Mechanika płynów
Równania podstawowe
cd.
Dr Tomasz Wajman
1
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PŁ
E-mail: tomasz.wajman@p.lodz.pl
Równania zachowania
Zachowania masy - równanie ciągłości
Zachowania pędu - drugie prawo Newtona
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania Energii - pierwsza zasada
termodynamiki
Równanie zachowania energii
(
)
(
)
v
d
2
r
r
r
r
r
r
V
ρ
v
T
c
t
V
v
T
c
ρ
t
V
v
V
v
d
2
d
d
d
2
d
d
2
2
∫∫∫
∫∫∫
+
≡
+
Forma całkowa
(
)
(
)
∫∫∫
=
−
∇
⋅
∇
−
⋅
−
⋅
∇
−
+
V
m
m
v
V
ρ
q
T
λ
v
F
ρ
v
v
T
c
t
ρ
0
d
2
d
d
2
&
r
r
r
r
r
r
Π
(
)
(
)
ρ
q
T
λ
v
F
ρ
v
v
T
c
t
ρ
m
m
v
&
r
r
r
r
r
r
+
∇
⋅
∇
+
⋅
+
⋅
∇
=
+
Π
2
d
d
2
Forma różniczkowa
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego otrzymujemy jako bilans prac sił
występujących w równaniu Eulera, które dotyczy zasady
zachowania pędu dla elementu dV płynu nielepkiego.
v
r
r
r
1
d
• ruch płynu jest ustalony
• pole sił masowych jest polem potencjalnym
U
F
∇
=
r
r
m
m
F
p
ρ
t
v
r
r
r
+
∇
−
=
1
d
d
t
v
s
d
d
r
r
=
Równanie Bernoulliego
t
v
s
d
d
r
r
=
p
p
p
p
d
1
1
∂
∂
∂
r
s
F
s
p
ρ
s
t
v
m
r
r
r
r
r
d
d
grad
1
d
d
d
⋅
+
⋅
−
=
⋅
=
⋅
=
⋅
2
d
d
d
d
d
2
v
v
v
t
v
t
v
r
r
r
r
ρ
p
z
z
p
y
y
p
x
x
p
ρ
s
d
p
ρ
d
d
d
d
1
grad
1
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
⋅
−
r
U
z
z
U
y
y
U
x
x
U
s
U
d
d
d
d
d
grad
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
r
0
d
d
d
=
−
+
U
ρ
p
v
v
0
d
d
2
d
2
=
−
+
U
ρ
p
v
lub
U
F
grad
m
=
r
Równanie Bernoulliego
Dla cieczy
ρ
= const.
Dla gazów
ρ
≠ const.
Przemiana adiabatyczna
0
d
d
2
d
2
=
−
+
U
ρ
p
v
.
2
2
const
U
ρ
p
v
=
−
+
z
g
U
−
=
.
2
2
const
z
g
ρ
p
v
=
+
+
ρ
p
h
d
d
=
Przemiana adiabatyczna
.
2
2
const
z
g
h
v
=
+
+
.
2
2
const
h
v
=
+
T
c
h
p
=
Mechanika płynów
Równanie Naviera-Stokesa
Równanie Naviera-Stokesa
Naprężenia powierzchniowe
Zasada zachowania p
ę
du
m
F
ρ
t
v
ρ
r
r
r
+
⋅
∇
=
Π
d
d
Π
n
p
r
r
=
Wektor napr
ęż
e
ń
Tensor napr
ęż
e
ń
powierzchniowych
=
zz
yz
xz
zy
yy
xy
zx
yx
xx
df
p
τ
τ
τ
p
τ
τ
τ
p
Π
Π
n
p
n
=
Wektor napr
ęż
e
ń
powierzchniowych
Tensor prędkości względnej
z
x
y
∆
r
v
WP
v
P
v
B
P
v
0
z
z
v
y
y
v
x
x
v
v
v
x
x
x
x
Px
∆
∆
∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
z
z
v
y
y
v
x
x
v
v
v
y
y
y
y
Py
∆
∆
∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
z
z
v
y
y
v
x
x
v
v
v
z
z
z
z
Pz
∆
∆
∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
Prędkość względną punktu P
względem bieguna B
r
v
WP
r
r
∆
⋅
=
T
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
z
v
y
v
x
v
z
v
y
v
x
v
z
v
y
v
x
v
z
z
z
y
y
y
x
x
x
T
z
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
z
v
y
v
z
v
x
v
z
v
y
v
z
v
y
v
y
v
x
v
x
v
z
v
y
v
x
v
x
v
z
z
y
z
x
z
y
y
x
y
z
x
x
y
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
S
Tensor prędkości deformacji – symetryczny
Tensor prędkości względnej
Ω
S
T
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
z
y
z
x
z
2
2
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
y
v
z
v
x
v
z
v
y
v
z
v
x
v
y
v
x
v
z
v
x
v
y
v
z
y
z
x
z
y
y
x
z
x
y
x
Ω
Tensor prędkości obrotu – antysymetryczny
Hipoteza Newtona
– płyny Newtonowskie
Płyny rzeczywiste wykazują zdolność generowania naprężeń stycznych,
przy czym powstają one między sąsiednimi warstwami płynu
poruszającymi się z różnymi prędkościami.
Hipoteza Newtona – naprężenia styczne występują między sąsiednimi
warstwami płynu i są proporcjonalne do przyrostu prędkości w kierunku
normalnym do kierunku
τ
y
v
v(y)
dy
v
+
∂
v
∂
y
dy
v
y
∂
∂
=
v
µ
τ
τ
∂
v
∂
y
µ =
tg
α
α
2c
2b
2a
1
1 – płyn newtonowski, 2 – płyn nienewtonowski:
2a – płyn pseudoplastyczny, 2b – płyn dilatancyjny,
2c – płyn lepko-plastyczny (Binghama)
Uogólniona hipoteza Newtona
Założenia:
Tensor naprężeń
Π
Π
Π
Π jest liniowo proporcjonalny do tensora prędkości
deformacji S.
Naprężenia normalne muszą wyrażać ciśnienie statyczne w przypadku, gdy
prędkość płynu jest zerem w całym rozpatrywanym obszarze.
I
S
Π
b
a
+
=
z
v
µ
τ
τ
y
zy
yz
∂
∂
=
=
prędkość płynu jest zerem w całym rozpatrywanym obszarze.
Płyn jest izotropowy, zgodnie z tym wszystkie kierunki są
równouprawnione.
Związki między
Π
Π
Π
Π i S są niezależne od układu współrzędnych.
Równanie Naviera-Stokesa
I
S
Π
b
a
+
=
⋅
∇
−
∂
+
−
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∇
−
∂
∂
+
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∇
−
∂
∂
+
−
=
v
µ
v
µ
p
v
v
µ
v
v
µ
y
v
z
v
µ
v
µ
y
v
µ
p
x
v
y
v
µ
z
v
x
v
µ
x
v
y
v
µ
v
µ
x
v
µ
p
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
x
z
y
x
x
r
r
r
r
r
r
2
2
3
2
2
3
2
2
Π
µ
2
=
a
p
b
−
=
+
⋅
∇
−
−
⋅
∇
+
=
S
I
µ
v
µ
p
F
ρ
t
v
ρ
m
2
3
2
d
d
r
r
r
r
r
⋅
∇
−
∂
∂
+
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
v
µ
z
v
µ
p
z
v
y
v
µ
z
v
x
v
µ
z
y
z
x
z
r
r
3
2
2
m
F
ρ
t
v
ρ
r
s
r
+
⋅
∇
=
Π
d
d
Forma ró
ż
niczkowa
równania p
ę
du
Równanie Naviera-Stokesa
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
⋅
∇
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
z
v
x
v
µ
z
x
v
y
v
µ
y
v
x
v
µ
x
x
p
ρX
t
v
ρ
x
z
y
x
x
x
r
r
3
2
2
d
d
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
⋅
∇
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
y
v
z
v
µ
z
v
y
v
µ
y
x
v
y
v
µ
x
y
p
ρY
t
v
ρ
z
y
y
y
x
y
r
r
3
2
2
d
d
Płyn ściśliwy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
z
z
y
y
x
y
x
y
t
3
d
⋅
∇
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
v
z
v
µ
z
z
v
y
v
µ
y
z
v
x
v
µ
x
z
p
ρZ
t
v
ρ
z
y
z
x
z
z
r
r
3
2
2
d
d
v
p
ρ
F
t
v
m
r
r
r
r
2
1
d
d
∇
+
∇
−
=
υ
0
=
⋅
∇ v
r
r
Płyn nieściśliwy
υρ
=
=
.
const
µ
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 6
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 9
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 4
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 7
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 1
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 3
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 8
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 3
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 9
więcej podobnych podstron