Analiza funkcjonalna - wykład 8
Szeregi Fouriera w przestrzeni Hilberta
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Twierdzenie 1
Twierdzenie 1
Jeżeli (x
n
)
n∈N
jest układem ortogonalnym w przestrzeni unitarnej
X oraz x =
∞
P
n=1
c
n
x
n
, gdzie (c
n
)
n∈N
jest ciągiem liczbowym, to
c
n
=
(x|x
n
)
kx
n
k
2
, n ∈ N.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Problem
Niech X będzie przestrzenią unitarną, (x
n
)
n∈N
- układem ortogo-
nalnym, x ∈ X.
Wówczas możemy utworzyć szereg
∞
P
n=1
(x|x
n
)
kx
n
k
2
x
n
.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Problem
Niech X będzie przestrzenią unitarną, (x
n
)
n∈N
- układem ortogo-
nalnym, x ∈ X.
Wówczas możemy utworzyć szereg
∞
P
n=1
(x|x
n
)
kx
n
k
2
x
n
.
Problem A
Czy rozwinięcie elementu x względem układu ortogonalnego
(x
n
)
n∈N
jest szeregiem zbieżnym?
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Problem
Niech X będzie przestrzenią unitarną, (x
n
)
n∈N
- układem ortogo-
nalnym, x ∈ X.
Wówczas możemy utworzyć szereg
∞
P
n=1
(x|x
n
)
kx
n
k
2
x
n
.
Problem A
Czy rozwinięcie elementu x względem układu ortogonalnego
(x
n
)
n∈N
jest szeregiem zbieżnym?
Problem B
Czy x jest sumą swego rozwinięcia?
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Definicja
Niech (x
n
)
n∈N
będzie układem ortogonalnym w przestrzeni unitar-
nej X i niech x ∈ X.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Definicja
Niech (x
n
)
n∈N
będzie układem ortogonalnym w przestrzeni unitar-
nej X i niech x ∈ X.
Definicja
Liczby c
n
=
(x|x
n
)
kx
n
k
2
, n ∈ N, nazywamy współczynnikami Fouriera,
ciąg (c
n
)
n∈N
- ciągiem współczynników Fouriera elementu x
względem układu (x
n
)
n∈N
, szereg
∞
P
k=1
c
k
x
k
– szeregiem Fouriera.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 2
(o własności minimum współczynników Fouriera)
Niech elementy x
1
, x
2
, . . . , x
n
, n ∈ N, tworzą układ ortogonalny
w przestrzeni unitarnej X i niech x ∈ X. Funkcja
f (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) =
x −
n
X
k=1
a
k
x
k
2
osiąga wartość najmniejszą wtedy i tylko wtedy, gdy a
1
, a
2
, . . . , a
n
są współczynnikami Fouriera elementu x względem układu (x
n
)
n∈N
,
tj. gdy a
k
= c
k
=
(x|x
k
)
kx
k
k
2
, gdy k = 1, 2, . . . , n.
Przy czym
inf
(a
1
,a
2
,...,a
n
)
x −
n
X
k=1
a
k
x
k
2
= kxk
2
−
n
X
k=1
|c
k
|
2
· kx
k
k
2
Zofia Lewandowska
Wniosek
Nierówność Bessela
Jeżeli (x
n
)
n∈N
jest układem ortogonalnym w przestrzeni unitarnej
X oraz (c
n
)
n∈N
jest ciągiem współczynników Fouriera elementu
x ∈ X względem tego układu, to
∞
X
k=1
|c
k
|
2
· kx
k
k
2
6 kxk
2
Zofia Lewandowska
Wniosek
Nierówność Bessela
Jeżeli (x
n
)
n∈N
jest układem ortogonalnym w przestrzeni unitarnej
X oraz (c
n
)
n∈N
jest ciągiem współczynników Fouriera elementu
x ∈ X względem tego układu, to
∞
X
k=1
|c
k
|
2
· kx
k
k
2
6 kxk
2
Wniosek 2
Dla każdego x z przestrzeni unitarnej X współczynniki Fouriera
względem układu ortonormalnego tworzą szereg sumowalny
z kwadratem.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 3
Twierdzenie 3 (Riesza-Fischera)
Jeżeli (x
n
)
n∈N
jest układem ortogonalnym w przestrzeni Hilberta
X oraz
∞
X
k=1
|c
k
|
2
· kx
k
k
2
< ∞,
gdzie (c
k
)
k∈N
jest ciągiem liczbowym, to istnieje taki element
x ∈ X, że
x =
∞
X
k=1
c
k
x
k
oraz
kxk
2
=
∞
X
k=1
|c
k
|
2
· kx
k
k
2
(równość Parsevala)
Zofia Lewandowska
Wniosek
Wniosek - odpowiedź A
Szereg Fouriera jest zawsze zbieżny w przestrzeni Hilberta.
Zofia Lewandowska
Przykład
Przykład
W l
2
rozważmy układ ortonormalny:
e
2
= (0, 1, 0, . . .),
e
3
= (0, 0, 1, 0, . . .),
. . .,
e
n
= (0, . . . , 0, 1
|
{z
}
n
, 0, . . .),
. . .
Rozwińmy w szereg Fouriera element e
1
.
Zofia Lewandowska
Przykład
Przykład
W l
2
rozważmy układ ortonormalny:
e
2
= (0, 1, 0, . . .),
e
3
= (0, 0, 1, 0, . . .),
. . .,
e
n
= (0, . . . , 0, 1
|
{z
}
n
, 0, . . .),
. . .
Rozwińmy w szereg Fouriera element e
1
.
Wniosek - odpowiedź B
Szereg Fouriera nie musi być zbieżny do elementu x.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 1
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Definicja
Definicja
Układ (x
n
)
n∈N
elementów przestrzeni Hilberta X nazywamy
zupełnym, gdy warunek (x|x
n
) = 0, n ∈ N, pociąga x = Θ.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie 1
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Niech (x
n
)
n∈N
będzie układem ortogonalnym w ośrodkowej prze-
strzeni Hilberta X. Następujące warunki są równoważne:
1
Dla każdego x ∈ X mamy x =
∞
P
n=1
c
n
x
n
, gdzie c
n
=
(x|x
n
)
kx
n
k
2
,
n ∈ N.
2
Układ (x
n
)
n∈N
jest zupełny.
3
Układ (x
n
)
n∈N
jest liniowo gęsty w X.
4
Dla każdego x ∈ X mamy równość Parsevala:
kxk
2
=
∞
P
n=1
|c
n
|
2
· kx
n
k
2
, gdzie c
n
=
(x|x
n
)
kx
n
k
2
, n ∈ N.
5
Dla każdego x ∈ X oraz y ∈ X mamy uogólnioną równość
Parsevala: (x|y) =
∞
P
n=1
c
n
d
n
· kx
n
k
2
, gdzie c
n
=
(x|x
n
)
kx
n
k
2
,
d
n
=
(y|x
n
)
kx
n
k
2
, n ∈ N.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie
Twierdzenie
W każdej ośrodkowej przestrzeni Hilberta X istnieje układ
ortonormalny zupełny.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie
Twierdzenie
Każda ośrodkowa przestrzeń Hilberta X jest izometrycznie
izomorficzna z l
2
.
Zofia Lewandowska
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
analizatory id 62011 Nieznany (2)
analizaf 5 id 61957 Nieznany (2)
analizaf 3 id 61954 Nieznany (2)
analiza2 id 61920 Nieznany (2)
analizaf 1 id 61953 Nieznany (2)
AnalizaSciezek id 61987 Nieznany (2)
AnalizaSWOT id 61991 Nieznany (2)
analizaf 6 id 61959 Nieznany (2)
analizaDyskryminacyjna id 61950 Nieznany (2)
analiza 4 id 59704 Nieznany (2)
analiza 5 id 59707 Nieznany (2)
analizaf 4 id 61955 Nieznany (2)
analizaWyklad 3 1 id 62026 Nieznany
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron