analizaf 6 id 61959 Nieznany (2)

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Analiza funkcjonalna - wykład 6

Twierdzenie Hahna-Banacha

Zofia Lewandowska

I Matematyka SDS

specjalizacja nauczycielska

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Spis treści

1

Twierdzenie Hahna-Banacha

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Definicja

Definicja

Funkcjonał p określony w przestrzeni liniowej X rzeczywistej lub
zespolonej, o wartościach rzeczywistych, nazywamy funkcjonałem
Banacha, gdy spełnia warunki

1

p(x + y) 6 p(x) + p(y), gdy x ∈ X, y ∈ X;

2

p(αx) = αp(x), gdy x ∈ X, α > 0.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie

Twierdzenie

(Twierdzenie Hahna (1927) - Banacha (1929), o rozszerzaniu
funkcjonałów liniowych)
Niech X

0

będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej

rzeczywistej X oraz niech p będzie funkcjonałem Banacha
określonym w X.
Dla każdego funkcjonału liniowego f

0

określonego w X

0

i spełniającego nierówność f

0

(x)

6 p(x) dla x ∈ X

0

, istnieje

funkcjonał liniowy f określony w przestrzeni X i taki, że

1

f (x) = f

0

(x) dla x ∈ X

0

;

2

f (x) 6 p(x) dla x ∈ X.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Uwaga

Funkcjonał f nazywamy rozszerzeniem funkcjonału liniowego f

0

z podprzestrzeni X

0

na przestrzeń X.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie

Twierdzenie

(Twierdzenie Hahna-Banacha dla funkcjonałów liniowych ciągłych)
Niech X

0

będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej

(X, k · k), rzeczywistej lub zespolonej, oraz niech f

0

będzie

funkcjonałem liniowym ciągłym nad (X

0

, k · k) o normie kf

0

k.

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły f nad (X, k · k)
o normie kf k, że

1

f (x) = f

0

(x) dla x ∈ X

0

;

2

kf k = kf

0

k.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Funkcjonał p : X → R, p(x) = kf

0

k · kxk, x ∈ X, jest

funkcjonałem Banacha.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Funkcjonał p : X → R, p(x) = kf

0

k · kxk, x ∈ X, jest

funkcjonałem Banacha.

Załóżmy, że przestrzeń X jest rzeczywista.
Z założenia f

0

jest funkcjonałem ograniczonym, więc

|f

0

(x)|

6 kf

0

k · kxk = p(x),

x ∈ X

0

f

0

(x)

6 |f

0

(x)|

6 p(x),

x ∈ X

0

f

0

(x)

6 p(x),

x ∈ X

0

.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Na podstawie twierdzenia Hahna-Banacha o rozszerzaniu funkcjo-
nałów liniowych stosowanego do funkcjonału liniowego f

0

stwier-

dzamy, że istnieje taki funkcjonał liniowy f w X, że

1

f (x) = f

0

(x), x ∈ X

0

;

2

f (x) 6 p(x) = kf

0

k · kxk, x ∈ X.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Stąd biorąc −x zamiast x otrzymujemy

f (x) = −f (−x) > −kf

0

k · k − xk = −kf

0

k · kxk.

Zatem

|f (x)| 6 kf

0

k · kxk,

x ∈ X.

Funkcjonał liniowy f jest więc ograniczony, a zatem ciągły w X,
na podstawie twierdzenia Banacha.
Ponadto kf k 6 kf

0

k.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Z drugiej strony, z definicji normy w X

?

wynika, że dla każdego

ε > 0 istnieje taki element x

ε

∈ X

0

, że

kx

ε

k = 1

|f

0

(x

ε

)|

> kf

0

k − ε.

Stąd

|f (x

ε

)| = |f

0

(x

ε

)|

> kf

0

k − ε,

więc

kf k =

sup

x;kxk=1

|f (x)| > |f(x

ε

)|

> kf

0

k − ε.

Wobec dowolności ε otrzymujemy

kf k > kf

0

k.

Ostatecznie

kf k = kf

0

k.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Załóżmy teraz, że przestrzeń X jest zespolona.
Niech x

0

∈ X

0

oraz f

1

(x

0

) oraz f

2

(x

0

) będą odpowiednio częścią

rzeczywistą i częścią urojoną liczby f

0

(x

0

),

tj. f

0

(x

0

) = f

1

(x

0

) + if

2

(x

0

).

Wtedy f

1

jest funkcjonałem liniowym nad rzeczywistą przestrze-

nią liniową X

0

(przestrzeń liniowa zespolona X jest równocześnie

przestrzenią liniową rzeczywistą).

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Z twierdzenia Hahna-Banacha o rozszerzaniu funkcjonałów linio-
wych istnieje funkcjonał liniowy rzeczywisty g

1

nad przestrzenią rze-

czywistą X, że

g

1

(x

0

) = f

1

(x

0

), x

0

∈ X

0

oraz

g

1

(x)

6 kf

0

k · kxk, x ∈ X.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Oznaczmy g(x) = g

1

(x) − ig

1

(ix). Wykażemy, że g jest funkcjona-

łem liniowym zespolonym nad przestrzenią zespoloną X.

g(x

1

+ x

2

) = g(x

1

) + g(x

2

)

g(ax) = ag(x), a ∈ R

g(ix) = ig(x), x ∈ X

g(ax) = ag(x), x ∈ X, a ∈ C

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Niech x

0

∈ X

0

.

Wówczas

f

0

(ix

0

) = if

1

(x

0

) − f

2

(x

0

)

Stąd f

2

(x

0

) jest częścią rzeczywistą liczby −f

0

(ix

0

),

czyli

f

2

(x

0

) = −f

1

(ix

0

).

Zatem

f

0

(x

0

) = f

1

(x

0

) − if

1

(ix

0

) = g

1

(x

0

) − ig

1

(ix

0

) = g(x

0

), x

0

∈ X

0

.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha - dowód

Wykażemy, że funkcjonał liniowy g jest ograniczony w X.
Niech x ∈ X, g(x) = re

iΘ

, przy r > 0, Θ R.

Wtedy

|g(x)| = r = e

−iΘ

g(x) = g(e

−iΘ

x) =

= g

1

(e

−iΘ

x) 6 kf

0

k · ke

−iΘ

xk =

= kf

0

k · kxk

Zatem funkcjonał liniowy g jest ograniczony oraz kgk 6 kf

0

k.

Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym pokazujemy nierówność
przeciwną.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie

Twierdzenie

(o wydobywaniu normy za pomocą funkcjonałów)
Dla każdego elementu x

0

6= θ przestrzeni unormowanej (X, k · k)

istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły f nad X, że f (x

0

) = kx

0

k

oraz kf k = 1.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6

background image

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie

Twierdzenie

(o wydobywaniu normy za pomocą funkcjonałów)
Dla każdego elementu x

0

6= θ przestrzeni unormowanej (X, k · k)

istnieje taki funkcjonał liniowy ciągły f nad X, że f (x

0

) = kx

0

k

oraz kf k = 1.

Uwaga

Dla każdej przestrzeni unormowanej nie redukującej się do punktu
θ istnieje niezerowy funkcjonał liniowy ciągły nad tą przestrzenią.

Zofia Lewandowska

Analiza funkcjonalna - wykład 6


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
analizatory id 62011 Nieznany (2)
analizaf 5 id 61957 Nieznany (2)
analizaf 3 id 61954 Nieznany (2)
analiza2 id 61920 Nieznany (2)
analizaf 1 id 61953 Nieznany (2)
analizaDyskryminacyjna id 61950 Nieznany (2)
analiza 4 id 59704 Nieznany (2)
analiza 5 id 59707 Nieznany (2)
analizaf 4 id 61955 Nieznany (2)
analizaf 8 id 61961 Nieznany (2)
analizaWyklad 3 1 id 62026 Nieznany
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)

więcej podobnych podstron