Mechanika płynów
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PŁ
E-mail: tomasz.wajman@p.lodz.pl
Warstwa przyścienna
Warstwa przyścienna
• Duże wartości Re
• Duże gradienty prędkości = duże siły lepkości.
• Warstwa przyścienna – zmiana prędkości od v = 0 na ściance do wartości
ustalonej v (prędkości przepływu niezakłóconego) z dala od ścianki
y
V
V
V
II
Umowna grubość
warstwy przyściennej δ
v
%
99
v
≈
x
II
I
δ
0
l
• Grubość warstwy przyściennej << długości opływanego ciała
• W warstwie przyściennej siły lepkości są porównywalne z siłami bezwładności
v
%
99
v
xδ
≈
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
y
x
Warstwa przyścienna - przepływ 2D
• Przepływ przyścienny; ruch płaski, ustalony; pomijamy siły masowe
l – grubość opływanej ścianki, v – prędkość przepływu niezakłóconego
Równanie ciągłości
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
1
y
v
x
v
x
p
ρ
y
v
v
x
v
v
x
x
x
y
x
x
υ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
1
y
v
x
v
y
p
ρ
y
v
v
x
v
v
y
y
y
y
y
x
υ
Równanie Naviera Stokesa
⇒
<< 1
)
(
l
x
δ
l
x
≤
≤
0
)
(
0
x
y
δ
≤
≤
)
O(v
v
=
=
∂
−
=
∫
δ
v
y
v
v
y
x
O
d
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
y
x
Przepływ 2D – równanie ciągłości
x
y
V
V
V
II
I
δ
0
l
)
O(v
v
x
=
=
∂
∂
−
=
∫
δ
l
v
y
x
v
v
x
y
O
d
0
=
∂
∂
l
v
x
v
x
O
=
∂
∂
l
v
y
v
y
O
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
y
x
O(A)
- rzędu A
=
∂
∂
l
v
x
v
v
x
x
2
O
=
∂
∂
l
v
y
v
v
x
y
2
O
=
∂
∂
2
2
2
O
l
v
x
v
x
=
∂
∂
2
2
2
O
δ
v
y
v
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
1
y
v
x
v
x
p
ρ
y
v
v
x
v
v
x
x
x
y
x
x
υ
Przepływ 2D – równanie N-S (x)
=
⋅
=
∂
∂
l
v
l
ρ
v
ρ
x
p
ρ
2
2
O
1
O
1
2
2
2
2
y
v
x
v
x
x
∂
∂
<<
∂
∂
=
∂
∂
l
v
y
v
x
2
2
2
O
υ
2
2
1
y
v
x
p
ρ
y
v
v
x
v
v
x
x
y
x
x
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
υ
( )
(
)
2
O v
ρ
p
=
W warstwie przyściennej siły lepkości są
porównywalne z siłami bezwładności
(człony konwekcyjne po lewej stronie równania)
=
∂
∂
2
2
O
l
δ
v
x
v
v
y
x
=
∂
∂
2
2
O
l
δ
v
y
v
v
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
1
y
v
x
v
y
p
ρ
y
v
v
x
v
v
y
y
y
y
y
x
υ
=
∂
∂
3
2
2
O
l
v
δ
x
v
y
=
∂
∂
l
δ
v
y
v
y
O
2
2
Przepływ 2D – równanie N-S (y)
=
∂
2
O
l
x
v
x
=
∂
2
O
l
y
v
y
=
∂
∂
δ
v
y
p
ρ
2
O
1
0
=
∂
∂
y
p
=
∂
3
2
O
l
x
=
∂
l
δ
y
O
2
=
∂
∂
⋅
2
2
2
2
O
l
δ
v
y
v
ν
y
2
2
2
2
y
v
x
v
y
y
∂
∂
<<
∂
∂
=
δ
l
v
v
y
O
( )
(
)
2
O v
ρ
p
=
W warstwie przyściennej siły lepkości są
porównywalne z siłami bezwładności
(człony konwekcyjne po lewej stronie równania)
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
0
1
0
2
2
y
p
y
v
x
p
ρ
y
v
v
x
v
v
y
v
x
v
x
x
y
x
x
y
x
υ
Warstwa przyścienna - przepływ 2D
Równania Prandtla
z r. Bernoulliego
d
2
p
v
v
p
d
d
1
(
)
(
)
0
0
0
=
=
x,
v
x,
v
y
x
(
)
( )
x
v
δ
x,
v
p
x
=
(
)
( )
y
v
y
,
x
v
x
x
0
0
=
Warunki brzegowe dla WP
z r. Bernoulliego
pomijając siły masowe
i zakładając znany rozkład prędkości
na brzegu warstwy przyściennej
⇒
=
−
+
0
d
d
2
d
2
U
p
v
ρ
x
v
v
x
p
ρ
p
p
d
d
d
d
1
=
−
( )
x
v
p
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
d
d
0
y
v
x
v
v
y
v
v
x
v
v
y
v
x
v
x
p
p
x
y
x
x
y
x
υ
Rozwiązanie daje rozkład prędkości v
x
i v
y
. Dalej możemy wyznaczyć naprężenia styczny i siły oporu profili.
0
d
d
>
x
p
v
p
y
y
Oderwanie warstwy przyściennej
Gdy dochodzi do oderwania warstwy przyściennej wyprowadzone wcześniej
równania przestają obowiązywać.
Oderwanie zachodzi gdy występuje dodatni gradient ciśnienia:
y
v
x
p
ρ
y
v
v
x
v
v
x
x
y
x
x
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
1
2
2
υ
Na ściance v
x
= 0
0
y
v
0
y
x
=
∂
∂
=
v
x
x
x
A
∂
v
x
∂
y
y=0
> 0
∂
v
x
∂
y
y=0
= 0
∂
v
x
∂
y
y=0
< 0
Warunek oderwania
x
p
ρ
y
v
v
y
x
ρ
y
v
x
v
x
y
y
x
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
+
∂
−
=
∂
+
∂
1
2
υ
0
d
d
=
x
p
a)
Przepływ wokół profilu dla dwóch
różnych kątów natarcia
Przepływ wokół cylindra
Oderwanie warstwy przyściennej
W strefie wklęsłego rozkładu prędkości występują wiry (niestacjonarne przepływy).
Na miejsce oderwania ma wpływ kształt tylnej części profilu.
Re<2
A
b)
2<Re<40
40<Re<100 000
100 000<Re
x
y
0
τ
0
V
δ
υ
x
v
⋅
=
x
Re
000
500
000
300
Re
kr
x
÷
=
Laminarna warstwa przyścienna
Utrata stateczności w l.w.p. = turbulizacja w.p.
Utrata stateczności zachodzi w pewnej odległości x od początku profilu.
dla profili smukłych
Dla płaskiej płyty – rozwiązanie równań metodą
Pohlhausena daje przybliżone wzory
δ
0
τ
- grubość w.p.
- naprężenia na ściance
x
0
l
x
x
Re
85
,
5
85
,
5
)
(
x
v
x
x
=
=
υ
δ
x
v
V
x
v
υ
ρ
ρ
µ
τ
⋅
=
=
34
,
0
34
,
0
3
0
x
v
x
v
ρ
b
,
b
x
τ
F
x
x
υ
⋅
=
⋅
=
∫
2
0
0
37
1
d
2
Pohlhausena daje przybliżone wzory
gdzie b – szerokość płytki
x
y
0
x
v
x
Turbulentna warstwa przyścienna
x
x
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
y
x
( )
(
)
y
x
xy
x
y
x
x
v
v
ρ
y
y
τ
x
p
y
v
v
x
v
v
ρ
′
′
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
L
0
=
∂
∂
y
p
Równ. ciągłości dla prędkości uśrednionych
Równ. pędu w kierunku x
Równ. pędu w kierunku y
naprężenia
turbulentne
( )
y
v
x
∂
∂
=
µ
τ
xy
L
( )
y
v
µ
v
v
ρ
τ
x
T
y
x
xy
∂
∂
=
′
′
−
=
T
Turbulentna warstwa przyścienna
Naprężenia laminarne
Naprężenia turbulentne
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
y
x
(
)
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
µ
µ
y
x
p
y
v
v
x
v
v
ρ
x
T
x
y
x
x
0
=
∂
∂
y
p
y
y
IV
IV
a)
b)
w
∆
w(
δ
)
~ ln(
δ
)
TWP bez oderwania
Turbulentna warstwa przyścienna
TWP z oderwaniem
I
II
III
v
x
v
x
IV
I – strefa podwarstwowa lepka
II – strefa pośrednia
III – strefa logarytmicznego rozkładu prędkości
IV – zewnętrzna
wewnętrzna
warstwa stałego naprężenia stycznego
ok. 20% grubości całej warstwy
turbulencje drobnoskalowe
v
35
+
∆
w
Rozkład prędkości w turbulentnej WP
+
=
v
v
x
0
2
τ
ρ
v
=
⋅
∗
- prędkość dynamiczna charakteryzuje skalę prędkości strefy wewn.
0
y
x
0
v
=
∂
∂
=
y
µ
τ
Turbulentna warstwa przyścienna
∗
v
y
5
10
15
20
25
30
5
1
10
1
10
2
10
3
10
4
30
500
+
v = y
+
+
2,5 ln y +5
+
I
II
III
IV
∗
+
=
v
v
v
x
υ
∗
+
=
v
y
y
I. Podwarstwa laminarna
- bardzo cienka (<1% δ)
- dominuje naprężenie laminarne (lepkie)
5
≤
+
y
v
τ
d
y
v
v
⋅
.
const
0
=
=
τ
τ
Turbulentna warstwa przyścienna
y
v
υ
ρ
τ
x
d
d
0
=
υ
y
v
v
v
x
⋅
=
∗
∗
+
+
= y
v
II. Warstwa buforowa
- naprężenia laminarne równorzędne turbulentnym
30
5
≤
<
+
y
III. Warstwa logarytmicznego rozkładu prędkości
- dominują naprężenia turbulentne
500
300
30
÷
≤
<
+
y
ρ
µ
⋅
⋅
=
∗
l
v
T
y
l
κ
=
droga mieszania Prandtla
κ
- stała Karmana (
κ
= 0,4)
Turbulentna warstwa przyścienna
y
l
κ
=
( )
y
v
κ
y
ρ
x
∂
∂
=
2
T
µ
C
y
κ
v
+
=
+
+
ln
1
5
.
5
9
.
4
≥
≤ C
droga mieszania Prandtla
κ
- stała Karmana (
κ
= 0,4)
IV. Warstwa zewnętrzna (ok. 80% grubości w.p.)
500
300
÷
>
+
y
(
) (
)
[
]
+
−
+
+
+
+
−
+
−
=
∆
δ
δ
δ
37
,
0
5
39
,
3
5
ln
5
,
2
v
e
w
w
Turbulentna warstwa przyścienna
Aproksymacja Khuna i Nielsena
4
4
4
3
4
4
4
2
1
4
4
4
3
4
4
4
2
1
4
4 3
4
4 2
1
IV
II
I
y
37
,
0
III
cos
1
2
∆
)
5
39
,
3
(
)
5
ln
5
,
2
(
v
⋅
−
+
+
−
+
=
+
+
−
+
+
+
+
δ
π
y
w
e
y
y
y
(
) (
)
[
]
∗
+
−
+
−
=
∆
δ
δ
5
39
,
3
5
ln
5
,
2
v
e
w
ν
δ
δ
∗
+
=
v
y
I
II
III
IV
v
x
w
∆
w(
δ
)
~ ln(
δ
)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 6
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 9
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 4
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 5
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 7
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 1
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 3
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 8
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 3
więcej podobnych podstron