Analiza funkcjonalna - wykład 3
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Iloczyn skalarny
Definicja
Niech X będzie przestrzenią liniową rzeczywistą lub zespoloną.
Funkcję (·|·) określoną na X × X o wartościach w K nazywamy
iloczynem skalarnym w przestrzeni X, jeżeli spełnia dla
x, y, x
1
, x
2
∈ X, α ∈ K następujące warunki:
(U1)
(x|y) = (y|x), gdzie (y|x) oznacza liczbę sprzężoną do (y|x);
(U2)
(αx|y) = α(x|y);
(U3)
(x
1
+ x
2
|y) = (x
1
|y) + (x
2
|y);
(U4)
(Θ|Θ) = 0 oraz (x|x) > 0, gdy x 6= Θ.
Zofia Lewandowska
Własności iloczynu skalarnego
1
Ze względu na pierwszą zmienną iloczyn skalarny jest
przekształceniem liniowym.
2
(x|αy) = α(x|y), x, y ∈ X, α ∈ K;
3
(x|y
1
+ y
2
) = (x|y
1
) + (x|y
2
), x, y
1
, y
2
∈ X;
4
(x|Θ) = (Θ|x) = 0, x ∈ X;
5
Dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi nierówność Schwarza
|(x|y)|
2
6 (x|x)(y|y).
6
W nierówności Schwarza zachodzi równość
|(x|y)|
2
= (x|x)(y|y)
wtedy i tylko wtedy, gdy elementy x i y są liniowo zależne.
Zofia Lewandowska
Własności iloczynu skalarnego
1
Ze względu na pierwszą zmienną iloczyn skalarny jest
przekształceniem liniowym.
2
(x|αy) = α(x|y), x, y ∈ X, α ∈ K;
3
(x|y
1
+ y
2
) = (x|y
1
) + (x|y
2
), x, y
1
, y
2
∈ X;
4
(x|Θ) = (Θ|x) = 0, x ∈ X;
5
Dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi nierówność Schwarza
|(x|y)|
2
6 (x|x)(y|y).
6
W nierówności Schwarza zachodzi równość
|(x|y)|
2
= (x|x)(y|y)
wtedy i tylko wtedy, gdy elementy x i y są liniowo zależne.
Zofia Lewandowska
Własności iloczynu skalarnego
1
Ze względu na pierwszą zmienną iloczyn skalarny jest
przekształceniem liniowym.
2
(x|αy) = α(x|y), x, y ∈ X, α ∈ K;
3
(x|y
1
+ y
2
) = (x|y
1
) + (x|y
2
), x, y
1
, y
2
∈ X;
4
(x|Θ) = (Θ|x) = 0, x ∈ X;
5
Dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi nierówność Schwarza
|(x|y)|
2
6 (x|x)(y|y).
6
W nierówności Schwarza zachodzi równość
|(x|y)|
2
= (x|x)(y|y)
wtedy i tylko wtedy, gdy elementy x i y są liniowo zależne.
Zofia Lewandowska
Własności iloczynu skalarnego
1
Ze względu na pierwszą zmienną iloczyn skalarny jest
przekształceniem liniowym.
2
(x|αy) = α(x|y), x, y ∈ X, α ∈ K;
3
(x|y
1
+ y
2
) = (x|y
1
) + (x|y
2
), x, y
1
, y
2
∈ X;
4
(x|Θ) = (Θ|x) = 0, x ∈ X;
5
Dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi nierówność Schwarza
|(x|y)|
2
6 (x|x)(y|y).
6
W nierówności Schwarza zachodzi równość
|(x|y)|
2
= (x|x)(y|y)
wtedy i tylko wtedy, gdy elementy x i y są liniowo zależne.
Zofia Lewandowska
Własności iloczynu skalarnego
1
Ze względu na pierwszą zmienną iloczyn skalarny jest
przekształceniem liniowym.
2
(x|αy) = α(x|y), x, y ∈ X, α ∈ K;
3
(x|y
1
+ y
2
) = (x|y
1
) + (x|y
2
), x, y
1
, y
2
∈ X;
4
(x|Θ) = (Θ|x) = 0, x ∈ X;
5
Dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi nierówność Schwarza
|(x|y)|
2
6 (x|x)(y|y).
6
W nierówności Schwarza zachodzi równość
|(x|y)|
2
= (x|x)(y|y)
wtedy i tylko wtedy, gdy elementy x i y są liniowo zależne.
Zofia Lewandowska
Własności iloczynu skalarnego
1
Ze względu na pierwszą zmienną iloczyn skalarny jest
przekształceniem liniowym.
2
(x|αy) = α(x|y), x, y ∈ X, α ∈ K;
3
(x|y
1
+ y
2
) = (x|y
1
) + (x|y
2
), x, y
1
, y
2
∈ X;
4
(x|Θ) = (Θ|x) = 0, x ∈ X;
5
Dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi nierówność Schwarza
|(x|y)|
2
6 (x|x)(y|y).
6
W nierówności Schwarza zachodzi równość
|(x|y)|
2
= (x|x)(y|y)
wtedy i tylko wtedy, gdy elementy x i y są liniowo zależne.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni unitarnej
Definicja
Przestrzeń liniową z określonym w niej iloczynem skalarnym
nazywamy przestrzenią unitarną.
Zofia Lewandowska
Norma w przestrzeni unitarnej
Twierdzenie
Jeżeli (·|·) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej X, to
wzór
kxk =
q
(x|x), x ∈ X,
wyznacza normę w X.
Zofia Lewandowska
Norma w przestrzeni unitarnej
Twierdzenie
Jeżeli (·|·) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej X, to
wzór
kxk =
q
(x|x), x ∈ X,
wyznacza normę w X.
Uwaga
Nierówność Schwarza możemy zapisać
|(x|y)| 6 kxk · kyk.
Zofia Lewandowska
Norma w przestrzeni unitarnej
Uwaga
Każda przestrzeń unitarna X jest przestrzenią unormowaną z
normą
kxk =
q
(x|x), x ∈ X.
Zofia Lewandowska
Norma w przestrzeni unitarnej
Uwaga
Każda przestrzeń unitarna X jest przestrzenią unormowaną z
normą
kxk =
q
(x|x), x ∈ X.
Uwaga
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni Hilberta
Definicja
Przestrzeń unitarną zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni Hilberta
Definicja
Przestrzeń unitarną zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.
Uwaga
Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha.
Zofia Lewandowska
Definicja przestrzeni Hilberta
Definicja
Przestrzeń unitarną zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.
Uwaga
Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha.
Uwaga
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Zofia Lewandowska
Przykład
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Prawo równoległoboku
Pytanie
Czy każdą normę można wyznaczyć przy pomocy jakiegoś iloczynu
skalarnego?
Zofia Lewandowska
Przykład
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Prawo równoległoboku
Pytanie
Czy każdą normę można wyznaczyć przy pomocy jakiegoś iloczynu
skalarnego?
Twierdzenie
W przestrzeni unitarnej X spełniona jest równość
kx + yk
2
+ kx − yk
2
= 2
kxk
2
+ kyk
2
dla dowolnych x, y ∈ X.
Zofia Lewandowska
Przykład
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Prawo równoległoboku
Uwaga
W równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest
równa sumie kwadratów długości jego boków.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Przykład przestrzeni unormowanej, która nie jest
przestrzenią unitarną
Przykład
Rozważmy w przestrzeni C[0, 1] funkcje
f (x) = 1, gdy x ∈ [0, 1],
g(x) = x, gdy x ∈ [0, 1].
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Przykład przestrzeni unormowanej, która nie jest
przestrzenią unitarną
Przykład
Rozważmy w przestrzeni C[0, 1] funkcje
f (x) = 1, gdy x ∈ [0, 1],
g(x) = x, gdy x ∈ [0, 1].
Uwaga
Funkcje f, g nie spełniają prawa równoległoboku w przestrzeni
C[0, 1].
Zatem normy Czebyszewa nie można wyznaczyć przez żaden
iloczyn skalarny.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Przykład przestrzeni unormowanej, która nie jest
przestrzenią unitarną
Uwaga
Przestrzeń C[0, 1] nie jest przestrzenią unitarną, zatem nie jest
przestrzenią Hilberta.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Problem
Kiedy normę można wyznaczyć przy pomocy jakiegoś iloczynu ska-
larnego?
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Problem
Kiedy normę można wyznaczyć przy pomocy jakiegoś iloczynu ska-
larnego?
Twierdzenie (P. Jordan - J. von Neumann, 1935)
Jeżeli w przestrzeni unormowanej X prawo równoległoboku
kx + yk
2
+ kx − yk
2
= 2
kxk
2
+ kyk
2
,
spełnione jest dla dowolnych x, y ∈ X, to w przestrzeni X da się
tak określić iloczyn skalarny (·|·), aby była prawdziwa równość:
kxk =
q
(x|x), x ∈ X.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Prawo równoległoboku
Warunki równoważne prawu równoległoboku
400 kryteriów zawiera książka Dana Amira „Characterizations of
inner product spaces”, Verlag 1986.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Szkic dowodu:
p : X × X → K
p(x, y) =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(I)
p(Θ, y) = 0, y ∈ X
(II)
p(x, y) = p(y, x)
(IIIa)
p(z
1
+ z
2
, y) + p(z
1
− z
2
, y) = 2p(z
1
, y)
(IIIb)
p(2z, y) = 2p(z, y)
(III)
p(x
1
+ x
2
, y) = p(x
1
, y) + p(x
2
, y)
(IV)
p(ix, y) = −p(x, iy)
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Iloczyn skalarny:
(x|y) = p(x, y) − ip(ix, y)
Norma:
kxk =
q
(x|x), x ∈ X
Zofia Lewandowska
Twierdzenie P. Jordana - J. von Neumanna
Dowód twierdzenia P. Jordana - J. von Neumanna
Iloczyn skalarny:
(x|y) = p(x, y) − ip(ix, y)
Norma:
kxk =
q
(x|x), x ∈ X
Zofia Lewandowska
Przykłady przestrzeni unitarnych
Model wyjściowy teorii przestrzeni unitarnych:
X - przestrzeń liniowa wszystkich wektorów na płaszczyźnie
ze zwykłym dodawaniem wektorów i mnożeniem przez liczbę,
−
→
a |
−
→
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
,
−
→
a = (a
1
, a
2
),
−
→
b = (b
1
, b
2
).
Zofia Lewandowska
Przykłady przestrzeni unitarnych
Model wyjściowy teorii przestrzeni unitarnych:
X - przestrzeń liniowa wszystkich wektorów na płaszczyźnie
ze zwykłym dodawaniem wektorów i mnożeniem przez liczbę,
−
→
a |
−
→
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
,
−
→
a = (a
1
, a
2
),
−
→
b = (b
1
, b
2
).
Zofia Lewandowska
Przykłady przestrzeni unitarnych
l
2
;
(x|y) =
∞
X
n=1
t
n
· τ
n
,
x = (t
n
)
n∈N
, y = (τ
n
)
n∈N
.
l
2
n
;
(x|y) =
n
X
k=1
t
k
· τ
k
,
x = (t
1
, t
2
, . . . , t
n
), y = (τ
1
, τ
2
, . . . , τ
n
).
Zofia Lewandowska
Przykłady przestrzeni unitarnych
l
2
;
(x|y) =
∞
X
n=1
t
n
· τ
n
,
x = (t
n
)
n∈N
, y = (τ
n
)
n∈N
.
l
2
n
;
(x|y) =
n
X
k=1
t
k
· τ
k
,
x = (t
1
, t
2
, . . . , t
n
), y = (τ
1
, τ
2
, . . . , τ
n
).
Zofia Lewandowska
Przykład przestrzeni unitarnej, która nie jest przestrzenią
Hilberta
Przykład
Przestrzeń m
0
z iloczynem skalarnym
(x|y) =
∞
X
n=1
t
n
· τ
n
,
x = (t
n
)
n∈N
, y = (τ
n
)
n∈N
,
nie jest przestrzenią Hilberta.
Zofia Lewandowska
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
analizatory id 62011 Nieznany (2)
analizaf 5 id 61957 Nieznany (2)
analiza2 id 61920 Nieznany (2)
analizaf 1 id 61953 Nieznany (2)
AnalizaSciezek id 61987 Nieznany (2)
AnalizaSWOT id 61991 Nieznany (2)
analizaf 6 id 61959 Nieznany (2)
analizaDyskryminacyjna id 61950 Nieznany (2)
analiza 4 id 59704 Nieznany (2)
analiza 5 id 59707 Nieznany (2)
analizaf 4 id 61955 Nieznany (2)
analizaf 8 id 61961 Nieznany (2)
analizaWyklad 3 1 id 62026 Nieznany
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron