Teoria Analiza Matematyczna
1. Kresy zbiorów, definicja.



kresem górnym (zbioru niepustego i ograniczonego)
nazywamy najmniejsze ograniczenie górne.

Niepusty podzbiór X zawarty w prostej nazywamy ograniczonym z

góry <=>

M R

x X

x

M













kresem dolnym (zbioru niepustego i ograniczonego)
nazywamy największe ograniczenie dolne.

Niepusty podzbiór X zawarty w prostej nazywamy ograniczonym z

dołu<=>

m R

x X

x

m





 



2. Twierdzenie: a=sup x, b=inf x

a= sup x <=> 1. a ogranicza X z góry

2.

lim

n



b= inf x <=> 1. b ogranicza X z dołu

2.

0

x X

x

b









 

 

3. Granica ciągu

def. Liczbę a



R nazywamy granicą ciągu a

n

<=>

0

n

n n

n

a

a













  

 

Pokazać, że lim a

n

=

2

3

, a

n

=

2

3

3

2

n

n





Załóżmy, że



=

1

100

Czy istnieje

1

100

n

taka że

2

1

3

100

n

a





dla

n>

1

100

n

?

2

3

2

1

3

2

3

100

n

n









3(2

3) 2(3

2)

1

3(3

2)

100

n

n

n

 







6

9

6

4

1

3(3

2)

100

n

n

n

 







13

1

3(3

2)

100

n







13

1

3(3

2)

100

n







1300<9n+6
1294<9n

n>154=

1

100

n

odp. A zatem dla n



155 wyrazy ciągu a

n



(

2

1

3

100



;

2

1

3

100



)

4. Twierdzenie o sumach, iloczynach itp. granic.

Dowód:

lim

n



a

n

=a;

lim

n



b

n

=b

Czy (a

n

+ b

n

)= a

n

+ b

n

?

To znaczy czy dla dowolnie ustalonego



>0 istnieje taka liczba

n



, że

dla n>





 



n

n

a

b

a b











Ustalamy



>0.

Ponieważ a

n



a, więc istnieje

2

n



, że dla n>

2

n



2

n

a

a



 

Ponieważ b

n



b, więc istnieje

2

n





, że dla n>

2

n





2

n

b

b



 

Przyjmijmy, że

n



=max (

2

n





,

2

n



) Wówczas dla

n>

n





 



n

n

a

b

a b







=



 



2 2

n

n

n

n

a a

b b

a a b b

 



         

5. Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Przyjmujemy



=1. Ponieważ a

n



a (jest zbieżny)

więc istnieje n, że dla n>n

1





1

1

1

n

n

a

a

a

a

a

  

 

 

Przyjmujemy m=min





1

1

1, ,

,

n

a

a

a



M=max





1

1

1, ,

,

n

a

a

a



Wówczas m



a

n



M dla każdego n



N

6. Twierdzenie o 3 ciągach.

Dowód: Dane są ciągi a

n



b

n



c

n

. Jeśli

lim

n



a

n

=

lim

n



c

n

to także b

n

jest zbieżne do tej granicy.

Oznaczamy

lim

n



a

n

=

lim

n



c

n

= g. Niech



>0

Z tego, że a

n



g istnieje n, że dla n>n” g -



< a

n

<g

+



Z tego, że c

n



g istnieje n, że dla n>n” g -



< c

n

<g

+



A zatem dla n>max(n’;n”) g -





b

n



g +



7. Tw. Bolano-Weierstrassa
Każdy ciąg ograniczony posiada podciąg zbieżny:
Dowód: Wartości ciągu ograniczonego (a

n

) są zawarte w przedziale [m,M].

Podzielimy go na 2 równe części. W co najmniej jednej z nich znajduje się
nieskończenie wiele wyrazów ciągu (a

n

). Oznaczamy tą część [m

1

,M

1

] i niech

(a

mn

) oznacza podciąg nieskończony zawarty w [m

1

,M

1

]. Przyjmujemy b

1

=a

n1

.

Następnie dzielimy przedział [m

2

,M

2

] na dwie równe części w jednej z nich

[m

2

,M

2

] znajduje się podciąg





k

nm

a

i przyjmujemy b

2

=

 

1

nm

a

Postępując tak dalej znajdujemy ciągi m

k



b

k



M

k

gdzie b

k

jest

podciągiem (a

n

) zaś (m

k

) i (M

k

) są monotoniczne i mają wspólną granice. A

zatem z Tw. o trzech ciągach także podciąg b

n

jest zbieżny do tej granicy.

Tw: Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Dowód: Niech ciąg (a

n

) będzie rosnący. Pokażemy że jest on zbieżny do

liczby

a=sup {a

n

: n



N}.

Ustalmy



>0. Pokażemy że w odc. (a-



,a] znajdują się prawie

wszystkie wyrazy ciągu a

n

1. a

n



a



sup{a

n

}

2. Z def. sup{a

n

} istnieje wyraz

0

n

a

>a-



. A zatem

dla n>n

o

a-



<

0

n

a

< a

n



a czyli a

n



(a-



,a]

8. Podstawowe granice:



lim

n



1

n

a



Niech a



1. Oznaczamy

1

n

n

a

c

 

.

Pokażemy, że

n

c



0. Otóż

n

c



0 a więc a= (1+

n

c

)

n

=

2

3

1

0

1

2

3

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n c

c

c

c

c

n

 

 

 

 







 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

[

0

n

a

c

n





]



0 z tw. o 3 ciągach



lim

0

n

n

n

a





a>0

Niech a=1+c gdzie c>0. Wówczas

 

2

2

3

2

0

( 1)

1

1

1

2

3

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

n c

c

c

c

c

c

c

n













     

   



 



 

     

   

     

   

!

(

2)!(

1)

(

1)

2

(

2)!2!

(

2)2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 













 





 

2

2

0

(

1)

n

n

a

n

c









lim

0

!

n

n

a

n





Dowód: dla a=2

3

2

2 2 2 2

4 1

!

1 2 3 4

3 2

n

n

n

n

n



   



 



  

   



 

0<

2

!

n

n

<

3

4 1

3 2

n



 

 

 



0



!

lim

0

n

n

n

n





Niech n=2k lub 2k +1. Wówczas

!

1 2

(

1)

1

2

k

n

n

k

k

n

n

n n

n

n n

n

  

  

 





  

  

  

 

1

0

2

k

  

 

 

9. Liczba e. Dowód zbieżności

1

1

n

n















. interpretacja.

Rozpatrzmy ciąg

1

1

n

n















. Pokażemy, że jest on

ograniczony

2

1

1

1

1

1

1 1

1

1 1

1

1

1

1 1

2

3

1

2

2! 3!

!

2 4

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n



   

 

 

 

 

  



 

           

   

 

 

 

 

 

 

 

   

 

1

1

1

1

2

!

2

!

n

n

n

n





 



Z tej interpretacji wynika, że ciąg jest rosnący a dalej zbieżny. Tą

granice oznaczamy e



2,71828...

Ex. Wpł. dzbanku 1zł na okres roku z oprocentowaniem 100%. Po
roku będziemy mieli 1+1=2zł. Gdyby odsetki dopisywano po

1

2

roku

2

1

1

1

1

1

1

2

2

2



 

















 









 







. Gdyby

po 4 miesiącach

3

1

1

1

1

1

1

1

1

3

3

3

3







 



















 









 



. Gdyby po n miesiącach to

1

1

n

n















. A zatem ciąg

1

1

n

n















jest rosnący.

II. Przestrzenie metryczne.
10. Przestrzeń metryczna. Def i Ex.

Def.

1. d (x,y)



0 odległ



0

2. d (x, y) =0



x=y

3. d (x, y) = d (y, x) symetryczne

4. d (x, y) + d (y, z)



d (x, z)- nierówność trójkąta

11. Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej.

Def. Ciąg punktów

( , )

n

x

X d



nazywamy

zbieżnym do punktu

0

0

lim ( ,

)

0

n

n

x

X

d x x



 



( jako zwykły ciąg na prostej).
Uwaga: Definicja ta jest zgodna ze zwykłą
zbieżnością gdy X=R.

12. Tw. zbieżność w R

n

= zbieżność po współrzędnych.

Dowód.

(x

n,

y

n

)



(x

0,

y

0

) tzn. x

n



x

0

;

y

n



y

0

Dowód: Uwaga dla liczb a, b



0 zachodzi nierówność

2

2

max( , )

2 max( , )

a b

a

b

a b

a b



    

A zatem:
Dla ciągu punktów z

n

=( x

n

, y

n

) i z

o

=( x

o

, y

o

)

0

0

0

max

0

( , )

( , )

( , ) 2

( , )

m

n

e

n

t

n

n

d z z

d z z

d z z

d

z z





 

Jeśli np.

0

( ,

)

0

e

n

d z z



lub

0

( ,

)

0

n

d z z



to

0

( ,

)

0

m

n

d

z z



, dlatego reszta metryk

też dąży do zera.

Ex. z

n

(1;

1

n

)

13. Zbiór otwarty, domknięty. Definicja.

Zbiór domknięty: Podzbiór

D

X



nazywamy domkniętym



granica każdego ciągu punktów x

i



D zbieżnego w X należy do D.

Podzbiór przestrzeni metrycznej

U

X



nazywamy otwartym



0

0

( , )

x U

r

K x r

U





 



Ex. X=R

2

(metoda Euklid.) U={(x,y): y>0} jest otwarty, bo

jeśli K(( x

o

, y

o

);

0

2

y

)



U.

14 TW Zbiór

U

X



jest otwarty

\

X U



jest

domknięty .
Na prostej zbiór (a,b) jest zbiorem
otwartym

\ ( , )

(

; ]

[

)

R

a b

a

b



 

  

zbio

rem domkniętym.
15. TW. Suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

: ,

Z A B

X



zbiory domknięte

: (

)

T

A

B

X





domknięte

Mamy pokazać że

A

B



jest domknięty tzn. [niech

0

0

,

]

[

].

n

n

x

A

B x

x

x

A

B

 





 

Wówczas nieskończenie wiele wyrazów ciągu należy do A lub B . Przypuśćmy

że do „A”. A więc ustalamy podciąg

k

n

x

A



. Wówczas

0

nk

x

x



(jako podciąg) a zatem z domkniętości A,

0

x

A



. A więc

0

x

A

B

 

.

16. TW. Część wspólna skończonej ilości zbiorów domkniętych jest
zbiorem domkniętym.

Niech zbiór

,

i

U

X i

I





będzie domkniętych. Czy

i

z I

U



też jest zbiorem domkniętym. Mamy pokazać że

1

2

(

...

)

n

U

U

U



 

jest domknięty U

1,…,

U

n

są

domknięte czyli niech

1

2

0

0

1

2

(

...

),[

] [

...

]

n

n

n

n

x

U U

U x

x

x U U

U

   

     

. Wówczas jako że x

n

należy do każdego U

i

to znaczy że

0

1

2

...

n

x

U

U

U





 

. A zatem część wspólna

nieskończenie wielu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętych.
17. TW: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Niech zbiór

,

i

U

X i

T





będzie otwarte. Czy

i I





U

i

też jest otwarte. Niech

0

i I

x





U

i

. To znaczy istnieje

0

i

I



takie że

0

0

i

x

U



. Ponieważ U

i0

jest otwarty więc

istnieje r

0

>b takie że K(x

0

,r

0

)

0

i

U



. A więc

K(x

0

,r

0

)

i I

i

U



 

.

19. TW. Odwzorowania ciągłe. Def. Heinego Couchy’ego i ich
równoważności.
Dane są przestrzenie metryczne (X, d

x

), (Y, d

y

) oraz odwzorowanie

f:

X

Y



. Małe zmiany argumentów powodują małe zmiany

funkcji.

(Heine)Mówimy że funkcja f jest ciągła w punkcje x

0



dla każdego

ciągu punktów x

n

przestrzeni x zachodzi implikacja.

0

0

(lim

)

(lim (

)

( ))

n

n

x

x

x

x

f x

f x











Funkcja przeprowadza ciągi zbieżne do x

0

na ciągi zbieżne do f(x

0

)

(couchy) Mówimy że funkcja f jest ciągła w punkcie

0

0

0

0

(

( , )

)

( ( )

x

x X dX x x

dY f x









    

 



i f(x

0

)<



20. TW. Suma ,iloczyn, iloraz funkcji ciągłych f, g :

X

R



są

ciągłe.
Dowód: korzystamy z def. Heinego. Mamy pokazać że dla każdego ciągu

0

(

)

n

x

x

X





. Ciąg wartości f(x

n

)+g(x

n

) dąży do

(f(x

0

)+g(x

0

)).

Jest tak bo z założenia ciągłości funkcji

0

(

)

( )

n

f x

f x



a z założenia f(x

n

)

0

( )

g x



. A więc

0

0

( (

)

(

))

( ( )

( ))

n

n

f x

g x

f x

g x







bo granica sumy = sumie granic.
Podobnie dla iloczynu i ilorazu.

0

0

( (

)

(

))

( ( )

( ))

n

n

f x

g x

f x

g x







21. Przestrzeń zwarta: definicja, przykłady
Przestrzeń metryczną nazywamy zwartą każdy ciąg punktów tej przestrzeni
posiada podciąg zbieżny.

Ex.: odcinek domknięty [a,b]



R(tw. Bolano-Weistra.), prostokąt

domknięty [a

1

,b

1

] [a

2

,b

2

] ze zwartości poszczególnych odcinków [a

1

,b

1

] [a

2

,b

2

]

wynika zbieżność odpowiednich !!!podciągów!!! x

nk

--> x

0

[a

1

b

1

] etc.; kostka

domknięta; każda przestrzeń skończona jest zwarta(metryczna); przestrzeń
dyskretna jest zwarta gdy jest skończona.
22. Każda przestrzeń metryczna skończona jest zwarta
Bo każdy ciąg x

n

przyjmuje jedna z wartości nieskończenie wiele razy. A to

daje podciąg stały.

23. TW. Podzbiór A



R

n

jest zwarty  jest domknięty i ograniczony

Dowód: Jeśli A



R

n

jest domknięty i ograniczony to jest zwarty w pewnej

kuli K(0;R). Z kolei kula ta jest zwarta w pewnej kostce domkniętej

K(0;R)



[-R,R]x…x[-R,R], a kostka jest zbiorem zwartym.

Czy A jako podzbiór zbioru zwartego jest zwarty => Niech A



R

n

będzie

zwarty. Jako zwarty jest ograniczony. Pozostaje pokazać że A jest domkniety.

Niech (a

n

) będzie ciagiem punktów i A zbieżny x

0



R

n

. Czy x

0



A???

Ze zwartości ciągu (a

n

) posiada podciąg zbieżny do punktu a

0

<A. A podciąg

ten jest zbieżny do x

0

. A więc x

0

= a

0



A.

24. TW. Weierstrassa: F-cja f:X



R (X zwarta) jest ograniczona i osiąga

swoje kresy.
Dowód:

1.

Wobec lematu (obraz ciągły przestrzeni jest przestrzenią

zwartą) f(x)



R jest zbiorem zwartym. A więc jest

ograniczony czyli istnieja liczby m,M dla których

f(x)



[m,M]

2.

Skoro f(x)



R jest zwarty to jest i domknięty. A zatem

zawiera swoje kresy czyli istnieją punkty X

-

, X

+

dla

których f(X

+

) = sup f(x), f(X

-

)= inf f(x)

25. Przestrzeń spójna: definicja przykłady
Przestrzeń metryczna nazywamy spójną istnieją zbiory niepuste i otwarte

U,V



X takie, że nie da się przedstawić (nie zachodzą „relacje”)

U



V = X U



V =



Ex.: R jest spójne, C jest spójne. Każdy przedział liczbowy jest spójny.
26. Łukowa spójność. Każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna.

Funkcja f:X



Y jest ciągła  przeciwobrazem zbioru otwartego jest

zbiór otwarty.
Nie wprost: Zakładamy, że przestrzeń X jest łukowo spójna ale nie jest spójna.

Tzn. X=U



V gdzie U i V są otwarte, rozłączne i niepuste. Ustalamy

punkty a



U, b



V. Z założenia łukowej spójności istnieje droga U:[0,1]



X taka, że w(0)=a i w(1)=b. Zauważmy, ze [0,1]=w

-1

(X)=w

-1

U



w

-

1

V. Ponadto zbiory w

-1

U, w

-1

V są rozłączne, otwarte, niepuste. A to dowodzi,

że odcinek [a,b] jest niespójny. Sprzeczność.!!!
27. TW. Darboux. Każdy wielomian stopnia nieparzystego posiada pierwiastek
rzeczywisty.

f(x)=a

0

x

n

+a

1

x

n-1

+…+a

n

gdzie n-nieparzyste. Wówczas

lim

x



f(x)=+



a

0

>0.

lim

x



f(x)=



, a zatem istnieją liczby T,t dla których f(T)>0 i

f(t)<0. Stąd z własności Darboux istnieje x

0



(T,t) w którym f(x

0

)=0.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY
28. Iloraz różnicowy i jego interpretacja. Definicja pochodnej (styczna,
prędkość)
Ilorazem różnicowym nazywamy wyrażenie

0

0

(

)

( )

f x

h

f x

h

 

. Liczbę h nazywamy przyrostem

argumentu, inne oznaczenia

h

x

 

. Zaś

0

0

(

)

( )

f

f x

h

f x

 

 

przyrostem funkcji.

Wówczas iloraz różnicowy to

f

x





.

Interpretacja geometryczna

f

tg

x

 







tg kata nachylenia

siecznej z osią OX.

Interpretacja fizyczna

0

0

(

)

( )

s t

h

s t

h

 

. S(t

0

) oznacz

położenie ciała w chwili t. Wówczas

0

0

(

)

(

)

s t

h

s t

h





oznacza średnią prędkość w czasie [t

0

,t

0

+h].

Pochodna funkcji f w punkcie x

0

nazywamy granicę ilorazu różnicowego

0

0

(

)

(

)

lim

x

f x

h

f x

h







o ile istnieje. Oznaczamy

f

’

(x

0

)=

dt

dx

(x

0

). Interpretacja pochodnej – prędkość chwilowa.

29. TW. Fermata (ekstremum



f

’

(x)=0. )

Dowód: Załóżmy, że f posiada w x

0

maksimum lokalne. Oznacza to, że

f(x)



f(x

0

) dla wszystkich x



(

0

0

,

x

x









) i pewnego

0





. A zatem dla

0

x

x



iloraz różnicowy

0

0

( )

(

)

0

f x

f x

x

x







zas dla x<x

0

jest dodatni. A zatem

granica o ile istnieje musi być 0.
30. TW.Rolle’a (o zerowaniu się pochodnej)
Warunek konieczny do istnienia ekstremum. Czy war. konieczny??

Jeśli f:[a,b]



R ma wszędzie pochodną oraz f(a)=f(b) to istnieje punkt c



(a,b) w którym f

’

(c)=0. Dowód:

1.

jeśli f jest stała to f’=0

2.

jeśli f nie jest stała to dla pewnego x



(a,b) zachodzi

f(x)=f(a). Załóżmy f(x)>f(a). Wówczas z tw. Weierstrassa f

osiąga swoje maksimum w punkcie c



(a,b). A zatem z

(tw. Fermata) f’(c)=0.

31. TW. Lagrange’a (dowód)

Jeśli f:[a,b]



R jest ciagła na [a,b] oraz posiada pochodna w (a,b) to

wówczas istnieje c



(a,b) takie, że f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Dowód:

Mamy znaleźć punkt c



(a,b) spełniający

( )

( )

'( )

f b

f a

f c

b a







czyli szukamy punktu w

którym styczna jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty (a,f(a))
oraz (b,f(b)). Określamy funkcje pomocniczą

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

f b

f a

g x

f x

f a

x a

b a













.

Funkcja spełnia założenia Rolle’a g(a)=g(b)=0. A zatem istnieje punkt

c



(a,b) w którym g’(c)=0. A zatem

0=g’(c)=

( )

( )

'( )

f b

f a

f

c

b

a







skąd

( )

( )

'( )

f b

f a

f

c

b

a







.

32. Reguła de l’Hospitala
Jeśli funkcje f i g są określone w przedziale [a,b] oraz

1.

lim ( )

0

x

a

f x





2.

lim ( )

0

x

b

g x





3. istnieją skończone pochodne f’(a), g’(a) przy czym g’(a)



0 wówczas

( )

'( )

lim

( )

'( )

x

a

f

x

f

x

g x

g

x





33. Sumy całkowe Reimanna. Całka oznaczona.

Ustalamy podział odcinka [a;b] na części. W każdej wybieramy punkt

k



.

Tworzymy sumę

1

(

)

n

k

k

k

f

x











. Sumę tą nazywamy

sumą całkową Reimanna. Zależy ona od wybranego przedziału [a;b] i selekcji

i



. Suma ta daje łączne pole prostokątów opisanych na wykresie.

34. Interpretacja całki oznaczonej.
Geometryczna- pole pod wykresem funkcji
Fizyczna- Niech w każdym punkcie odcinka [a;b] działa F(x) skierowana

wzdłuż prostej. Wówczas

( )

b

a

W

f x dx





35. Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego. Uzasadnić
że funkcja górnej granicy całki jest funkcją pierwotną.

1.Niech

:[ ; ]

f

a b

R



będzie całkowalna. Dla ustalonego

[ ; ]

X

a b



określamy

( )

( )

b

a

F x

f t dt





.

Funkcję F(x) nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.

2. Ustalamy

[ ; ]

X

a b



oraz h>0. Badamy iloraz różniczkowy . Z

twierdzenia o wartości średniej dla całki istnieje

[ ,

]

c

x x h





spełniające

( )

( )

x h

x

f t dt

f c

h









. Wówczas

( )

( ( )

)

( )

( )

( )

x h

x

f t dt

F x

h

F x

f c

f x

h

h



 









gdy

0

h



A to oznacza że

( )

( )

F x

f x



