A. Zaborski, Zginanie ze ciskaniem

Zginanie ze ciskaniem

Zaprojektowa przekrój prostok tny belki b×h = d×2d, obci onej w rodku prz sła l = 4 m

sił P = 20 kN i ciskanej sił N = 100 kN. Dane: R = 160 MPa, E = 200 GPa.

Rozwi zanie 1:
Napr enia normalne (wzory z wykładu lub podr cznika):

R

d

N

d

u

u

Pl

F

N

W

M

y

x

≤

+

=

+

=

2

3

max

2

4

6

tg

4

max

σ

,

gdzie

2

4

00173

.

0

2

3

2

2

d

Ed

N

l

u

E

P

N

=

=

=

= π

.

Rozwi zuj c numerycznie nierówno , otrzymujemy: d = 6.05 cm.

Sprawdzamy obliczenia:

pole przekroju: F = 73.27 cm

2

,

momenty bezwładno ci: J

y

= 894.8 cm

4

, J

z

= 223.7 cm

4

,

wska nik wytrzymało ci W

y

= 147.8 cm

3

,

siła eulerowska (wzgl dem osi y i z): P

ey

= 1.1 MN, P

ez

= 276 kN (obie siły> N),

maksymalne napr enia normalne: max

σ

x

= 160 MPa,

strzałka ugi cia:

64

.

1

3

=

−

=

u

u

tgu

f

f

o

cm

maksymalny moment zginaj cy: M

max

= 21.64 kNm.

Rozwi zanie 2:
Inny sposób rozwi zania, metod kollokacji, polega na przyj ciu funkcji ugi cia w postaci:

l

x

a

x

w

π

sin

)

(

=

,

spełniaj cej kinematyczne warunki brzegowe oraz za daniu zgodno ci rozwi zania

aproksymowanego z rozwi zaniem cisłym w kilku dodatkowych punktach. Za damy

zgodno ci w jednym dodatkowym przekroju: w rodku rozpi to ci belki. Jest wi c:

l

x

Na

x

M

l

x

a

l

EJ

l

x

a

l

x

w

y

π

π

π

π

π

sin

)

(

sin

sin

)

('

'

0

2

2

2

2

+

=

−

=

,

a po przekształceniach, dla x = l/2:

E

spr

E

y

y

P

N

a

P

N

EJ

Pl

N

l

EJ

Pl

a

−

=

−

=

−

=

1

1

12

1

1

48

12

4

2

3

2

2

2

π

π

π

,

oraz:

a

a

f

l

w

=

=

=

2

/

sin

)

2

/

(

π

.

Podstawiaj c otrzymane wyra enia ponownie do wzoru na napr enia, otrzymujemy z

rozwi zania numerycznego: d = 6.08 cm. Pozostałe wielko ci podobnie nieznacznie si ró ni

od warto ci uzyskanych w poprzednim obliczeniu:

pole przekroju: F = 73.94 cm

2

,

momenty bezwładno ci: J

y

= 911.3 cm

4

, J

z

= 227.8 cm

4

,

wska nik wytrzymało ci W

y

= 149.9 cm

3

,

siła eulerowska (wzgl dem osi y i z): P

ey

= 1.12 MN, P

ez

= 281 kN (obie siły> N),

maksymalne napr enia normalne: max

σ

x

= 160 MPa,

strzałka ugi cia: f = 1.95 cm

maksymalny moment zginaj cy: M

max

= 21.95 kNm.