Analiza funkcjonalna - wykład 6
Twierdzenie Hahna-Banacha
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Analiza funkcjonalna - wykład 6
Twierdzenie Hahna-Banacha
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Spis treści
1
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Funkcjonał p określony w przestrzeni liniowej X rzeczywistej lub
zespolonej, o wartościach rzeczywistych, nazywamy funkcjonałem
Banacha, gdy spełnia warunki
1
p(x + y) 6 p(x) + p(y), gdy x ∈ X, y ∈ X;
2
p(αx) = αp(x), gdy x ∈ X, α > 0.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie
Twierdzenie
(Twierdzenie Hahna (1927) - Banacha (1929), o rozszerzaniu
funkcjonałów liniowych)
Niech X
0
będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej
rzeczywistej X oraz niech p będzie funkcjonałem Banacha
określonym w X.
Dla każdego funkcjonału liniowego f
0
określonego w X
0
i spełniającego nierówność f
0
(x)
6 p(x) dla x ∈ X
0
, istnieje
funkcjonał liniowy f określony w przestrzeni X i taki, że
1
f (x) = f
0
(x) dla x ∈ X
0
;
2
f (x) 6 p(x) dla x ∈ X.
Zofia Lewandowska
Uwaga
Funkcjonał f nazywamy rozszerzeniem funkcjonału liniowego f
0
z podprzestrzeni X
0
na przestrzeń X.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie
Twierdzenie
(Twierdzenie Hahna-Banacha dla funkcjonałów liniowych ciągłych)
Niech X
0
będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej
(X, k · k), rzeczywistej lub zespolonej, oraz niech f
0
będzie
funkcjonałem liniowym ciągłym nad (X
0
, k · k) o normie kf
0
k.
Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły f nad (X, k · k)
o normie kf k, że
1
f (x) = f
0
(x) dla x ∈ X
0
;
2
kf k = kf
0
k.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Funkcjonał p : X → R, p(x) = kf
0
k · kxk, x ∈ X, jest
funkcjonałem Banacha.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Funkcjonał p : X → R, p(x) = kf
0
k · kxk, x ∈ X, jest
funkcjonałem Banacha.
Załóżmy, że przestrzeń X jest rzeczywista.
Z założenia f
0
jest funkcjonałem ograniczonym, więc
|f
0
(x)|
6 kf
0
k · kxk = p(x),
x ∈ X
0
f
0
(x)
6 |f
0
(x)|
6 p(x),
x ∈ X
0
f
0
(x)
6 p(x),
x ∈ X
0
.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Na podstawie twierdzenia Hahna-Banacha o rozszerzaniu funkcjo-
nałów liniowych stosowanego do funkcjonału liniowego f
0
stwier-
dzamy, że istnieje taki funkcjonał liniowy f w X, że
1
f (x) = f
0
(x), x ∈ X
0
;
2
f (x) 6 p(x) = kf
0
k · kxk, x ∈ X.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Stąd biorąc −x zamiast x otrzymujemy
f (x) = −f (−x) > −kf
0
k · k − xk = −kf
0
k · kxk.
Zatem
|f (x)| 6 kf
0
k · kxk,
x ∈ X.
Funkcjonał liniowy f jest więc ograniczony, a zatem ciągły w X,
na podstawie twierdzenia Banacha.
Ponadto kf k 6 kf
0
k.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Z drugiej strony, z definicji normy w X
?
wynika, że dla każdego
ε > 0 istnieje taki element x
ε
∈ X
0
, że
kx
ε
k = 1
|f
0
(x
ε
)|
> kf
0
k − ε.
Stąd
|f (x
ε
)| = |f
0
(x
ε
)|
> kf
0
k − ε,
więc
kf k =
sup
x;kxk=1
|f (x)| > |f(x
ε
)|
> kf
0
k − ε.
Wobec dowolności ε otrzymujemy
kf k > kf
0
k.
Ostatecznie
kf k = kf
0
k.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Załóżmy teraz, że przestrzeń X jest zespolona.
Niech x
0
∈ X
0
oraz f
1
(x
0
) oraz f
2
(x
0
) będą odpowiednio częścią
rzeczywistą i częścią urojoną liczby f
0
(x
0
),
tj. f
0
(x
0
) = f
1
(x
0
) + if
2
(x
0
).
Wtedy f
1
jest funkcjonałem liniowym nad rzeczywistą przestrze-
nią liniową X
0
(przestrzeń liniowa zespolona X jest równocześnie
przestrzenią liniową rzeczywistą).
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Z twierdzenia Hahna-Banacha o rozszerzaniu funkcjonałów linio-
wych istnieje funkcjonał liniowy rzeczywisty g
1
nad przestrzenią rze-
czywistą X, że
g
1
(x
0
) = f
1
(x
0
), x
0
∈ X
0
oraz
g
1
(x)
6 kf
0
k · kxk, x ∈ X.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Oznaczmy g(x) = g
1
(x) − ig
1
(ix). Wykażemy, że g jest funkcjona-
łem liniowym zespolonym nad przestrzenią zespoloną X.
g(x
1
+ x
2
) = g(x
1
) + g(x
2
)
g(ax) = ag(x), a ∈ R
g(ix) = ig(x), x ∈ X
g(ax) = ag(x), x ∈ X, a ∈ C
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Niech x
0
∈ X
0
.
Wówczas
f
0
(ix
0
) = if
1
(x
0
) − f
2
(x
0
)
Stąd f
2
(x
0
) jest częścią rzeczywistą liczby −f
0
(ix
0
),
czyli
f
2
(x
0
) = −f
1
(ix
0
).
Zatem
f
0
(x
0
) = f
1
(x
0
) − if
1
(ix
0
) = g
1
(x
0
) − ig
1
(ix
0
) = g(x
0
), x
0
∈ X
0
.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód
Wykażemy, że funkcjonał liniowy g jest ograniczony w X.
Niech x ∈ X, g(x) = re
iΘ
, przy r > 0, Θ ∈ R.
Wtedy
|g(x)| = r = e
−iΘ
g(x) = g(e
−iΘ
x) =
= g
1
(e
−iΘ
x) 6 kf
0
k · ke
−iΘ
xk =
= kf
0
k · kxk
Zatem funkcjonał liniowy g jest ograniczony oraz kgk 6 kf
0
k.
Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym pokazujemy nierówność
przeciwną.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie
Twierdzenie
(o wydobywaniu normy za pomocą funkcjonałów)
Dla każdego elementu x
0
6= θ przestrzeni unormowanej (X, k · k)
istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły f nad X, że f (x
0
) = kx
0
k
oraz kf k = 1.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie
Twierdzenie
(o wydobywaniu normy za pomocą funkcjonałów)
Dla każdego elementu x
0
6= θ przestrzeni unormowanej (X, k · k)
istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły f nad X, że f (x
0
) = kx
0
k
oraz kf k = 1.
Uwaga
Dla każdej przestrzeni unormowanej nie redukującej się do punktu
θ istnieje niezerowy funkcjonał liniowy ciągły nad tą przestrzenią.
Zofia Lewandowska