Szeregi funkcyjne

Niech X – zbiór,



Y ,

∣⋅∣



- przestrzeń unormowana

oraz niech

∀ n∈ℕ f

n

: X

Y ,

S : X

Y .

Definicja

Ciąg S

n



n

∈ℕ

sum cząstkowych

S

n

:

=

∑

k

=1

n

f

k

nazywamy

szeregiem funkcyjnym

i oznaczamy

∑

n

=1

∞

f

n

.

Definicje

zbieżności szeregu funkcyjnego

1)

∑

n

=1

∞

f

n

nazywamy

zbieżnym punktowo

do funkcji S :

⇔ ciąg jego sum cząstkowych

S

n

zmierza punktowo do funkcji S na zbiorze X , tzn. S

n



n

∞

X

S

2)

∑

n

=1

∞

f

n

nazywamy

zbieżnym jednostajnie

do funkcji S :

⇔ ciąg S

n



n

∈ℕ

jest

zbieżny jednostajnie na zbiorze X do S , tzn. S

n

S

3)

∑

n

=1

∞

f

n

nazywamy

zbieżnym bezwzględnie

:

⇔

∑

n

=1

∞

∥ f

n

∥ jest zbieżny punktowo, tzn.

jest zbieżny punktowo ciąg



S

n

*



n

∈ℕ

, gdzie S

n

*:

=

∑

k

=1

n

∥

f

k

∥

.

Uwaga

1)

∑

n

=1

∞

f

n

- zbieżny jednostajnie

⇒

∑

n

=1

∞

f

n

jest zbieżny punktowo.

2)

∑

n

=1

∞

f

n

- zbieżny bezwzględnie

⇒

∑

n

=1

∞

f

n

jest zbieżny punktowo.

3) Nie ma bezpośredniego związku między zbieżnością bezwzględną i jednostajną.

- 1 -

X

n

∞

Twierdzenie

(WK zbieżności szeregu)

1)

∑

n

=1

∞

f

n

jest zbieżny punktowo (bezwzględnie)

⇒

f

n



n

∞

X

0 , tzn. funkcją graniczną

ciągu  f

n



n

∈ℕ

jest funkcja f

≡0

2)

∑

n

=1

∞

f

n

jest zbieżny jednostajnie

⇒

f

n

0

Twierdzenie

(WKW Cauchy'ego zbieżności szeregu funkcyjnego)

Niech X – zbiór



Y ,

∥⋅∥



- przestrzeń Banacha

oraz niech

f

n

: X

Y dla n∈ℕ.

Wtedy

1)

∑

n

=1

∞

f

n

- zbieżny punktowo na X

⇔ ∀ x∈ X ∀ 0 ∃n

0

∀ nmn

0

∥

∑

k

=m

n

f

k

 x

∥



2)

∑

n

=1

∞

f

n

- zbieżny jednostajnie na X

⇔ ∀ 0 ∃n

0

∀ nmn

0

∀ x∈ X

∥

∑

k

=m

n

f

k

 x

∥



Twierdzenie

(kryterium Weierstrassa)

Niech X – zbiór



Y ,

∥⋅∥



- przestrzeń Banacha

oraz niech

f

n

: X

Y dla n∈ℕ.

Jeśli

∀ n∈ℕ ∀ x∈ X

∥

f

n

 x

∥

≤a

n

oraz

∑

n

=1

∞

a

n

−szereg zbieżny,

to

∑

n

=1

∞

f

n

−zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.

Dowód

1) Sprawdzamy WKW Cauchy'ego zbieżności jednostajnej:

∀ 0 ∃n

0

∀ nmn

0

∀ x∈ X

∥

∑

k

=m

n

f

k

 x

∥

.

- 2 -

n

∞

X

Niech

0 oraz niech

∑

k

=m

n

a

k

 . Wtedy

∥

∑

k

=m

n

f

k

 x

∥

≤

∑

k

=m

n

∥

f

k

 x

∥

≤

∑

k

=m

n

a

k

.

Ponieważ szereg

∑

n

=1

∞

a

n

jest zbieżny

⇒

ℝ−zupełna

ciąg S

n

=

∑

k

=1

n

a

n

spełnia warunek Cauchy'ego

⇒

⇒ ∃ N : ∀ nmN ∣S

n

−S

m

−1

∣ ⇔ ∃ N : ∀ nmN

∑

k

=m

n

a

k



Niech n

0

:

=N. Wtedy ∀ nmn

0

∥

∑

k

=m

n

f

k

 x

∥

.

Zatem

∑

k

=m

∞

f

k

jest zbieżny jednostajnie.

2) Aby sprawdzić czy

∑

n

=1

∞

f

n

jest zbieżny bezwzględnie, wystarczy zbadać zbieżność

punktową szeregu

∑

n

=1

∞

∥

f

n

∥

.

Niech x

∈ X . Wtedy

∥

f

n

 x

∥

≤a

n

∑

n

=1

∞

a

n

−zbieżny

}

⇒

na podstawie kryt. porównawczego

∑

n

=1

∞

∥

f

n

 x

∥

−zbieżny

Zatem

∀ x∈ X szereg

∑

n

=1

∞

∥

f

n

 x

∥

jest zbieżny

⇒

∑

n

=1

∞

f

n

−zbieżny bezwzględnie.



Uwaga

Szereg

∑

n

=1

∞

a

n

występujący w twierdzeniu Weierstrassa nazywamy majorantą liczbową

szeregu funkcyjnego

∑

n

=1

∞

f

n

.

Przykład*

Zbadać zbieżność szeregu funkcyjnego

∑

n

=1

∞

x

n

dla x

∈ℝ.

Musi być spełniony WK zbieżności punktowej ∥x

n

∥=∣x∣

n



n

∞

0 , co zachodzi, gdy | x |1 .

- 3 -

Wtedy

S

n

 x=xx

2

x

3

x

n

=

x

1−x

n



1

−x

więc

lim

n

∞

S

n

 x=lim

n

 ∞

x

1−x

n



1

−x

=

x

1

−x

⇒

∑

n

=1

∞

x

n

−zbieżny dla

x

∈−1;1.

Zatem D

p

=−1;1.

Badamy czy zachodzi WK zbieżności jednostajnej:

d

sup

 x

n

; 0

 

n

∞

?

0

d

sup

 x

n

; 0

= sup

x

∈−1;1

∣

x

n

∣

=1

0

Niech 0

r1 . Wykażemy, że

∑

n

=1

∞

x

n

jest zbieżny jednostajnie w

[−r ; r].

Niech

x

∈[−r ; r]. Wtedy

| x

n

|

≤r

n

, r

1

∑

n

=1

∞

r

n

−zbieżny

}

⇒

kryt Weierstrassa

∑

n

=1

∞

x

n

− zbieżny jednostajnie w [−r ; r] ⇒

⇒

∑

n

=1

∞

x

n

− zbieżny niemal jednostajnie w (-1;1).

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

∑

n

1

∞

sinnx

n

2

.

Zauważmy, że

sinnx

n

2

≤

1

n

2

dla n

∈ℕ.

Ponieważ szereg

∑

n

=1

∞

1
n

2

będący majorantą szeregu

∑

n

1

∞

sinnx

n

2

jest zbieżny, więc na

podstawie kryterium Weierstrassa,

∑

n

1

∞

sin nx

n

2

jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w

ℝ.

Konsekwencją twierdzeń o ciągłości funkcji granicznej oraz o przejściach do granicy przy
różniczkowaniu i całkowaniu ciągów funkcyjnych są następujące twierdzenia:

- 4 -

n

∞

⇒ szereg

∑

n

=1

∞

x

n

nie jest zbieżny jednostajnie

na przedziale

−1;1.

Twierdzenie

(o ciągłości sumy szeregu)

Niech X – przestrzeń metryczna

}

⇒ S ∈C  X 

Twierdzenie

(o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego)

}

⇒ ∀ x∈I



∑

n

=1

∞

f

n

 x



'

=

∑

n

=1

∞



f '

n

 x



,

czyli szereg można różniczkować „wyraz po wyrazie”.

Dowód

Twierdzenie jest wnioskiem z twierdzenia o przejściu do granicy przy różniczkowaniu
ciągu funkcyjnego.



Przykład

∑

n

=1

∞

sinnx

n

3

−zbieżny nawet jednostajnie na I ⊂ℝ

d

dx



sinnx

n

3



=

cos nx

n

2

∑

n

=1

∞

cos nx

n

2

−zbieżny jednostajnie

}

⇒

tw. o różn. szer. f.



∑

n

=1

∞

sinnx

n

3



'

=

∑

n

=1

∞

cos nx

n

2

Twierdzenie

(o całkowaniu szeregu funkcyjnego)

}

∀ x∈I

∫

x

0

x

[

∑

n

=1

∞

f

n

 x

]

dx

=

∑

n

=1

∞

[

∫

x

0

x

f

n

 xdx

]

,

czyli szereg można całkować „wyraz po wyrazie”.

- 5 -

Y – przestrzeń unormowana

∀ n∈ℕ f

n

: X

Y

f

n

∈C  X 

oraz

∑

n

=1

∞

f

n

- zbieżny jednostajnie do sumy S na X

Niech przedział I

⊂ℝ

∀ n∈ℕ f

n

: I

ℝ,

f

n

∈D I 

∑

n

=1

∞

f

n

−zbieżny punktowo na I

∑

n

=1

∞

f

n

'

−zbieżny jednostajnie na I

Niech I

⊂ℝ

∀ n∈ℕ f

n

: I

ℝ,

x

0

∈I

f

n

−całkowalna na I

∑

n

=1

∞

f

n

−zbieżny jednostajnie na I

Dowód

Twierdzenie jest wnioskiem z twierdzenia o przejściu do granicy przy całkowaniu ciągu
funkcyjnego.



Przykład*

c.d.

∑

n

=1

∞

x

n

−zbieżny jednostajnie w [−r ; r] dla 0r1

⇩

∑

n

=1

∞

x

n

− zbieżny jednostajnie w [0; r]

⇒

∫

0

r



∑

n

=1

∞

x

n



dx

=

∑

n

=1

∞



∫

0

r

x

n

dx



.

Ponieważ

∑

n

=1

∞

x

n

=

x

1

−x

dla x

∈[0;r]

zatem

∫

0

r

x

1

−x

dx

=

∑

n

=1

∞



∫

0

r

x

n

dx



∫

0

r



1

1

−x

−1



dx

=

∑

n

=1

∞



x

n

1

n

1

0

r



[

−ln∣1 −x∣−x

]

0

r

=

∑

n

=1

∞

r

n

1

n

1

−ln∣1 −r∣−r=

∑

n

=1

∞

r

n

1

n

1

⇒

0

r1

ln

1

1

−r

=r

∑

n

=1

∞

r

n

1

n

1

=r

∑

n

=2

∞

r

n

n

ln

1

1

−r

=

∑

n

=1

∞

r

n

n

.

Stąd np. dla r

=

1
2

otrzymujemy wzór na sumę szeregu liczbowego

∑

n

=1

∞

1

n

⋅2

n

:

∑

n

=1

∞

1

n

⋅2

n

=ln 2 .

Przykład

Wyznaczyć obszary D

p

, D

b

i D

j

zbieżności punktowej, bezwzględnej i jednostajnej oraz

wyznaczyć sumę szeregu

∑

n

=1

∞

−1

n

2 n x

n

.

- 6 -

Zbadajmy zbieżność szeregu.

Niech x

∈ℝ .

Zbieżność punktowa wynika z kryterium Cauchy'ego, bo

n



∣−1

n

2 n x

n

∣=

n



2 n

∣x∣ 

n

∞

∣x∣

i szereg

∑

n

=1

∞

−1

n

2 nx

n

jest zbieżny bezwzględnie dla

∣x∣1 oraz jest rozbieżny

dla

∣x∣1 .

Natomiast dla x

=1:

∑

n

=1

∞

−1

n

2 n

−rozbieżny (bo WK zbieżności nie jest spełniony ( −1

n

⋅2 n

oraz dla

x

=−1:

∑

n

=1

∞

2 n

−rozbieżny (bo WK zbieżności nie jest spełniony ( 2 n

Zatem
D

p

=D

b

=−1;1

oraz
D

j

⊂−1;1

Hipoteza: D

j

=−1;1

⇒

WK zb. jednost.

f

n

0

⇒

f

n

∈B−1;1

sup

x

∈−1;1

∣ f

n

 x−0 ∣ 

n

∞

0

Jednakże

sup

x

∈−1;1

∣ f

n

 x∣=∣ f

n

1∣=2 n

0

−sprzeczność

zatem D

j

⊈−1;1.

Wykażemy, że D

j

=[a ;b], gdzie −1ab1 .

Dla x

∈[a ;b] mamy

∣ f

n

 x∣=2 n∣x∣

n

≤2 n⋅max{∣a∣;∣b∣}



A



n

ponadto

∑

n

=1

∞

2 n A

n

−zbieżny (z kryt. Cauchy'ego, bo

n



∣2 n A

n

∣=

n



2 n A



n

∞

A

1)

}

⇒

kryt. Weierstrassa

∑

n

=1

∞

f

n

 x−zbieżny jednostajnie na [a ; b] ⇒

- 7 -

−1;1

0 ))

0 )).

n

∞

⇒

kryt. Weierstrassa

n

∞

n

∞

⇒

∑

n

=1

∞

f

n

−zbieżny niemal jednostajnie na −1;1.

II. Wyznaczmy sumę szeregu

∑

n

=1

∞

−1

n

2 n x

n

.

Oznaczmy S

 x=

∑

n

=1

∞

−1

n

2 n x

n

dla x

∈−1;1.

Wtedy

S

 x=x⋅

∑

n

=1

∞

−1

n

2 n x

n

−1



S

1

x

,

czyli

∀ x∈−1;1

∫

0

x

S

1

 xdx=

tw.

∑

n

=1

∞



∫

0

x

−1

n

2 n x

n

−1

dx



=

∑

n

=1

∞



−1

n

2 x

n

0

x



=

∑

n

=1

∞

−1

n

2 x

n

=2 ⋅

∑

n

=1

∞

−x

n

=−

2 x

1

x

stąd

S

1

 x=



−2 x

1

x



'

=−

2

−2 x2 x

1x

2

= −

2

1x

2

dla x

∈−1;1.

Zatem

S  x=

−2 x

1x

2

x

∈−1;1.

- 8 -

gdzie S

1

 x=

∑

n

=1

∞

−1

n

2 nx

n

−1

jest szeregiem zbieżnym niemal jednostajnie w

−1;1, zatem

jest zbieżny jednostajnie w

[−;] dla 0∣∣1, więc można stosować twierdzenie

o całkowaniu szeregu funkcyjnego

∀ x∈[−;] ∀ : 0∣∣1,