∈X
c
{µ(K) : K ⊂ E}
,
(12.17)
H
def
= {E ⊂ X : ∀
K∈X
c
E ∩ K ∈ H
F
} .
(12.18)
Lemat 12.1 Funkcja zbioru µ jest monotoniczna.
Lemat 12.2 Dla dowolnego E ⊂ X jeżeli µ(E) = 0, to E ∈ H
F
∩ H.
Lemat 12.3 (Subaddytywność względem zbiorów otwartych)
∀
n∈N
∀
{O
1
,...,O
n
}⊂τ
µ(
n
[
k=1
O
k
) ¬
n
X
k=1
µ(O
k
).
(12.19)
Lemat 12.4 (σ - subaddytywność)
∀
{E
n
:n∈N}⊂2
X
µ(
∞
[
n=1
E
n
) ¬
∞
X
n=1
µ(E
n
).
(12.20)
Lemat 12.5
∀
K∈X
c
K ∈ H
F
∧ µ(K) =
inf
f ∈C
c
(X)
{Λf : K ≺ f }
(12.21)
Lemat 12.6
∀
O∈τ
µ(O) = sup
K∈X
c
{µ(K) : K ⊂ O}
(12.22)
60
Lemat 12.7
∀
O∈τ
µ(O) < +∞ ⇒ O ∈ H
F
.
(12.23)
Lemat 12.8 (Addytywność względem zbiorów zwartych)
∀
n∈N
∀
{K
1
,...,K
n
}⊂X
C
(∀
1¬i<j¬n
K
i
∩ K
j
= ∅) ⇒ µ(
n
[
k=1
K
k
) =
n
X
k=1
µ(K
k
).
(12.24)
Lemat 12.9 (σ - addytywność dla zbiorów z H
F
.)
∀
{E
n
:n∈N}⊂H
F
(∀
1¬i<j¬n
E
i
∩ E
j
= ∅) ⇒ µ(
∞
[
n=1
E
n
) =
∞
X
n=1
µ(E
n
).
(12.25)
Ponadto, jeżeli µ(
∞
S
n=1
E
n
) < +∞, to
∞
S
n=1
E
n
∈ H
F
.
Lemat 12.10
∀
E∈H
F
∀
ε>0
∃
K∈X
C
∃
O∈τ
K ⊂ E ⊂ O ∧ µ(O \ K) < ε.
(12.26)
Lemat 12.11
∀
{A,B}⊂H
F
A \ B ∈ H
F
∧ A ∩ B ∈ H
F
∧ A ∪ B ∈ H
F
.
(12.27)
Lemat 12.12 H jest σ - ciałem zawierającym σ - ciało zbiorów borelowskich
Lemat 12.13
H
F
= {E ∈ H : µ(E) < +∞} .
(12.28)
Lemat 12.14 µ jest miarą na H.
Lemat 12.15
∀
f ∈C
c
(X)
Λf =
Z
X
f dµ.
(12.29)
12.4
Zadania
Zadanie 12.1 Udowodnić lemat Uryhsona (twierdzenie 12.1).
Zadanie 12.2 Udowodnić twierdzenie o rozkładzie jedności (twierdzenie 12.2).
61
Wykład 13
2003.05.27 /2h
13.1
Dowód twierdzenia Riesza o reprezentacji
13.2
Zadania
Zadanie 13.1 Udowodnic lemat 12.11.
62
Wykład 14
2003.06.03 /2h
14.1
Dokończenie dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji
14.2
Miary borelowskie. Regularność miar borelowskich.
Niech (X, τ ) będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.
Definicja 14.1 Miarę określoną na σ - ciele zbiorów borelowskich lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa nazywamy miarą
borelowską.
1
Definicja 14.2 Zbiór borelowski A nazywamy zewnętrznie regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy
µ(A) = inf {µ(O) : A ⊂ O ∧ O ∈ τ } .
(14.1)
Zbiór borelowski A nazywamy wewnętrznie regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy
µ(A) = sup {µ(K) : K ⊂ A ∧ K ∈ X
c
} .
(14.2)
Definicja 14.3 Miarę borelowską nazywamy regularną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór borelowski jest wewnętrznie i
zewnętrznie regularny.
Definicja 14.4 Przestrzeń topologiczną (X, τ ) nazywamy σ - zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przeliczalną sumą
zbiorów zwartych.
Podzbiór A przestrzeni topologicznej nazywamy σ - zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A jest przeliczalną sumą zbiorów
zwartych.
Twierdzenie 14.1 Niech (X, τ ) będzie lokalnie zwartą, σ - zwartą przestrzenią Hausdorffa, a µ miarą określoną na H z
twierdzenia Riesza (twierdzenie 12.3). Wówczas σ - ciało H i miara µ mają następujące własności
(i) Jeżeli A ∈ H i ε > 0, to istnieje zbiór domknięty F oraz zbiór otwarty O takie, że F ⊂ A ⊂ O oraz µ(O \ F ) < ε.
(ii) µ jest miarą regularną.
(iii) Jeżeli A ∈ H, to istnieją zbiory F ∈ F
σ
i G ∈ G
δ
takie, że F ⊂ A ⊂ G oraz µ(G \ F ) = 0.
2
14.3
Zadania
1
Nie musi być to miara. Może być to funkcja zbioru.
2
F
σ
jest to rodzina zbiorów, z których każdy jest sumą przeliczalną zbiorów domkniętych, a G
δ
jest to rodzina zbiorów, z których każdy jest
iloczynem przeliczalnym zbiorów otwartych.
63
Wykład 15
2003.06.10 /2h
15.1
Regularność miar borelowskich c.d.
Twierdzenie 15.1 Niech (X, τ ) będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa taką, że każdy jej zbiór otwarty jest σ -
zwarty. Wtedy każda miara borelowska λ na (X, B(X)) spełniająca warunek
∀
K∈X
C
λ(K) < +∞
(15.1)
jest regularna.
15.2
Twierdzenie Łuzina
Niech teraz (X, τ ) będzie lokalnie zwartą przestrzenia Hausdorffa, zaś (X, H, µ) przestrzenią z miarą.
Twierdzenie 15.2 (Łuzina Dowód na ocenę 5.0)
1
Niech f będzie funkcją zespoloną H - mierzalna. Niech A ∈ H będzie
taki, że µ(A) < +∞ oraz f (x) = 0 dla x 6∈ A. Wówczas
∀
ε>0
∃
g∈C
c
(X)
µ({x ∈ X : f (x) 6= g(x)} = 0.
(15.2)
Ponadto g można tak wybrać, aby
sup
x∈X
|g(x)| ¬ sup
x∈X
|f (x)|
(15.3)
15.3
Zadania
1
Dowód można znaleźć w książce: W. Rudina Analiza rzeczywista i zespolona.
64
Wykład 16
Egzamin – semestr letni
16.1
Lista zagadnień na egzamin ustny
1. Własności abstrakcyjne całki Lebesgue’a.
(a) Lematy z pierwszego wykładu.
(b) Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej.
(c) Twierdzenie o całce z sumy funkcji.
(d) Wariant twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej.
(e) Lemat Fatou i wniosek z niego.
(f) Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.
2. Całka Lebesgue’a zależna od parametru.
(a) Twierdzenie o ciągłości całki zależnej od parametru.
(b) Różniczkowanie względem parametru.
3. Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue’a.
4. Miary produktowe. Twierdzenie Fubiniego.
(a) x
1
- i x
2
- przekroje zbiorów i funkcji. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności miary produktowej.
(b) Twierdzenie Fubiniego i wniosek z niego.
5. Przestrzenie L
p
(X, H, µ) i L
p
(X, H, µ) dla p ∈ [0, +∞].
(a) Funkcje wypukłe.
1
(b) Nierówność Younga i H¨
oldera.
(c) Nierówność Minkowskiego.
(d) Nierówność Markowa.
(e) Nierówność Jensena i wniosek z niej.
(f) Pojęcie przestrzeni L
p
(X, H, µ). Przestrzeń L
p
(X, H, µ) jako przestrzeń wektorowa.
(g) Pojęcie przestrzeni L
p
(X, H, µ). Przestrzeń L
p
(X, H, µ) wyposażona w pseudonormą.
(h) Zależności między przestrzeniami L
p
(X, H, µ) i L
q
(X, H, µ) dla p, q ∈ [1, +∞[.
(i) Zbieżność według p - tej potęgi. Ciągi Cauchy’ego.
(j) Twierdzenie o zbieżności ciąg Cauchy’ego w L
p
(X, H, µ) dla p ∈ [1, +∞].
1
Obowiązuje znajomość faktów związanych z tym działem.
65
(k) Twierdzenie, że każdy ciąg Cauchy’ego zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie.
(l) Twierdzenie o gęstości funkcji prostych.
(m) Twierdzenie o gęstości funkcji prostych określonych na półpierścieniu generującym σ - ciało.
(n) Przestrzeni Banacha, Hilberta, Fr´
echeta.
2
(o) Przestrzenie L
p
(X, H, µ) dla p ∈ [0, +∞] jako przestrzeni ilorazowe.
(p) Przestrzenie L
p
(X, H, µ) dla p ∈ [0, +∞] jako Banacha, Hilberta i Fr´
echeta.
6. Analiza miar.
(a) Funkcja zbioru i jej własności.
(b) Ciągłość z góry i z dołu funkcji zbioru.
(c) Rozkład Hahna względem funkcji zbioru.
(d) Rozkład Jordana funkcji zbioru. Wariancja całkowita funkcji zbioru.
(e) Miary i funkcje zbioru absolutnie ciągłe i osobliwe.
(f) Własności miar i funkcji zbioru absolutnie ciągłych i osobliwych.
(g) Twierdzenie Radona - Nikodyma. Pochodna Radona - Nikodyma.
(h) Twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie kanonicznym.
7. Topologia raz jeszcze.
(a) Lemat Urysohna – ocena 5.0 (dowód)
3
.
(b) Twierdzenie o rozkładzie jedności – ocena 5.0 (dowód)
4
.
8. Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału liniowego ciągłego.
5
9. Miary borelowskie. Regularność miar borelowskich.
(a) Miary borelowskie. Miary borelowskie regularne.
(b) Twierdzenie o własności miary z twierdzenia Riesza o reprezentacji w przestrzeni σ - zwartej.
(c) Twierdzenie o regularności miar borelowskich dla lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa, w której każdy zbiór
otwarty jest σ - zwarty.
10. Ciągłość funkcji H - mierzalnych – twierdzenie Łuzina.
2
Obowiązuje znajomość faktów związanych z tym działem.
3
Mile widziany dowód, w przeciwnym wypadku tylko sama znajomość pro forma, czyli nie jako pytanie
4
Mile widziany dowód, w przeciwnym wypadku tylko sama znajomość pro forma, czyli nie jako pytanie
5
Pytanie to będzie wpodzielane na grupy lematów. Do każdego z nich pierwsze definicje dowodu obowiązują.
66
16.2
Zadania z egzaminu pisemnego
1. Policzyć z definicji całkę Lebesgue’a funkcji, która zadana jest wzorem f (x) =
1
dla x =
1
n
∧ n 3 ∧ n ∈ N
−1
dla x = 1 −
1
n
∧ n 3 ∧ n ∈ N
0
w p.p.
na przedziale [0, 1].
5pkt/40pkt
2. Policzyć z definicji całkę Lebesgue’a z funkcji f = 1 − χ
Q∩[0,1]
na przedziale [0, 1].
5pkt/40pkt
3. Wyznaczyć granicę ciągu całek
+∞
R
0
x
n
x
n
+1
e
−|x|
dx.
5pkt/40pkt
4. Wyznaczyć granicę ciągu całek
+∞
R
0
1 +
x
n
n
e
−
x
2
dx.
5pkt/40pkt
5. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą nieujemną i unormowaną. Niech 1 ¬ p < r < +∞. Udowodnić, że wtedy
zachodzi inkluzja L
r
(X, H, µ) ⊆ L
p
(X, H, µ).
5pkt/40pkt
6. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą nieujemną i skończoną. Niech f będzie funkcją H - mierzalną oraz całkowalną
względem tej miary. Udowodnić, że jeżeli funkcja f spełnia dla dowolnego A ∈ H warunek
R
A
f dµ = µ(A), to mamy
wtedy f = 1(modµ).
5pkt/40pkt
7. Niech dane będą miary µ i λ na przestrzeni mierzalnej (X, H), przy czym miara λ jest skończona. Udowodnić, że
ν = µ − λ jest funkcją zbioru na (X, H).
5pkt/40pkt
8. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią mierzalną z miara nieujemną µ, zaś ν
1
i ν
2
funkcjami zbioru na H. Udowodnić, że
jeżeli ν
1
µ i ν
2
µ, to ν
1
+ ν
2
µ.
5pkt/40pkt
67
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
5 - Konstrukcja całki względem miary, Analiza matematyczna
Teoria miary i całki Lebesgue a
miary wspolzaleznosci2
Odpowiedzi calki biegunowe id Nieznany
LISTA 14 Całki krzywoliniowe
Miary efektywnosci RTS3 id 2984 Nieznany
pochodne i całki
CALKI teoria
całki, szeregi zadania z kolosa wykład 21 03 2009
Calki i zakres 2012
miary asymetrii, Socjologia I rok
Miary zróżnicowania, asymetrii, koncentracji (9 03)
CAŁKI
20 Miary aktywności gospodarczej w skali makro
2 Zadania z a struktury (miary przecietne)
calki teoria zadania
Calki wzory podstawowe zadania
więcej podobnych podstron