Mechanika płynów

Dr Tomasz Wajman

Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów

Instytut Maszyn Przepływowych PŁ

E-mail: [e-mail]

Warstwa przyścienna

Warstwa przyścienna

• Duże wartości Re
• Duże gradienty prędkości = duże siły lepkości.
• Warstwa przyścienna – zmiana prędkości od v = 0 na ściance do wartości
ustalonej v (prędkości przepływu niezakłóconego) z dala od ścianki

y

V

V

V

II

Umowna grubość
warstwy przyściennej δ

v

%

99

v

≈

x

II

I

δ

0

l

• Grubość warstwy przyściennej << długości opływanego ciała
• W warstwie przyściennej siły lepkości są porównywalne z siłami bezwładności

v

%

99

v

xδ

≈

0

=

∂

∂

+

∂

∂

y

v

x

v

y

x

Warstwa przyścienna - przepływ 2D

• Przepływ przyścienny; ruch płaski, ustalony; pomijamy siły masowe

l – grubość opływanej ścianki, v – prędkość przepływu niezakłóconego

Równanie ciągłości













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

2

1

y

v

x

v

x

p

ρ

y

v

v

x

v

v

x

x

x

y

x

x

υ















∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

2

1

y

v

x

v

y

p

ρ

y

v

v

x

v

v

y

y

y

y

y

x

υ

Równanie Naviera Stokesa

⇒

<< 1

)

(

l

x

δ

l

x

≤

≤

0

)

(

0

x

y

δ

≤

≤

)

O(v

v

=









=

∂

−

=

∫

δ

v

y

v

v

y

x

O

d

0

=

∂

∂

+

∂

∂

y

v

x

v

y

x

Przepływ 2D – równanie ciągłości

x

y

V

V

V

II

I

δ

0

l

)

O(v

v

x

=













=

∂

∂

−

=

∫

δ

l

v

y

x

v

v

x

y

O

d

0













=

∂

∂

l

v

x

v

x

O













=

∂

∂

l

v

y

v

y

O

0

=

∂

∂

+

∂

∂

y

v

x

v

y

x

O(A)

- rzędu A













=

∂

∂

l

v

x

v

v

x

x

2

O













=

∂

∂

l

v

y

v

v

x

y

2

O













=

∂

∂

2

2

2

O

l

v

x

v

x













=

∂

∂

2

2

2

O

δ

v

y

v

x













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

2

1

y

v

x

v

x

p

ρ

y

v

v

x

v

v

x

x

x

y

x

x

υ

Przepływ 2D – równanie N-S (x)













=













⋅

=

∂

∂

l

v

l

ρ

v

ρ

x

p

ρ

2

2

O

1

O

1

2

2

2

2

y

v

x

v

x

x

∂

∂

<<

∂

∂













=

∂

∂

l

v

y

v

x

2

2

2

O

υ

2

2

1

y

v

x

p

ρ

y

v

v

x

v

v

x

x

y

x

x

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

υ

( )

(

)

2

O v

ρ

p

=

W warstwie przyściennej siły lepkości są

porównywalne z siłami bezwładności

(człony konwekcyjne po lewej stronie równania)









=

∂

∂

2

2

O

l

δ

v

x

v

v

y

x









=

∂

∂

2

2

O

l

δ

v

y

v

v

y

y















∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

2

1

y

v

x

v

y

p

ρ

y

v

v

x

v

v

y

y

y

y

y

x

υ













=













∂

∂

3

2

2

O

l

v

δ

x

v

y













=













∂

∂

l

δ

v

y

v

y

O

2

2

Przepływ 2D – równanie N-S (y)









=

∂

2

O

l

x

v

x









=

∂

2

O

l

y

v

y













=

∂

∂

δ

v

y

p

ρ

2

O

1

0

=

∂

∂

y

p









=







 ∂

3

2

O

l

x









=









 ∂

l

δ

y

O

2













=

∂

∂

⋅

2

2

2

2

O

l

δ

v

y

v

ν

y

2

2

2

2

y

v

x

v

y

y

∂

∂

<<

∂

∂

























=

δ

l

v

v

y

O

( )

(

)

2

O v

ρ

p

=

W warstwie przyściennej siły lepkości są

porównywalne z siłami bezwładności

(człony konwekcyjne po lewej stronie równania)





















=

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

0

1

0

2

2

y

p

y

v

x

p

ρ

y

v

v

x

v

v

y

v

x

v

x

x

y

x

x

y

x

υ

Warstwa przyścienna - przepływ 2D

Równania Prandtla

z r. Bernoulliego





d

2

p

v

v

p

d

d

1

(

)

(

)

0

0

0

=

=

x,

v

x,

v

y

x

(

)

( )

x

v

δ

x,

v

p

x

=

(

)

( )

y

v

y

,

x

v

x

x

0

0

=

Warunki brzegowe dla WP

z r. Bernoulliego

pomijając siły masowe

i zakładając znany rozkład prędkości

na brzegu warstwy przyściennej

⇒

=

−

+













0

d

d

2

d

2

U

p

v

ρ

x

v

v

x

p

ρ

p

p

d

d

d

d

1

=

−

( )

x

v

p













∂

∂

+

=

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

2

2

d

d

0

y

v

x

v

v

y

v

v

x

v

v

y

v

x

v

x

p

p

x

y

x

x

y

x

υ

Rozwiązanie daje rozkład prędkości v

x

i v

y

. Dalej możemy wyznaczyć naprężenia styczny i siły oporu profili.

0

d

d

>

x

p

v

p

y

y

Oderwanie warstwy przyściennej

Gdy dochodzi do oderwania warstwy przyściennej wyprowadzone wcześniej
równania przestają obowiązywać.
Oderwanie zachodzi gdy występuje dodatni gradient ciśnienia:

y

v

x

p

ρ

y

v

v

x

v

v

x

x

y

x

x

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

1

2

2

υ

Na ściance v

x

= 0

0

y

v

0

y

x

=













∂

∂

=

v

x

x

x

A

∂

v

x

∂

y

y=0

> 0

∂

v

x

∂

y

y=0

= 0

∂

v

x

∂

y

y=0

< 0

Warunek oderwania

x

p

ρ

y

v

v

y

x

ρ

y

v

x

v

x

y

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

+

∂

−

=

∂

+

∂

1

2

υ

0

d

d

=

x

p

a)

Przepływ wokół profilu dla dwóch

różnych kątów natarcia

Przepływ wokół cylindra

Oderwanie warstwy przyściennej

W strefie wklęsłego rozkładu prędkości występują wiry (niestacjonarne przepływy).
Na miejsce oderwania ma wpływ kształt tylnej części profilu.

Re<2

A

b)

2<Re<40

40<Re<100 000

100 000<Re

x

y

0

τ

0

V

δ

υ

x

v

⋅

=

x

Re

000

500

000

300

Re

kr

x

÷

=

Laminarna warstwa przyścienna

Utrata stateczności w l.w.p. = turbulizacja w.p.
Utrata stateczności zachodzi w pewnej odległości x od początku profilu.

dla profili smukłych

Dla płaskiej płyty – rozwiązanie równań metodą
Pohlhausena daje przybliżone wzory

δ

0

τ

- grubość w.p.

- naprężenia na ściance

x

0

l

x

x

Re

85

,

5

85

,

5

)

(

x

v

x

x

=

=

υ

δ

x

v

V

x

v

υ

ρ

ρ

µ

τ

⋅

=

=

34

,

0

34

,

0

3

0

x

v

x

v

ρ

b

,

b

x

τ

F

x

x

υ

⋅

=

⋅

=

∫

2

0

0

37

1

d

2

Pohlhausena daje przybliżone wzory

gdzie b – szerokość płytki

x

y

0

x

v

x

Turbulentna warstwa przyścienna

x

x

0

=

∂

∂

+

∂

∂

y

v

x

v

y

x

( )

(

)

y

x

xy

x

y

x

x

v

v

ρ

y

y

τ

x

p

y

v

v

x

v

v

ρ

′

′

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

−

=















∂

∂

+

∂

∂

L

0

=

∂

∂

y

p

Równ. ciągłości dla prędkości uśrednionych

Równ. pędu w kierunku x

Równ. pędu w kierunku y

naprężenia

turbulentne

( )

y

v

x

∂

∂

=

µ

τ

xy

L

( )

y

v

µ

v

v

ρ

τ

x

T

y

x

xy

∂

∂

=

′

′

−

=

T

Turbulentna warstwa przyścienna

Naprężenia laminarne

Naprężenia turbulentne

0

=

∂

∂

+

∂

∂

y

v

x

v

y

x

(

)













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=















∂

∂

+

∂

∂

y

v

µ

µ

y

x

p

y

v

v

x

v

v

ρ

x

T

x

y

x

x

0

=

∂

∂

y

p

y

y

IV

IV

a)

b)

w

∆

w(

δ

)

~ ln(

δ

)

TWP bez oderwania

Turbulentna warstwa przyścienna

TWP z oderwaniem

I

II

III

v

x

v

x

IV

I – strefa podwarstwowa lepka
II – strefa pośrednia
III – strefa logarytmicznego rozkładu prędkości
IV – zewnętrzna

wewnętrzna

warstwa stałego naprężenia stycznego
ok. 20% grubości całej warstwy
turbulencje drobnoskalowe

v

35

+

∆

w

Rozkład prędkości w turbulentnej WP

+

=

v

v

x

0

2

τ

ρ

v

=

⋅

∗

- prędkość dynamiczna charakteryzuje skalę prędkości strefy wewn.

0

y

x

0

v

=













∂

∂

=

y

µ

τ

Turbulentna warstwa przyścienna

∗

v

y

5

10

15

20

25

30

5

1

10

1

10

2

10

3

10

4

30

500

+

v = y

+

+

2,5 ln y +5

+

I

II

III

IV

∗

+

=

v

v

v

x

υ

∗

+

=

v

y

y

I. Podwarstwa laminarna

- bardzo cienka (<1% δ)
- dominuje naprężenie laminarne (lepkie)

5

≤

+

y

v

τ

d

y

v

v

⋅

.

const

0

=

=

τ

τ

Turbulentna warstwa przyścienna

y

v

υ

ρ

τ

x

d

d

0

=

υ

y

v

v

v

x

⋅

=

∗

∗

+

+

= y

v

II. Warstwa buforowa

- naprężenia laminarne równorzędne turbulentnym

30

5

≤

<

+

y

III. Warstwa logarytmicznego rozkładu prędkości

- dominują naprężenia turbulentne

500

300

30

÷

≤

<

+

y

ρ

µ

⋅

⋅

=

∗

l

v

T

y

l

κ

=

droga mieszania Prandtla

κ

- stała Karmana (

κ

= 0,4)

Turbulentna warstwa przyścienna

y

l

κ

=

( )

y

v

κ

y

ρ

x

∂

∂

=

2

T

µ

C

y

κ

v

+

=

+

+

ln

1

5

.

5

9

.

4

≥

≤ C

droga mieszania Prandtla

κ

- stała Karmana (

κ

= 0,4)

IV. Warstwa zewnętrzna (ok. 80% grubości w.p.)

500

300

÷

>

+

y

(

) (

)

[

]

+

−

+

+

+

+

−

+

−

=

∆

δ

δ

δ

37

,

0

5

39

,

3

5

ln

5

,

2

v

e

w

w

Turbulentna warstwa przyścienna

Aproksymacja Khuna i Nielsena

4

4

4

3

4

4

4

2

1

4

4

4

3

4

4

4

2

1

4

4 3

4

4 2

1

IV

II

I

y

37

,

0

III

cos

1

2

∆

)

5

39

,

3

(

)

5

ln

5

,

2

(

v













⋅

−

+

+

−

+

=

+

+

−

+

+

+

+

δ

π

y

w

e

y

y

y

(

) (

)

[

]

∗

+

−

+

−

=

∆

δ

δ

5

39

,

3

5

ln

5

,

2

v

e

w

ν

δ

δ

∗

+

=

v

y

I

II

III

IV

v

x

w

∆

w(

δ

)

~ ln(

δ

)