Document Outline

Spis treści

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym
Twierdzenie o operatorze odwrotnym
Twierdzenie o domkniętym wykresie

Zofia Lewandowska

Twierdzenie 1

(zasada jednostajnej ograniczoności)
Niech (A

)

n∈N

będzie ciągiem operatorów liniowych ograniczonych

określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni
unormowanej Y .
Ciąg (kA

(x)k)

n∈N

jest ograniczony dla każdego x ∈ X wtedy

i tylko wtedy, gdy ciąg norm (kA

n∈N

jest ograniczony.

Zofia Lewandowska

Twierdzenie 2

Jeżeli (A

)

n∈N

jest ciągiem operatorów liniowych ograniczonych

określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni
unormowanej Y i ciąg (A

(x))

n∈N

jest zbieżny w Y dla każdego

x ∈ X, to operator A zdefiniowany równością

Ax = lim

n→∞

(x)

jest operatorem liniowym ograniczonym.

Zofia Lewandowska

Przykład 1

Istotność założenia zupełności przestrzeni X
w twierdzeniu Banacha-Steinhausa

Rozważmy przestrzeń m

wszystkich ciągów (t

)

n∈N

, których tylko

skończona ilość wyrazów jest różna od zera z normą

k x k=

∞

n=1

1
2

gdzie x = (t

)

n∈N

∈ m

Ustalmy n ∈ N. Określmy A

: m

→ R wzorem

(x) =

j=1

Wówczas ciąg (k A

n∈N

nie jest ograniczony.

Zofia Lewandowska

Definicja

Zbiór A elementów przestrzeni unormowanej X nazywamy liniowo
gęstym w przestrzeni X, gdy zbiór X

wszystkich kombinacji

liniowych elementów zbioru A jest gęsty w X.

Zofia Lewandowska

Przykłady

Zbiory liniowo gęste

Zbiór A = {e

= (1, 0, 0, . . .), e

= (0, 1, 0, . . .), . . .} jest

liniowo gęsty w c

Zbiór A = {e

= (1, 0, 0, . . .), e

= (0, 1, 0, . . .), . . .} jest

liniowo gęsty w l

, p > 1.

Zbiór A = {e

= (1, 1, 1, . . .), e

= (1, 0, 0, . . .),

= (0, 1, 0, . . .), . . .} jest liniowo gęsty w c.

Zbiór A = {e

= (1, 0, . . . , 0

}

), e

= (0, 1, 0, . . . , 0

}

), . . . ,

= (0, 0, . . . , 0, 1

}

)} jest liniowo gęsty w l

, p  1.

Zbiór A = {1, t, t

, t

, . . .} jest liniowo gęsty w C[a, b].

Zofia Lewandowska

Twierdzenie 3

Niech W będzie zbiorem liniowo gęstym w przestrzeni Banacha X
i niech (A

)

n∈N

będzie ciągiem operatorów liniowych

ograniczonych z przestrzeni X w przestrzeń Banacha Y .
Ciąg (A

(x))

n∈N

jest zbieżny w Y dla każdego x ∈ X wtedy

i tylko wtedy, gdy jest zbieżny dla każdego x ∈ W oraz ciąg norm
(kA

n∈N

jest ograniczony.

Zofia Lewandowska

Twierdzenie 4

Jeżeli ciąg (A

)

n∈N

operatorów liniowych ograniczonych

z przestrzeni Banacha X w przestrzeń Banacha Y jest zbieżny w
zbiorze W liniowo gęstym w X do operatora liniowego
ograniczonego A z X w Y oraz ciąg norm (kA

n∈N

jest

ograniczony, to A

x −→ Ax w Y dla każdego x ∈ X oraz

kAk 6 sup

Zofia Lewandowska

Przykład 2

Istotność założenia zupełności przestrzeni Y
w twierdzeniu Banacha-Steinhausa

Rozważmy przestrzeń X = l

oraz Y = m

wszystkich ciągów

)

n∈N

, których tylko skończona ilość wyrazów jest różna od zera

z normą

k x k=

∞

n=1

1
2

gdzie x = (t

)

n∈N

∈ m

Zofia Lewandowska

Przykład 2

Istotność założenia zupełności przestrzeni Y
w twierdzeniu Banacha-Steinhausa

Ustalmy n ∈ N. Określmy A

: X → Y wzorem

(x) =





j=1

, 0, 0, . . .





Wówczas ciąg (A

(x))

n∈N

nie jest zbieżny dla każdego x ∈ X.

Zofia Lewandowska

Twierdzenie o operatorze odwrotnym
Twierdzenie o domkniętym wykresie

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Załóżmy, że U i V są otwartymi kulami jednostkowymi
w przestrzeniach Banacha, odpowiednio, X i Y .
Wówczas dla każdego ograniczonego przekształcenia liniowego A
przestrzeni X na Y istnieje liczba dodatnia δ taka, że

δV ⊂ A(U ).

Zofia Lewandowska

Twierdzenie o operatorze odwrotnym
Twierdzenie o domkniętym wykresie

Wnioski

Wniosek 1

Obraz każdej kuli otwartej w X o środku w pewnym punkcie x

zawiera pewną kulę otwartą w Y o środku w punkcie A(x

Zofia Lewandowska

Twierdzenie o operatorze odwrotnym
Twierdzenie o domkniętym wykresie

Wnioski

Wniosek 1

Obraz każdej kuli otwartej w X o środku w pewnym punkcie x

zawiera pewną kulę otwartą w Y o środku w punkcie A(x

Wniosek 2

Każdy operator liniowy ograniczony z przestrzeni Banacha X na
przestrzeń Banacha Y jest odwzorowaniem otwartym, (tzn. obraz
dowolnego zbioru otwartego w X jest zbiorem otwartym w Y ).

Zofia Lewandowska

Twierdzenie 1

Niech X, Y będą przestrzeniami liniowymi, A operatorem liniowym
z X w Y . Operator A jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy

Ax = θ =⇒ x = θ.

Zofia Lewandowska

Twierdzenie 2

Niech X, Y będą przestrzeniami liniowymi, A operatorem
odwracalnym określonym na X o wartościach w Y . Jeżeli operator
A jest liniowy, to operator odwrotny A

−1

jest też liniowy.

Zofia Lewandowska

Twierdzenie 3

Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy
A : X −→ Y ma ciągły operator odwrotny wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje liczba dodatnia m taka, że dla każdego x ∈ X
prawdziwa jest nierówność

kAxk > m · kxk.

Zofia Lewandowska